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Colecci´on adicional de problemas
Estad´ıstica GITI
Verano 2011
Problema 1 La probabilidad de que el AVE Madrid-Sevilla llegue puntual es del 95 %. El n´umero de pasajeros en ese AVE se distribuye siguiendo una Poisson de par´ametro λ = 280. Se pide:
- Modelar la variable aleatoria T n´umero de pasajeros que llegan en un AVE Madrid-Sevilla puntualmente.
- Determinar el valor esperado de T empleando el modelo del apartado anterior.
- Determinar el valor esperado de S el n´umero total de viajeros que llegan puntualmente en una semana (7 d´ıas), sabiendo que hay 20 trenes AVE Madrid-Sevilla al d´ıa.
- Calcular la varianza de T , haciendo uso de la siguiente propiedad: Si X, Y independientes, entonces V [XY ] = V [X]V [Y ] + V [X]E[Y ]^2 + V [Y ]E[X]^2.
- Determinar la probabilidad de que S sea mayor que 37500.
Soluci´on:
- T = Z · N , siendo Z una variable aleatoria que vale 1 si el AVE llega a tiempo, y 0 en caso contrario, y N el n´umero de viajeros que viaja en el AVE. Z sigue, por tanto, una Bernoulli de par´ametro p = 0.95 y N (tal y como indica el enunciado) una Poisson de par´ametro λ = 280.
- Puesto que el n´umero de viajeros del AVE es independiente del hecho de que llegue o no puntualmente, entonces Z y N son independientes, y por ello E[T ] = E[ZN ] = E[Z]E[N ], donde E[Z] = 0.95 y E[N ] = 280. Por tanto E[T ] = 266.
- Si S es el n´umero de viajeros que llegan puntualmente en una semana, entonces se tiene que S =
trenes en una semana Ti. Por tanto,^ E[S] =^ E[
Ti] = 20 · 7 · E[T ] = 37240.
- El c´alculo de V [T ] es inmediato a la vista de la propiedad anterior, ya que V [T ] = V [ZN ] = V [Z]V [N ] + V [Z]E[N ]^2 + V [N ]E[Z]^2. Como las distribuciones de Z y N son conocidas, se saben sus esperanzas y varianzas, por lo que sustituyendo: V [T ] = 3990.
- Dado el elevado n´umero de trenes (140), es posible aplicar el Teorema Central del L´ımite, por lo que S se distribuye siguiendo una normal de media μ = 140 · 266 = 37240 y varianza σ^2 = 140 · 3990 = 558600. Se nos pide P [S > 37500] = 1 − P [S ≤ 37500] = 1 − P [ S√− 55860037240 ≤ (^37500) √ − 37240 558600 ] = 1^ −^ Φ(0.35) = 1^ −^0 .63683 = 0.^36317
Problema 2 Un micro-cohete construido por los alumnos en una pr´actica de la ETSI tiene una probablidad de 0.4 de fallar en el lanzamiento, caso en el que se considera que no recorre ninguna distancia. En caso de que no haya fallo en el lanzamiento, la distancia recorrida es 100 + X metros, donde X se distribuye seg´un una exponencial de media 10. Determinar:
- Funci´on de distribuci´on de la distancia recorrida.
- Probabilidad de que la distancia recorrida est´e entre 150 y 180 metros.
- Asumiendo que la ocurrencia de fallo en el lanzamiento es independiente de X, hallar el valor de la distancia esperada.
Soluci´on:
- Sea D la variable aleatoria definida como la distancia recorrida por el micro-cohete. Se tiene que D = 0 si el lanzamiento falla, y D = 100 + X en caso contrario. Notamos
L =
0 si el lanzamiento falla 1 si el lanzamiento no falla
Se tiene que L ∼ Be(p), con p = 0.6 probabilidad de ´exito. Por lo tanto D = L · (100 + X). Como X ∼ Exp(λ) y E[X] = (^1) λ = 10, se tiene que λ = 101. La funci´on de distribuci´on de X es F (x) = 1 − e−λx. Si el lanzamiento no falla, D = 100 + X, y para un valor de X, se verifica que x = d − 100. As´ı,
F (d) = P [D ≤ d] =
4 si d ≤ 100 0 .4 + 0.6(1 − e−^ 101 (d−100) ) d ≥ 100
P [150 ≤ D ≤ 180] = F (180) − F (150) = 0.4 + 0.6(1 − e−^ 101 (180−100) ) − (0.4 + 0.6(1 − e−^ 101 (150−100) )) = 0.6(e−^5 − e−^8 ) = 0. 0038
E[D] = E[L(100 + X)], como son independientes L y X se tiene que E[D] = E[L]E[100 + X] = 0. 6 · (100 + 10) = 66 metros.
