¡Descarga Variable aleatoria y más Ejercicios en PDF de Estadística solo en Docsity!
TEMA 3. VARIABLE ALEATORIA
3.1. Introducción. 3.1.1. Distribución de Probabilidad de una variable aleatoria 3.1.2. Función de Distribución de una variable aleatoria 3.2. Variable aleatoria discreta 3.2.1. Función masa de probabilidad de una variable aleatoria discreta 3.2.2. Función de distribución de una variable aleatoria discreta 3.3. Variable Aleatoria Continua 3.3.1. Función de densidad de una variable aleatoria continua 3.3.2. Función de distribución de una variable aleatoria continua 3.4. Características de una variable aleatoria. Esperanza y Varianza 3.4.1. Esperanza Matemática de una variable aleatoria discreta 3.4.2. Esperanza Matemática de una variable aleatoria continua 3.4.3. Propiedades de la Esperanza 3.4.4. Esperanza Matemática de una función de variable aleatoria 3.4.5. Varianza de una variable aleatoria. Propiedades y Ejemplos 3.5. Independencia
3.1. Introducción
Necesidad de asociar a un suceso un número real
Definición. Una variable aleatoria (v.a.) es una función que asocia a cada resultado del espacio muestral un número real
Tipología: V.a. discreta y v.a. continua
Discreta: Toma valores en un conjunto numerable Continua: Toma valores en un conjunto infinito no numerable
Ejemplo: Se realiza un experimento en un laboratorio cuyo resultado puede ser positivo o negativo. Construir el espacio muestral y dar una v.a. asociada al experimento. X ( Positivo ) = 1 E = {Positivo, Negativo} X ( Negativo ) = 0 X es una variable aleatoria
3.1.1. Distribución de Probabilidad
de una variable aleatoria
La distribución de probabilidad de una v.a. es una
función que asigna a cada valor posible de dicha v.a. una
probabilidad
Ejemplo. Experimento en un laboratorio
P{X = 1} = P {positivo}
Ejemplo. X : “Bacterias de tipo A en una pipeta”
P {1000 ≤ X ≤ 1500} = P(A)
3.1.2. Función de Distribución de una
variable aleatoria
Definición. Función de Distribución de una variable aleatoria X
F (x) = P {X ≤ x}; ∀ x ∈ √
♦ Es la probabilidad de que X sea menor o igual a x
F es no decreciente
F continua a la derecha
F(−∞) = 0 ; F(+∞) = 1
Propiedades de la Función de Distribución
3. 2. Variable aleatoria discreta
♦ Definición
X es una v.a. discreta si toma valores en un conjunto
numerable {x 1 , x 2 , x 3 , ..., xi , ... }
3.2.1. Función masa de probabilidad de
una variable aleatoria discreta
Sea X una v.a. discreta que toma los valores x 1 , x 2 , x 3 , ... , xi , ... La función masa de probabilidad se define como
p 1 p 2 p 3 ª
x 1 x 2 x 3 ª
xi P[X = xi] = pi
1
i i
i i
P X x p i
p
∞
=
∑
3.2.2. Función de distribución de una variable
aleatoria discreta
Sea X una v.a. discreta que toma los valores
X = x 1 , x 2 , x 3 , ...,xi ,…
La función de distribución, F(x), es la probabilidad
de que X tome valores menores o iguales a x
i i
i i x x x x
F x P X x P X x p
p 1 p 2 p 3 ª
P[X = xi] = pi
x 1 x 2 x 3 ª
xi F 1 = p 1 F 2 = p 1 + p 2 F 3 = p 1 + p 2 + p 3 ª
F(xi) = Fi
Nota: Relación de la f.m.p. y la F. distribución cuando la v.a. toma valores enteros
P[ X = x ] = P [ X ≤ x ]−P[ X ≤ x − 1 ] =F (x) − F ( x −1 )
P [ xi ≤ X ≤ xj ] = P [ X ≤ xj ] − P [ X < xi ] =
= P [ X ≤ xj ] − P [ X ≤ xi − 1 ] = F(xj ) − F(xi− 1 )
x− 1 x
F(x) F(x − 1 )
x− 2
xj
F(xj) F(xi− 1 )
xi− (^1) xi
Ejemplos.
