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Problemas
Estimación estadística
Vicente Manzano-Arrondo, 2012, 2013 Problemas de cálculo
Ejercicio 1 resuelto
Observamos en momentos al azar en una concurrida calle de la ciudad. Nos
interesa registrar cuántas personas van cogidas de la mano en cada momento de
observación dentro del campo visual acotado. Estos son los resultados anotados por el
observador 1.
Queremos estimar cuántas personas, por término medio, van cogidas de la mano
en esa calle de la ciudad, sin limitaciones de momentos de observación. Utiliza los riesgos
del 1%, 2%, 3%, 4% y 5% para hacer la estimación.
Solución
La población está compuesta por todos los momentos posibles de observación,
mientras que la muestra consiste en una selección al azar de esos momentos. El
problema consiste en estimar por intervalo el valor de una media aritmética a partir de los
datos de la muestra. Para ello, necesitamos primero calcular los estadísticos implicados:
Xi fi Xifi d2fi 4 9 36 81,0 n 50 6 17 102 17,0 Media 7 8 14 112 14,0 D.t. 2, 10 10 100 90, Σ 50 350 202
El cálculo del error de precisión se lleva a cabo mediante la expresión:
ep = Z σ
√ n^
≃ Z
S
√ n^ −^1
= Z
√^49
en la que habrá que ir sustituyendo el valor de la distancia estandarizada que representa
la confianza (o el riesgo) escogido para la estimación. Dado que la muestra es grande
(n=50, mayor que 30), podemos suponer que la distribución muestral sigue una ley normal
y acudir a la tabla de la curva normal para traducir los riesgos indicados (o sus valores de
confianza o seguridad complementarios) en valores Z. Al hacerlo, encontramos:
Z 2,58 2,33 2,17 2,05 1,
Con esta información, incluyendo cada valor de Z en la expresión de cálculo del
error de precisión y expresando los sucesivos intervalos de confianza mediante sus cotas
de valores mínimo y máximo esperados para el parámetro, entonces:
Tabla de estimaciones del 1% al 5% 0,01 0,02 0,03 0,04 0, Z 2,58 2,33 2,17 2,05 1, ep 0,74 0,67 0,62 0,59 0, mín. 6,26 6,33 6,38 6,41 6, máx. 7,74 7,67 7,62 7,59 7,
Observa que, coherentemente, conforme aumenta el riesgo (disminuye la confianza
o seguridad), disminuye la precisión del intervalo (aumenta el error de precisión) y, por
tanto, el intervalo es más amplio.
Ejercicio 2 resuelto
Nos preocupa ahora estimar el porcentaje de ocasiones en las que este observador
obtiene el resultado 10. Utiliza los mismos niveles de confianza que en el problema
anterior. Además, con una seguridad del 95% ¿Cuantas veces observará a 10 personas
cogidas de la mano de entre 200 momentos de observación?
Solución
Una forma instructiva de solucionarlo es tomar el conjunto original de datos y
transformarlo en otro donde se observan únicamente dos valores: 1 (si el original era 10) y
0 (en el resto de los casos). El resto de las operaciones son las mismas. Este ejercicio
permite afianzar la idea de que las proporciones son un caso particular de media
aritmética:
Xi fi Xifi d2fi 0 40 0 1,6 n 50 1 10 10 6,4 Media 0, Σ 50 10 8 D.t. 0, Tabla de estimaciones del 1% al 5% 0,01 0,02 0,03 0,04 0, Z 2,58 2,33 2,17 2,05 1, ep 0,15 0,13 0,12 0,12 0, mín. 0,05 0,07 0,08 0,08 0, máx. 0,35 0,33 0,32 0,32 0,
Estos mismos resultados se obtienen utilizando las expresiones de cálculo
específicas para proporciones (compruébalo):
ep = Z
√
n
≃ Z
√
p ( 1 − p )
n
= Z
√
= 0,057 · Z
Ya tenemos el valor de la media aritmética. Para calcular el error de precisión:
ep = Z · σ
√ n
Vamos a realizar una estimación habitual con una confianza del 95%. Dado que la
muestra es grande (n = 39 ≥ 30), podemos suponer que la distribución muestral de
medias es normal. En la curva normal, un área centrada del 95% se corresponde con una
distancia estandarizada de 1,96. Luego, Z=1,96.
Por otro lado, no contamos con el valor de la desviación tipo poblacional, así que
acudimos a la cuasidesviación tipo de la muestra:
S ̂ =
∑ (^ X^ i −^ X ̄^ )
2
f i
n − 1
Con esta información podemos completar el problema:
ep = Z · σ
√ n^
√^40
Por tanto:
μ ∈ { X ̄ ± ep } conf → μ ∈ { 3 ± 0,62}0,95 → μ ∈ {2,38 ; 3,62}0,
En otras palabras: con una confianza del 95% afirmamos que la nota que los
cirtenos otorgan a las últimas declaraciones del concejal de urbanismo se encuentra entre
2,38 y 3,62 lo que implica un suspenso en cualquier caso.
Ejercicios propuestos
1. Hemos preguntado a una muestra aleatoria de personas de la tercera edad por su
valoración en torno a cómo han cambiado las relaciones entre la generación de los
mayores y de los jóvenes. Tras analizar las respuestas, una de las variables generadas es
si cada persona entrevistada considera que las relaciones intergeneracionales van hoy
mejor, igual o peor que antes. Los datos correspondientes a esa variable son
mejor, igual, peor, peor, igual, igual, mejor, peor, mejor, peor,
igual, peor, igual, peor, peor, peor, igual, mejor, igual, peor,
igual, peor, mejor, mejor, mejor, peor, peor, igual, peor, mejor
¿Cuántas personas en la población de la tercera edad consideran que las
relaciones intergeneracionales son hoy diferentes a las que había antes? Utiliza un nivel
de confianza del 97%.
2. ¿Cuál es el tamaño de la muestra utilizado en una investigación donde se han
registrado 50 personas casadas y se ha estimado que el porcentaje de personas casadas
en la población se encuentra entre 20% y 30%?
3. En la estimación de una media aritmética se ha generado el intervalo de confianza {12;
16}. Si la media de la muestra hubiera sido el doble, mientras que el error de precisión
fuera la mitad, ¿cuál sería el nuevo intervalo de confianza?
4. Con los datos de la siguiente distribución, estima la media aritmética de la población
(de la que sabemos que es normal), el porcentaje de datos con un valor superior a 4 y en
cuántas ocasiones se obtendría un 2 de un total de 1500. Para responder a estas
preguntas, utiliza un riesgo del 3%.
Xi fi 2 4 3 9 4 1 6 3 7 2 9 1 Σ 20 Ejercicios de exámenes
Septiembre 2005