Problema 3 Un aerotaxi cubre diariamente la ruta Madrid-Barcelona (ida por la ma˜nana y vuelta por la tarde). El n´umero de pasajeros a la ida var´ıa entre 1 y 5 con id´entica probabilidad. La probabilidad de que un pasajero vuelva en el d´ıa es de 0.6. Se pide:
- Funci´on de probabilidad de I n´umero de pasajeros a la ida.
- Funci´on de probabilidad de V n´umero de pasajeros a la vuelta condicionada a I
- Determinar la probabilidad de que vuelvan 2 pasajeros si han viajado 5 a la ida.
- Determinar la probabilidad de que vaya el pasaje lleno a la ida si a la vuelta hay 2 pasajeros.
Soluci´on:
- Puesto que el n´umero de pasajeros a la ida var´ıa, seg´un el enunciado, entre 1 y 5 con id´entica probabilidad, se trata de una distribuci´on uniforme discreta con cinco opciones posibles (de 1 a 5). Por lo tanto, pi = P [I = i] = 1/ 5 , i = 1,... , 5
- Para que sea una funci´on de densidad, debe cumplirse que
∫ (^) ∞^0 f^ (x)dx^ = 1. Por tanto: 0
x a^2 e
− xa (^) dx = 1, de donde ∫ (^) ∞
0
x a^2 e−^
x a (^) dx =^1 a
0
x a e−^
x a (^) dx
Haciendo el cambio de variable t = xa (y por tanto dt = dxa ), se tiene que
0 te −tdt = Γ(2) = 1 con independencia del valor de a.
- Para una muestra (x 1 ,... , xn) obtenida de observar una mas, se tiene:
L(a) = x 1 a^2
e−^
x 1 a^ x^2 a^2
e−^
x 2 a (^)... xn a^2
e−^
xn a (^) = 1 a^2 n
( (^) n ∏
i=
xi
e
− Pni=1 xi a
lnL(a) = − 2 nln(a) + ln
( (^) n ∏
i=
xi
∑n i=1 xi a
∂lnL ∂a
− 2 n a
∑n i=1 xi a^2
− 2 n a
∑n i=1 xi a^2 = 0 ⇔ aˆ =
∑n i=1 xi 2 n
x¯ 2 Haciendo la derivada segunda comprobamos si es un m´aximo sustituyendo ˆa = x¯ 2 :
∂^2 lnL ∂a^2
2 n a^2
∑n i=1 xi a^3
∂^2 lnL ∂a^2 (ˆa) =
2 n ( Pn i=1 xi 2 n
) 2 −^2
∑n ( Pi=1^ xi ni=1 xi 2 n
) 3 =^ −^
8 n^3 (
∑n i=1 xi)
2 <^0
Por tanto es un m´aximo.
- Sea (X 1 ,... , Xn) mas. Tomamos el estimador para dicha mas.
