Pr`actica 3, GDC-Grup A, 06/07
Les corbes ruleta
Recordem que la cicloide (Pr`actica 1) est`a definida com a la traject`oria que descriu un
punt d’una circumfer`encia de radi aque roda sense relliscament sobre una l´ınia recta.
Si en comptes de la circumfer`encia posem una altra c`onica (el·lipse, par`abolao hip`erbola),
triem algun punt especial (com un focus, o el centre de la c`onica...) i considerem la
traject`oria d’aquest punt quan la c`onica roda sense relliscament sobre una l´ınia recta,
aleshores la corba resultant ´es una de les anomenades corbes ruleta.
En aquesta pr`actica demostrarem que la ruleta d’una par`abola, quan considerem la
traject`oria del focus de la mateixa, ´es una caten`aria, ´es a dir, ´es la gr`afica de la funci´on
cosinus hiperb`olic.
Considerem la par`abola d’equaci´o y=x2
4. T´e el seu focus en el punt F:= (0,1) i la
seua recta directriu ´es la recta d’equaci´o y≡ −1.
-4 -2 2 4
-2
-1
1
2
3
4
5
-2 2
-2
-1
1
2
3
4
En la figura de l’esquerra, noteu que l’eix d’abscisses ´es la recta tangent a la par`abola en
el punt de contacte.
Volem calcular la traject`oria del focus de la par`abola quan aquesta roda sense relliscar
sobre l’eix d’abcisses.
Donat un t0, la composici´o de, primer la translaci´o T
−(t0,
t2
0
4), segon la rotaci´o R−arctan t0
2
i tercer la translaci´o T(s(t0),0) , on s(t0) ´es la longitud d’arc de la par`abola entre 0 i t0,
transforma la par`abola inicial en la par`abola corresponent a l’instant de rotaci´o definit
per t0.
4 -2 2 4
-2
-1
1
2
3
4
5
-4 -2 2 4
-2
-1
1
2
3
4
5
-4 -2 2 4
-2
-1
1
2
3
4
5
Representaci´o gr`afica dels tres moviments r´ıgids del pla esmentats en el text.
1
