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ESTADÍSTICA
Grado en ADE, FYCO, Marketing y Economía Universidad de Almería
Curso 2016-
Relación de ejercicios de variable aleatoria
- Sea X una variable aleatoria discreta que tiene una distribución de probabilidad dada por:
P (X = x) =
cx para x = 1, 2 , 3 , 4 , 5 0 otro caso a) Halla el valor de la constante c. b) Determina la función de distribución de X. c) Calcula P (1 ≤ X ≤ 2 ,7), P (X ≤ 2 ,7), P (X > 3), P (X > 1 /X ≤ 3). d ) Determina la mediana y el percentil 90.
- Sea X la variable aleatoria que representa el número de caras obtenidas al lanzar una moneda tres veces. Calcula la distribución de probabilidad de X.
- Se lanza un dado 2 veces y se considera la variable aleatoria que representa la suma de los números obtenidos. Calcula la distribución de probabilidad.
- El número de virus, X, detectados por un programa antivirus sigue una distribución dada por: X 0 1 2 3 4 5 6 7 8 P(X=x) 0.04 0.04 k 0.11 0.30 0.23 0.10 0.05 0. a) Halla el valor de k. b) Determina la función de distribución de X. c) Calcula P (2 < X < 5), P (X ≥ 7), P (X ≤ 6 /X > 3). d ) ¾Cuál es el número de virus más habitual?
- Supongamos que la función de densidad de una variable aleatoria continua X es
f (x) =
3 (1^ −^ x
(^3) ) para 0 ≤ x ≤ 1 0 en otro caso a) Determina el valor de las probabilidades siguientes:
P (X <
) P (
< X <
) P (X >
b) Calcula la moda.
- Sea X una variable aleatoria con función de densidad:
f (x) =
8 x^ para^0 ≤^ x^ ≤^4 0 en otro caso a) Determina el valor de t tal que P (X ≤ t) = 14. Interpreta el valor obtenido. b) Determina el valor de t tal que P (X ≥ t) = 12. Interpreta el valor obtenido.
- Una cooperativa agrícola se encarga de la comercialización de trigo. Para plani car la campaña, se solicita la colaboración de un técnico para evaluar la producción en la pró- xima cosecha y a rma que la producción X, en miles de toneladas, puede representarse mediante la función de densidad:
f (x) =
x para 0 < x ≤ 1 2 − x para 1 ≤ x ≤ 2 0 en otro caso a) Calcula la función de distribución asociada a la variable producción. b) Calcula la producción esperada. c) Sabiendo que la cantidad mínima de producción garantizada es de 300 toneladas, calcula la probabilidad de que la producción total no supere las 1500 toneladas.
- La demanda semanal de cierta materia prima por parte de una empresa es una variable aleatoria continua con función de densidad
f (x) =
k(x − 1)^2 para 1 < x < 3 0 en otro caso a) Determina el valor de la constante k para que f sea función de densidad. b) Calcula la función de distribución. c) ¾Qué stock debe disponer la empresa al principio de la semana para garantizar que se atiende la demanda semanal con una probabilidad de 0 , 95?
- La duración en minutos de una llamada telefónica sigue la función de distribución siguiente:
F (x) =
0 si x < 0 1 − e−x^ si x ≥ 0 Calcula: a) La función de densidad de la variable aleatoria. b) La probabilidad de que una llamada dure más de 1 minuto y menos de 2. c) La probabilidad de que una llamada dure más de 3 minutos, si duró menos de 5 minutos. d ) ¾Cuál es la duración mínima del 25 % de las llamadas más largas?
- Una determinada marca de coches, ante la competencia existente en el mercado para la venta de coches nuevos, ha decidido rebajar sus precios con el n de aumentar sus ventas y disminuir sus existencias. El director comercial ha estimado la siguiente distribución de probabilidad del número total X de coches que se venderán el próximo mes después de rebajar los precios.
X 0 1 2 3 4 P(X=x) 0.05 0.15 0.35 0.25 0. Obtén el número medio y la desviación típica del número de coches que espera vender.
- La duración de las bombillas de una determinada marca, en meses, es una variable aleatoria con función de densidad:
f (x) =
{ (^) k x^4 x^ ≥^1 0 en otro caso
a) Calcula el valor de k para que f (x) sea función de densidad. b) ¾Cuál es la duración media de una bombilla? c) Determina la función de distribución. d ) Halla la probabilidad de que una bombilla elegida al azar, dure más de 5 meses.
- La variable aleatoria, que representa los bene cios, en 104 euros, de una determinada empresa en un mes, tiene la siguiente función de distribución:
F (x) =
0 para x < 0 x (^2) x para^0 ≤^ x <^1 6 +^
1 3 para^1 ≤^ x <^4 1 para x ≥ 4 a) Obtén la función de densidad de la variable aleatoria. b) Calcula la probabilidad de que en un mes los bene cios sean superiores a 5000 euros e inferiores a 25000 euros. c) Determina el valor de t tal que P (X ≥ t) = 12. Interpreta el valor obtenido.
- Con objeto de establecer un plan de producción, una empresa ha estimado que la demanda de un producto por parte de sus potenciales clientes, se comportará sema- nalmente según una variable aleatoria con la siguiente función de densidad:
f (x) =
8 (4x^ −^2 x
(^2) ) para 0 ≤ x ≤ 2 0 en otro caso donde viene expresada en miles de unidades. a) Calcula la probabilidad de que una semana venda más de mil unidades del pro- ducto. b) ¾Cuál es el número más probable de unidades vendidas semanalmente? c) ¾Cuál es la demanda semanal esperada? d ) Si por cada mil unidades vendidas la empresa tiene un bene cio de 5.000 euros y unos gastos semanales de 300 euros. ¾Qué bene cio espera obtener la empresa al cabo de una semana?
- El tiempo, en horas, que tarda en fabricarse un electrodoméstico de cierto tipo es una variable aleatoria X con función de densidad:
f (x) =
{ (^4) −x 8 para^0 ≤^ x^ ≤^4 0 en otro caso a) Calcula la función de distribución asociada a la variable aleatoria X. b) Determina la probabilidad de que un electrodoméstico de este tipo tarde entre una y tres horas en fabricarse. c) Calcula la mediana de la variable aleatoria X. Interpreta el valor obtenido. d ) Si el coste de fabricación de un electrodoméstico de este tipo es de 100 euros más 30 euros por cada hora que tarda en fabricarse, determina el coste de fabricación esperado de un electrodoméstico.
- La duración, en miles de horas, de las bombillas de una determinada marca es una variable aleatoria X con función de densidad:
f (x) =
5 e
− x (^5) para x ≥ 0 0 en otro caso a) Calcula la función de distribución de X. b) Calcula la probabilidad de que una bombilla de esa marca dure más de 2000 horas. c) Si una bombilla de esa marca lleva encendida 2000 horas, determina la probabilidad de que dure más de 4000 horas. d ) ¾Cuál es la duración mínima del 10 % de las bombillas que más duran?