P
[
ˆa > 3 a 4
]
= P
[ ¯
X
3 a 4
]
= P
[ ∑ 32
i=1 Xi 32 · 2
3 a 4
]
= P
[ 32
i=
Xi > 48 a
]
Si Y =
i=1 Xi^ suma de variables aleatorias independientes e id´enticamente distribuidas con n ≥ 30 entonces, por el Teorema Central del L´ımite, se tiene que Yσ^ −√nμn ≈ Z ∼ N (0, 1). Como X ∼ Ga(2, (^1) a ) se tiene que μ = 2a y σ^2 = 2a^2. As´ı pues:
P
[
Z >
48 a − 64 a √ 32
2 a^2
]
= P
[
Z >
]
= P [Z > −2] = P [Z ≤ 2] = 0. 97725
Problema 5 Una instrucci´on de un aut´omata industrial contiene 16 bits, y debe ser transmitida bit a bit en un entorno con interferencias. El valor de las interferencias puede ser aproximado como una variable aletoria normal de valores μ = 4 y σ^2 = 1. Si en el momento de transmitir el bit el valor de la interferencia es superior a 8, entonces el bit no es interpretado correctamente por el aut´omata. Se pide:
- Obtener la probabilidad de que un bit sea interpretado correctamente.
- Obtener la probabilidad de que una instrucci´on sea interpretada correctamente.
- Obtener la probabilidad de que un programa de n instrucciones sea interpretado correcta- mente.
Soluci´on:
- Sea la variable aleatoria I = {valor de la interferencia}. Se tiene que I ∼ N (μ, σ^2 ) ≡ N (4, 1). Nos piden P [I ≤ 8] = P
[ I− 4
1 ≤^
8 − 4 1
]
= P [Z ≤ 4] = 0. 99997
- Sea B = {interpretaci´on de un bit}, B =
0 si el bit no es interpretado bien 1 si el bit es interpretado bien Entonces B ∼ Be(p) con p = P [I ≤ 8] = 0. 99997 Sea X = {n´umero de bits interpretados bien de una instrucci´on}, X ∼ Bi(16, p). Se tiene que P [X = k] =
k
pkq^16 −k^ con p = 0.99997 y q = 1 − p Una instrucci´on es interpretada correctamente si todos los bits son interpretados bien, nos piden P [X = 16] =
16
p^16 q^16 −^16 = (0.99997)^1 6 = 0. 9995
- Sea Y = {n´umero de instrucciones interpretadas correctamente en un programa}, Y ∼ Bi(n, p∗). Se tiene que P [Y = l] =
(n l
(p∗)l(q∗)n−l^ con p∗^ = P [X = 16] = 0. 9995 p = 0 .99997 y q = 1 − p La probabilidad de que el programa sea interpretado correctamente es P [Y = n] =
(n n
(p∗)n(q∗)n−n^ = (0.9995)n
Problema 6 Se sabe que la altura de los alumnos de la Universidad de Sevilla y de la Uni- versidad de M´alaga se distribuyen seg´un sendas normales X ∼ N (μ 1 , σ 12 ) e Y ∼ N (μ 2 , σ^22 ), respectivamente.
- Si se eligen al azar 9 alumnos de la Universidad de Sevilla, determinar las siguientes cues- tiones:
a) En el caso en el que conozca la desviaci´on t´ıpica de la poblaci´on, σ 1 = 6 cm, razonar cu´al es el intervalo de 6 cm de longitud que con mayor probabilidad contiene a la media poblacional. ¿Cu´al es dicha probabilidad m´axima? b) En el caso en el que se desconozca la desviaci´on t´ıpica de la poblaci´on, determinar el valor esperado de la longitud del intervalo de confianza del 90 % para la varianza poblacional, en funci´on de σ^21.
- Suponga ahora que se eligen en esta ocasi´on 6 alumnos al azar de la Universidad de Sevilla diferentes del apartado anterior, resultando las siguientes alturas en cm:
(170.2; 160.4; 165.3; 157.8; 178.6; 170.3)
Adem´as se escogen 5 alumnos al azar de la Universidad de M´alaga cuyas alturas en cm. son: (180.1; 162.3; 157.1; 163.5; 168.9)
Considerando las varianzas σ^21 y σ^22 desconocidas, calcule un intervalo de confianza del 90 % para el cociente entre varianzas de ambas poblaciones.
