Apuntes sobre Variables Aleatorias Unidimensionales - Tema 2, Apuntes de Estadística

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ESTADISTICA (URJC)

EXAMENES ESTADISTICA

PROF.

CURSO 13-

TEMA 2

VARIABLE ALEATORIA UNIDIMENSIONAL

2.1. VARIABLE ALEATORIA

• Es un modelo matemático que explica el comportamiento de los resultados de

un experimento

• Está formado por:

o E = {espacio muestral}

Ejemplo: Una moneda E={C,X}

o Ω = {espacio de los sucesos}

Ejemplo: Una moneda dos veces Ω = {(CC),(CX),(XX)}

o P = probabilidad de cada suceso

Ejemplo: Un dado p(CC)=1/4, p(CX)=1/2, p(XX)=1/

• Definición: Variable Aleatoria es una cantidad variable cuyos valores dependen

del azar y para la cual existe una distribución de probabilidad

• Las representaremos por ξ, η, γ, τ
• Se puede operar ξ+c, cξ, ξ+η, ξ-η, ξ

2 , ξη

2.2. FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN

• Definición: F(x)=P(ξ∈(-∞,x]) =P(ξ≤x)
• 0 ≤F(x)≤1 y creciente porque es acumulativa

2.2.1. PROPIEDADES

• F(-∞)=0 F(∞)=

P(ξ≤-∞)=P(ξ∈(-∞,-∞])=

P(ξ≤∞)=P(ξ∈(-∞,∞])=

• P(x 1 ≤ξ≤x 2 )= F(x 2 )-F(x 1 )
• F(x) es monótona no decreciente
• F(x) es continua por la derecha

0

lim ε →

|F(x+ε)-F(x)| = 0

2.3. VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS

• Una variable aleatoria es de tipo discreto cuando:

o Campo de variación se compone de un número finito

o Función de cuantía: P(ξ=x 1 ) = pi

• Ejemplo: Si la función de distribución es:

o

x

x

x

x

F x

o La función de cuantía es:

x -1 1 2

p(x) 0.5 0.3 0.

F(x) 0.5 0.8 1.

2.4. VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS

• Una variable aleatoria es de tipo continuo cuando:

o Su función de distribución F(x) es:

Continua

Su primera derivada existe y es continua

o F(x+∆x)-F(x)= ∆x F’(γ) para x≤γ≤ x+∆x

o Si ∆x→0, P(x)=

• f(x)= x

F x

=F’(x) es la función de densidad

∫ −∞

x

f ( x ) dx F ( x )→f(x) dx = probabilidad elemental o área

• Propiedades

o f(x)= F’(x)≥ 0

o ∫

∞

−∞

f ( x ) dx = 1

• Ejemplo: Si f(x)=-x

2 +1 para x∈[-1,1]

o Comprobar si es función de densidad

f(x)> 0

• -x

2 +1> 0

• x

2 < 1 → x∈[-1,1]

∫

∞

−∞

f ( x ) dx = 1

( ) ( ) (^1) 3

(^133)

1

1

1

3 2 = ≠ 

∫ − −

x

x x dx

k f(x) para x∈[-1,1] y k>

• k 1 1

1

1

2

−

− x + dx = →k 3

=1→k= 4

f(x)= 4

(-x

2 +1) para x∈[-1,1]

o Calcular P(ξ<0)

−

0

1

2 x 1 dx

3 3

= 

o Calcular P(-0.5<ξ<0.2)

−

1. 2

2. 5

2 x 1 dx 0.

• Ejemplo: Si f(x)=e

-2x para x> 0

o Comprobar si es función de densidad

f(x)> 0

• e

-2x

0

• -2x>ln0=-∞ → x<∞ OK

∞

−∞

f ( x ) dx = 1

• 1

0 0

2 2

−∞ −

∞ ∞ − −

e dx e e e

x x

k f(x) para x>0 y k>

• k

∞ −

0

2

e dx

x →k

=1→k=

f(x)=2e

-2x para x> 0

o Calcular a para que P(ξ< a)=0.

[ ] ( ) ( ) ( )

ln 0. 4

2 ln 0. 4

2

2 2 * 0 2 0

2

0

2

−

− − − − −

a

a

e

e dx e e e e

a

xa a a

a x