¡Descarga Problemes Resolts TEMA 1 y más Ejercicios en PDF de Física solo en Docsity!
Llei de Coulomb. Camp Elèctric
P1.1. Als quatre vèrtexs d'un quadrat de 10cm de costat hi ha tres càrregues elèctriques puntuals. Les dues càrregues situades en els vèrtexs oposats tenen el mateix valor +𝑞. La tercera càrrega, situada a l’origen (0,0), val −2𝑞. Si en el quart vèrtex restant hi col·loquem una nova càrrega puntual +𝑞, a quina força estarà sotmesa? Dada: 𝑞 = 5μC
Sol: 𝐹⃗ = 6,6 𝑖̂ + 6,6 𝑗̂ (N)
Podem començar per dibuixar la configuració que ens dóna l’enunciat. Per avaluar la força que fa una càrrega puntual sobre una altra, dibuixarem el vector força sobre la càrrega que rep la força [situada al vèrtex (1,1)], amb direcció segons la recta que uneix les dues càrregues en interacció i amb sentit atractiu cap a la càrrega que fa la força si les dues càrregues en interacció tenen signe contrari, o repulsiu allunyant-se de la càrrega si les dues càrregues en interacció tenen el mateix signe. També podem considerar que el mòdul de la força (la longitud del vector força) és proporcional al mòdul del producte de càrregues i inversament proporcional a la distància. Tenint en compte aquestes indicacions, podem fer el dibuix següent:
on hem dibuixat cada vector força amb el mateix color que la càrrega que la fa.
Pel càlcul matemàtic, fem servir la llei de Coulomb que ens diu que la força que la càrrega 𝑞𝑖 fa sobre la càrrega 𝑞:
𝐹⃗𝑖→𝑞 = 𝑘
𝑟𝑖𝑞^2 𝑟̂𝑖𝑞
on 𝑟̂𝑖𝑞 és el vector unitari corresponent al vector 𝑟⃗𝑖𝑞, que surt de la càrrega que fa la força i apunta cap a la càrrega que rep la força:
𝑟̂𝑖𝑞 =
i 𝑟𝑖𝑞 és el mòdul del vector 𝑟⃗𝑖𝑞.
= 0 , 1 m
Aleshores podem escriure:
𝑞^2
ℓ^2 ^ = 𝑘 𝑖
𝑞^2
ℓ^2 (1,0)
𝑞^2
ℓ^2 𝑗^ = 𝑘
𝑞^2
ℓ^2 (0,1)
−2𝑞^2
𝑑^2
(𝑖^+ 𝑗^) = 𝑘
𝑞^2
ℓ^2
on 𝑑 = √2 ℓ és la diagonal del quadrat.
Aleshores, segons el principi de superposició de forces, la força total serà la suma vectorial de totes les forces actuant sobre la càrrega que estem considerant:
𝑞^2
ℓ^2 (1,0) + 𝑘
𝑞^2
ℓ^2 (0,1) + 𝑘
𝑞^2
ℓ^2
𝑞^2
ℓ^2 (1 −
) (1,1) = 6,6 (𝑖̂ + 𝑗̂ )(N)
(𝑏 2⁄ )^2 (1,0) =^
(𝑏 2⁄ )^2 (+𝑖̂)
(𝑏 2⁄ )^2 (−1,0) =^
(𝑏 2⁄ )^2 (−𝑖̂)
ℎ^2 (0, −1) =
ℎ^2 (−𝑗̂)^ }
(𝑏 2⁄ )^2 −^
(𝑏 2⁄ )^2 ) 𝑖̂ + (−
ℎ^2 ) 𝑗̂
𝐸⃗⃗ = (6,8 𝑖̂ − 3,0 𝑗̂) · 10^5 N C⁄
b) Per calcular la força elèctrica sobre una càrrega 𝑄, recordem que la força tindrà la mateixa direcció que el camp elèctric calculat anteriorment, i sentit contrari perquè la càrrega 𝑄 és negativa.