- Ahora la Universidad dispone de los dos servidores, uno con la informaci´on de las antiguas titulaciones y el n´umero de accesos esperado por segundo λ 1 = 8, y otro con la informaci´on de los nuevos grados y el n´umero de accesos esperado por segundo λ 2 = 4. Para registrar la informaci´on de los usuarios que acceden a ambos servidores, la Universidad los ha conectado a un servidor principal que funciona como bases de datos. Como dicho servidor principal atender´a los accesos de ambos servidores, se desea decidir la velocidad del procesador que se le implementar´a (en Hertzios= (^) segundos^1 ), midiendo la frecuencia esperada de los accesos al servidor principal. a) Modelar la variable T que mide el tiempo (en segundos) entre accesos al servidor principal. b) ¿Qu´e distribuci´on sigue la variable aleatoria F = {frecuencia de accesos al servidor principal} y cu´al es la frecuencia esperada?
Soluci´on:
- N = {n´umero de accesos a la memoria por segundo}. N ∼ Po(λ), pk = P [N = k] = e−λ λ k k!.
- Sea (k 1 ,... , kn) una mas, se tiene que la funci´on verosimilitud es:
L(λ) =
∏^ n
i=
pi(λ) =
∏^ n
i=
e−λ^
λki ki! = e−nλ^
λ
Pn i=1 ki ∏n i=1 ki! Tomando logaritmo neperiano
ln(L(λ)) = ln
e−nλ^
λ
Pn i=1 ki ∏n i=1 ki!
= ln
e−nλ
λ
Pn i=1 ki ∏n i=1 ki!
= −nλ + ln
λ
Pn i=1 ki
− ln
( (^) n ∏
i=
ki!
= −nλ +
∑^ n
i=
ki ln(λ) − ln
( (^) n ∏
i=
ki!
Derivando respecto de λ e igualando a cero se tiene: d(ln(L(λ))) dλ = −n +
∑n i=1 ki λ = 0 ⇔ n =
∑n i=1 ki λ ⇔ ˆλ =
∑n i=1 ki n = ¯x
Para comprobar que es m´aximo: d^2 (ln(L(λ))) dλ^2
∑n i=1 ki λ^2 < 0 , ∀λ > 0
El estimador m´axima verosimilitud es ˆλ = ¯x, por lo tanto, la estimaci´on es ˆλ = 7. 8
- M = {n´umero de accesos a la nueva memoria por segundo} M ∼ Po(4).
La memoria 1 se bloquear´a si M > 5, la 2 si M > 7 y la 3 si M > 10. P [M > 5] = 1 − F (5) = 1 −
k=0 pk^ = 1^ −^0 .6288 = 0.^2148 P [M > 7] = 1 − F (7) = 1 −
k=0 pk^ = 1^ −^0 .9489 = 0.^0511 P [M > 10] = 1 − F (10) = 1 −
k=0 pk^ = 1^ −^0 .9972 = 0.^0028 Se tiene que la probabilidad de que se bloquee el servidor con la memoria 1 es mayor que 0.06, sin embargo para las otras dos es menor, por lo que ambas son v´alidas. Como la memoria 2 es m´as econ´omica, ser´a la que se seleccione.
- T = {tiempo (en segundos) entre accesos al procesador }. El procesador recibir´a accesos de las dos memorias.
a) N = {n´umero de accesos a la memoria antigua por segundo} ⇒ TN = {tiempo entre accesos a la memoria antigua}. Como N ∼ Po(8) ⇒ TN ∼ Exp(8). M = {n´umero de accesos a la memoria nueva por segundo} ⇒ TM = {tiempo entre accesos a la memoria nueva}. Como M ∼ Po(4) ⇒ TM ∼ Exp(4). Entonces T = m´ın{TN , TM } ∼ Exp(8 + 4) ≡ Exp(12). b) F ∼ Po(12). Por lo tanto la frecuencia esperada es E[F ] = 12 Hertzios.
Problema 8 Un examen tipo test consta de n preguntas, cada una de ellas con cuatro opciones. La respuesta correcta a cada pregunta puede consistir en marcar ninguna, una, dos, tres o cuatro de las opciones posibles. Se pide:
- Modelar la variable aleatoria X n´umero de preguntas con respuesta correcta si en cada pregunta se marca un n´umero al azar de las opciones.
- Calcular la probabilidad de aprobar con el m´etodo anterior si el examen consta de 10 pre- guntas y se aprueba con m´as de dos preguntas acertadas.