P [ 2 ≤ X ≤ 8 ] = F ( 8 ) − F ( 1 ) P [ 2 ≤ X < 8 ] = P [ 2 ≤ X ≤ 7 ] = F ( 7 ) − F ( 1 ) P [ 2 < X ≤ 8 ] = P [ 3 ≤ X ≤ 8 ] = F ( 8 ) − F ( 2 )
3.3. Variable Aleatoria Continua
3.3.1. Función de densidad de una variable
aleatoria continua
( ) ( )^ ;^ ,
b a
P a ≤ X ≤ b = ∫ f x dx a b ∈ ℜ
Si X es una v.a. continua X, si existe una función f, llamada función de densidad tal que
♦ Definición
X es una v.a. continua si toma valores en un conjunto no numerable
᠓ La función de densidad verifica
f x x
f x d x
∞
−∞
a b
b b a
a
f u du f u du f u du F b F a
−∞ − ∞
3.3.2. Función de distribución de una variable
aleatoria continua
Sea X una v.a. continua con función de densidad f(x), entonces su función de distribución es
x
F x P X x f u d u
−∞
NOTA
Si X es una v.a. continua
P ( X = a ) = 0 ; para cualquier número real a
P ( a ≤ X ≤ b ) = P ( a < X ≤ b ) = P ( a ≤ X < b ) =
= P ( a < X < b ) =
x
f ( x )
Solución
f(x) =
0 ≤ x ≤ 2
0 x < 0 , x > 2
x
- Obtener la Función de Distribución, F(x)
- Obtener: P( X ≤ 1. 2 ) ; P ( X ≥ 0. 8 ) ; P ( 1 < X < 1.5 )
x < 0 : F(x) = 0
0 ≤ x ≤ 2 : F(x) = P [X ≤ x] =
2 2 2
x x
u x x
udu ×
x > 2 : ( )
u
F x udu ×
Ejemplo. Se desea estudiar el nivel de colesterol en
cierto tipo de pollos. La función de densidad de la v.a. asociada es
3.4. Características de una variable
aleatoria. Esperanza y Varianza
3.4.1. Esperanza Matemática de una
variable aleatoria discreta
ᘕ Sea X una variable aleatoria discreta que toma los
valores x 1 , x 2 , ... con f.m.p.
P ( X = xi ) para i= 1, 2, ...
[ ] i [ i]
i
E X = ∑x P X = x
Ejemplo. X : “Número de crías en una camada”
X toma los valores x = 0, 1 , 2, 3, con probabilidades P ( X = 0 ) = 0. 2 ; P ( X = 1 ) = 0. 3 ; P ( X = 2 ) = 0. 3 ; P ( X = 3 ) = 0. 2
E [ X ] = 0 × 0 2. + 1 × 0 3. + 2 × 0 3. + 3 ×0 2. =1 5.
♦ Necesidad de definir medidas que sinteticen el
comportamiento de la variable aleatoria
♦ Consideraremos como medida de posición la
Esperanza y de dispersión la Varianza
3.4.2. Esperanza Matemática de una
variable aleatoria continua
E [ X ] x f ( )x dx
∞
−∞
E [aX ] = a E [ X ] , a ∈ √
E [ X + Y ] = E [ X ] + E [ Y ]
E [ a X + b Y ] = a E [ X ] + b E [ Y ] ; a, b ∈ √
3.4.3. Propiedades de la Esperanza
ᘕ Sea X una variable aleatoria continua con función de
densidad f ( x )
3.4.4. Esperanza Matemática de una
función de variable aleatoria
ᘕ Sea X una variable aleatoria discreta que toma los
valores x = x 1 , x 2 , ...
ᘕ Sea Y = h ( X ) una variable aleatoria discreta.
Entonces
1
[ ] [ ( )] ( i ) [ i]
i
E Y E h X h x P X x
∞
=
Ejemplo.
Se ha realizado un test a una serie de ratones, pudiendo resultar éste negativo, nulo o positivo. La v.a. discreta asociada tiene la siguiente f.m.p.
P [ X = − 1 ] = P [ X = 0 ] = P [ X = 1 ] = 1/3,
asociando el valor −1 si el test da negativo, 0 si es nulo ó 1 si es positivo. Calcular la esperanza de Y = X^2.
Solución.
[ ] ( i ) [ i]
i
E Y = ∑h x P X = x =
( )^2 2
= − × + × + × =
2 [ ]
i i i
∑^ x^ P X^ =^ x =
ᘕ Sea X una v.a. continua con función de densidad f ( x )
Sea Y = h(X) una v.a. continua. Entonces
Ejemplo. La longitud de las alas de un cierto tipo de
ave sigue una v.a. con función de densidad,
Solución.
f ( x ) = 2 x ; 0 < x < 1
Calcular la esperanza de Y^ = X
E [Y ] E h X[ ( )] h x( ) f ( )x dx
+∞
−∞
1
E [ Y ] x f ( )x dx x 2 x dx 2 x 2 x dx
∞ ∞ ∞
−∞ −∞ −∞
1 3 5 1 5 1 2 2 2 0 0 0
x dx x x