Matemàticament:
𝐹⃗ = 𝑄𝐸⃗⃗ = −4,0 · 10−6^ (6,8 𝑖̂ − 3,0 𝑗̂) · 10^5 = (−2,7 𝑖̂ + 1,2 𝑗̂) (N)
𝐹 = √𝐹𝑥^2 + 𝐹𝑦^2 = √(−2,7)^2 + (1,2)^2 = 2,96N
tan 𝜃 =
𝐹𝑥^ =^
0
ja que el vector força està al segon quadrant tal com mostra la figura.
𝑞 (^) 𝑞 2
𝑄
𝐸
𝐹⃗
𝜃
P1.3. Quatre càrregues del mateix mòdul 𝑞 estan situades als vèrtexs d'un quadrat de costat tal i com es mostra a la figura. Demostreu que el camp elèctric degut a les quatre càrregues en el punt mig d'un costat qualsevol està dirigit segons la línia definida pel mateix costat, va cap a la càrrega negativa i té un valor: 𝐸 = 8 𝑘
2 (^1 −^
Començarem per escollir un costat i el seu punt mig, en aquest cas el punt P de la figura i dibuixar de manera qualitativa el camps elèctric creat per cadascuna de les càrregues:
Matemàticament:
𝐸⃗⃗𝑖 = 𝑘
𝑟𝑖𝑃^2
( /2)^2 (0, −1) =^
( /2)^2 (0,1)
( /2)^2 (0,1)
On hem utilitzat que la distància de les càrregues 3 i 4 al punt P és:
𝑟 (^) 𝑃 = 𝑟4𝑃 = √ 2 + ( /2)^2 = √5 2 /
3
1 4
2
−𝑞
+𝑞 −𝑞
+𝑞
P
𝐸 2 𝐸
𝐸 4 𝐸
rotació de 180° al voltant de l’altre eix diagonal: fent els mateixos arguments que l’operació anterior, demostrem el que demana l’enunciat pel costat superior:
−𝑞
+𝑞 −𝑞
+𝑞 𝐸 P
−𝑞
+𝑞
+𝑞 𝐸 P
P1.4. Dues esferes molt petites, amb la mateixa massa 𝑚 = 10g i la mateixa càrrega positiva, pengen dels extrems de dos fils aïllants de longitud 1m suspesos del mateix punt. Quan es troben en equilibri l'angle de cada fil amb la vertical és de 300. Calculeu: a) El valor de la tensió de la corda a la posició d'equilibri i la càrrega de cada esfera. b) Si traiem una de les càrregues calculeu la velocitat de l'altra quan passa per la vertical. c) Quin seria el mòdul, la direcció i el sentit del camp elèctric que caldria aplicar per tal que, si traiem una de les càrregues, l'altra segueixi estant en la mateixa posició d’equilibri.
Sol : a) 𝑇 = 0,11N ; 𝑞 = 2,5μC b) 𝑣 = 1,62 m/s c) 𝐸⃗⃗ = 23 · 10 𝑖̂ N/C
Ens fixem en la càrrega de la dreta, per exemple:
a) Equilibri de forces:
𝑇 cos 𝜃 = 𝑚𝑔 → 𝑇 =
cos 𝜃
= 0,11N
𝐹𝑒 = 𝑇 sin 𝜃 = 0,055 N
𝑞^2
2 → 𝑞 = 2,5μC
on = 2 ℓ sin 𝜃 = 1m és la distància que separa les dues càrregues.
b) Suposem que traiem la càrrega de l’esquerra.