- Si cada respuesta correcta suma un punto y cada dos respuestas incorrectas restan uno, mo- delar (en funci´on de X) la variable A puntuaci´on obtenida si en un examen de n preguntas se marca en cada una de ellas un n´umero al azar de las opciones.
Soluci´on:
- X = {n´umero de respuestas correctas de un test con n preguntas} X ∼ Bi(n, p), p =probabilidad de respuesta correcta p = casos favorablescasos posibles Casos favorables= 1 Casos posibles:
Marcar 0: C 4 , 0 =
0
Marcar 1: C 4 , 1 =
1
Marcar 2: C 4 , 2 =
2
Marcar 3: C 4 , 3 =
3
Marcar 4: C 4 , 4 =
4
Total: 16
p = casos favorablescasos posibles = 1/ 16
- n = 10 y p = 161 , por lo que X ∼ Bi
. Probabilidad de aprobar: P [X > 2] = 1 − P [X ≤ 2]
P [X ≤ 2] = P [X = 0] + P [X = 1] + P [X = 2] =
- Si A ⊂ B, hallar P (A/B) + P (A/ B¯).
- Si X ∼ χ^2 n, determinar E[X].
- Si X ∼ P o(λ), demostrar que se cumple pk+1 = (^) k+1λ pk, donde pk = P [X = k].
- Se tiene una poblaci´on (en la que se asume que la varianza es conocida) de la que se extrae una m.a.s. de tama˜no n 1 y se determina un intervalo de confianza para la media de nivel 1 − α. Si se extrae otra m.a.s. de tama˜no n 2 y se obtiene que la longitud del nuevo intervalo de confianza (de nivel 1 −α) para la media es el doble que la del primero, ¿cu´al es la relaci´on entre n 1 y n 2?
- Determinar el estimador de m´axima verosimilitud del par´ametro de la distribuci´on geom´etri- ca.
- Hallar los estad´ısticos de dispersi´on de los siguientes datos muestrales:
2 5 12 8 11 16 5 4 5 10
Soluci´on:
- A y B independientes ⇒ P (A ∩ B) = P (A) · P (B)
a) Por las leyes de Morgan se tiene que A∩B = A ∪ B, por lo que P (A∩B) = P (A ∪ B) = 1 − P (A ∪ B) = 1 − (P (A) + P (B) − P (A ∩ B)) = 1 − P (A) − P (B) + P (A)P (B) b) P (A)P (B) = (1 − P (A))(1 − P (B)) = 1 − P (A) − P (B) + P (A)P (B) c) Como P (A ∩ B) = P (A)P (B) se puede concluir que A y B son independientes.
pk+ pk
( (^) n k+
pk+1qn−(k+1) (n k
pkqn−k^
n! (k+1)!(n−(k+1))! p
k+1qn−k− 1 n! k!(n−k)! p kqn−k =
k!(n − k)(n − k − 1)!ppkqn−k−^1 (k + 1)k!(n − k − 1)!pkqqn−k−^1
n − k k + 1
p q Por lo tanto, pk+1 = nk−+1k^ pq pk
- X ∼ N (5, 4).
FY (y) = P [Y ≤ y] = P [|X| ≤ y] = P [−y ≤ X ≤ y] = P [X ≤ y] − P [X ≤ −y] =
= P
[
X − μ σ
y − μ σ
]
− P
[
X − μ σ
−y − μ σ
]
= P
[
Z ≤
y − μ σ
]
− P
[
Z ≤
−y − μ σ
]
y − μ σ
−y − μ σ
Por lo tanto FY (1.5) = Φ
2
2
- X ∼ U (5) ⇒ pk = P [X = k] = 15 , k = 1,... , 5
X 1 2 3 4 5
Y 1/2 1/3 1/2 1/3 1/
P [Y = 1/2] = P [X = 1] + P [X = 3] = 25
P [Y = 1/3] = P [X = 2] + P [X = 4] = 25
P [Y = 1/4] = P [X = 5] = 15
P [X = 4|Y = 1/3] = P^ [X P =4;[Y =1Y^ =1/3]/ 3]= P^ [Y^ =1 P/^3 [Y|X =1=4]/3]P [X=4]= 12 ·^1 // 55 = 12
P (A/B) + P (A/ B¯) =
P (A ∩ B)
P (B)
P (A ∩ B¯)
P ( B¯)
Como A ⊂ B ⇒ A ∩ B = A y A ∩ B¯ = ∅, por lo que se tiene que
P (A/B) + P (A/ B¯) =
P (A)
P (B)
P (∅)
1 − P (B)
P (A)
P (B)
- X ∼ χ^2 n ⇒ X =
∑n i=1 Z 2 i ,^ con^ Z^1 ,... , Zn^ variables aleatorias independientes e id´entica- mente distribuidas Zi ∼ N (0, 1) ∀i = 1,... , n. Por lo tanto,
E[X] = E
[ (^) n ∑
i=
Z i^2
]
∑^ n
i=
E[Z^2 i ]
Como V [Zi] = E[Z i^2 ] − (E[Zi])^2 = 1 y E[Zi] = 0, se tiene que E[Z i^2 ] = 1 − 02 = 1 ∀i = 1,... , n, por lo que E[X] =
∑^ n
i=
1 = n
- X ∼ P o(λ) ⇒ pk = P [X = k] = e−λ λ
k k!
pk+ pk
e−λ λ k+ (k+1)! e−λ λ kk!
λ k + 1
Por lo tanto pk+1 = (^) k+1λ pk p 0 = e−λ
- IC 11 −α(μ) =
[
X¯ 1 − √σn 1 zα/^2 ,^ X¯ 1 + √σn 1 zα/^2
]
⇒ L 1 = √^2 σn 1 zα/ 2.
IC 12 −α(μ) =
[
X¯ 2 − √σ n 2 zα/^2 ,^ X¯ 2 + √σ n 2 zα/^2
]
⇒ L 2 = √^2 σn 2 zα/ 2.
Si 2L 1 = L 2 ⇒ 2
√^2 σ n 1 zα/^2
= √^2 σn 2 zα/ 2 ⇒ √^2 n 1 = √^1 n 2 ⇒ 2 =
n 1 n 2 ⇒^ 4 =^
n 1 n 2 ⇒^ n^2 = 4n^1
- X ∼ Ge(p) ⇒ pk = P [X = k] = qkp = (1 − p)kp. Sea k 1 ,... , kn una mas
L(p) =
∏^ n
i=
Pp[X = ki] =
∏^ n
i=
(1 − p)ki^ p = (1 − p)
Pn i=1 ki^ pn
ln(L(p)) = ln((1 − p)
Pn i=1 ki^ ) + ln(pn) =
∑^ n
i=
ki ln((1 − p) + n ln p
Seg´un lo anterior Dk+1 = DkXk, y por tanto, la densidad de frutos tras cinco semanas D 5 ser´a: D 5 = DX 1 X 2 X 3 X 4 = DΠ^4 k=1Xk Debido a que las variables son independientes, seg´un el enunciado, se tiene que:
E[D 5 ] = DΠ^4 k=1E[Xk] = DE[Xk]^4
E[Xk] =
∀xk
xkpk = 1. 2 · 0 .40129 + 0. 9 · 0 .59871 = 1. 0203 D
Por tanto:
E[D 5 ] = 1. 084 D
- La densidad de frutos esperada tras n semanas es
E[Dn] = DΠn k−=1^1 E[Xk] = DE[Xk]n−^1
. Se pretende que E[Dn] ≥ 1. 2 D, por lo que, operando: D(1.0203)n−^1 ≥ 1. 2 D. Tomando logaritmos, se tiene: (n − 1)ln(1.0203) ≥ ln 1 .2, es decir: (n − 1)0. 02 ≥ 0 .1823 y despejando, n ≥ 11 .115.
Problema 12 Se tiene un examen tipo test de n preguntas en el que cada pregunta tiene cuatro opciones. Cada pregunta acertada suma un punto, mientras que cada pregunta incorrecta resta α puntos (0 < α < 1). Se pide:
- Modelar (en funci´on de α y n) la variable aleatoria N puntuaci´on obtenida si se contestasen todas las preguntas al azar suponiendo que cada pregunta solo tiene una y solo una opci´on correcta.
- Calcular la probabilidad de sacar 5 puntos o m´as en el caso anterior si hay 10 preguntas y α = 0. 25.
- Calcular de forma aproximada la probabilidad de sacar 30 puntos o m´as en el caso del primer apartado si hay 100 preguntas y α = 0. 25.
Soluci´on:
- La probabilidad de acertar al azar una pregunta del examen es p = 1/4 = 0, 25. Por tanto, la variable X n´umero de preguntas acertadas sigue una distribuci´on binomial de par´ametros n y p = 0, 25. Por tanto, se tiene que N = X − (n − X)α, es decir: N = (1 + α)X − nα.
- Se pide P [N ≥ 5] cuando n = 10 y α = 0.25. Por tanto, N = (1 + α)X − nα = 1. 25 X − 2 .5, de donde P [N ≥ 5] = P [1. 25 X − 2. 5 ≥ 5] = P [X ≥ 6]. Puesto que X es una binomial con n = 10 y p = 0.25, se tiene que:
P [X ≥ 10] = P [X = 10] =
(0.25)^10 (0.75)^0 = (0.25)^10 = 9. 5 · 10 −^7
- Si N =
i=1 Zi, donde^ Zi^ ∼^ Be(0.25), se tiene por el Teorema Central del L´ımite que N ∼ N (100E[Zi], 100 V [Zi]). Por tanto, N ∼ N (25, 18 .75). Dado que se nos pide P [N ≥ 30], se tiene: P [S ≥ 30] = P
[
√S−^25
- 5 ≥^ √^30 −^25
- 5
]
= 1 − P
[
√S−^25
- 5 ≥^0.^37
]
Problema 13 Se tiene una variable aleatoria que sigue una distribuci´on normal de par´ametros μ y σ^2.
- Determinar el estimador de m´axima verosimilitud para los par´ametros μ y σ^2.
- Asumiendo que tanto μ como σ^2 son desconocidos, se ha extra´ıdo una mas de tama˜no n = 16, de la que se sabe que con un grado de confianza del 90 % (en ambos casos) σ^2 se encuentra en el intervalo [3. 8 , A] y μ se encuentra en el intervalo [1. 5 , B]. Se pide:
a) Determinar el valor de A. b) Determinar el valor de B.
Soluci´on:
- Sea (x 1 ,... , xn) una muestra obtenida de observar una mas. Se tiene que la funci´on de verosimilitud para la distribuci´on normal viene dada por: L(μ, σ^2 ) =
∏n i=1 f^ (xi, μ, σ
∏n i= √^1 2 πσ e
− (xi−μ) 2 2 σ^2 =
√^1 2 πσ
)n e−^
Pn i= (xi−μ)^2 2 σ^2 Tomando logaritmo neperiano:
ln L(μ, σ^2 ) = −n ln(
2 π) − n ln(σ) −
∑^ n
i=
(xi − μ)^2 2 σ^2
Derivando respecto a μ e igualando a cero:
∂ ln L(μ, σ^2 ) ∂μ
2 σ^2
∑^ n
i=
2(xi − μ) = 0 ⇔
∑^ n
i=
(xi − μ) = 0 ⇔ μˆ =
∑n i=1 xi n = ¯x
Para ver que es m´aximo comprobamos que la derivada segunda es negativa en ˆμ:
∂^2 ln L(μ, σ^2 ) ∂μ^2
= −n < 0 , ∀μ
Derivando respecto a σ e igualando a cero:
∂ ln L(μ, σ^2 ) ∂σ
−n σ
2 σ^3
∑^ n
i=
(xi − μ)^2 = 0 ⇔ −n +
σ^2
∑^ n
i=
(xi − μ)^2 = 0 ⇔
ˆσ^2 =
∑n i=1(xi^ −^ μˆ)
2 n
∑n i=1(xi^ −^ x¯)
2 n