Conservació de l’energia mecànica:
𝑈𝑔,𝑖 + 𝐸⏟𝑐𝑖𝑛,𝑖 0
0
2
𝑚𝑔ℓ(1 − cos 𝜃) =
2
𝑣 = √2𝑔ℓ(1 − cos 𝜃) = 1,62 m s⁄
c) El camp elèctric que apliquem haurà d’exercir sobre la càrrega 𝑞 la mateixa força 𝐹𝑒 que feia la càrrega que hem tret:
𝑞 = 23 · 10^ N C⁄
La direcció del camp serà horitzontal, i sentit dependrà de la càrrega que considerem: si és la de la dreta, el camp anirà dirigit cap a la dreta.
(b) Angle que forma la velocitat de l'electró respecte l'eix del tub:
𝑣𝑥 1 = 𝑣𝑥 0 = 2,1 · 10^7 m/s
(^6) m/s
𝜃 = arctan
(c) La trajectòria des de l’extrem dret de les plaques ( = 4cm) fins a la pantalla ( 2 = 16cm) es desenvolupa a velocitat constant (moviment rectilini uniforme tant per l’eix o com per l’eix ):
2 =^ + 𝑣𝑥 1 𝑡 → 𝑡 =^
−9 (^) s
2 =^ + 𝑣𝑦 1 𝑡 = −44,6 · 10−^ m
P1.6. Dues càrregues puntuals positives del mateix valor +𝑞, estan sobre l'eix de les situades en els punts (𝑎, 0,0) i (−𝑎, 0,0). a) Calculeu el camp elèctric en un punt de l'eix a una distància 𝑅 de l'origen de coordenades. b) Calculeu la distància 𝑅 per a la qual el mòdul del camp elèctric és màxim.
Sol: a) 2 2 3/ 2 ( )
E 2 kq R^ ˆ j R a
(^) b) 2
R ^ a
(a) Camp elèctric en un punt de l'eix a una distància 𝑅 de l'origen de coordenades:
𝑟⃗ = (0, 𝑅, 0) − (−𝑎, 0,0) = (𝑎, 𝑅, 0) → 𝑟 = √𝑎^2 + 𝑅^2 𝑟⃗ 2 = (0, 𝑅, 0) − (𝑎, 0,0) = (−𝑎, 𝑅, 0) → 𝑟 2 = √𝑎^2 + 𝑅^2
𝑟 𝑟⃗^ =^
(𝑎^2 + 𝑅^2 ) /2^ (𝑎, 𝑅, 0)
(𝑎^2 + 𝑅^2 ) /2^ (−𝑎, 𝑅, 0)
(𝑎^2 + 𝑅^2 ) /2^ (0,2𝑅, 0) =^
(𝑎^2 + 𝑅^2 ) /2^ (0,1,0) → 𝐸𝑇^ =^
(𝑎^2 + 𝑅^2 ) /
(b) Distància 𝑅 per a la qual el mòdul del camp elèctric és màxim
𝐸𝑇(𝑅) màxim →
2𝑘𝑞(𝑎^2 + 𝑅^2 )^2 − 2𝑘𝑞𝑅^32 (𝑎^2 + 𝑅^2 )^2 2𝑅
(𝑎^2 + 𝑅^2 )
dividim tota l’equació per 2𝑘𝑞(𝑎^2 + 𝑅^2 )
1 (^2) :
→ (𝑎^2 + 𝑅^2 ) − 3𝑅^2 = 0 → 𝑅 =
Un cop hem calculat el camp, ja podem calcular la força que rep la càrrega 𝑞 que es troba al punt :
0 (^0 −^ )
𝑖̂ = 0,5𝑖̂ N
on hem introduït les dades que ens dóna l’enunciat, segons el qual
0 = (60 + 30)cm = 0,9 m
= 60 cm = 0,6 m
P1.9. Calculeu el camp elèctric creat per un anell de radi 𝑅 uniformement carregat amb una densitat lineal de càrrega 𝜆 en un punt qualsevol de l’eix perpendicular a la seva superfície (eix 𝑧).
Sol: 2 2 3/ 2 0
E z R k z R
Calcularem el camp elèctric en un punt de l’eix de l’anell mitjançant el principi de superposició.
El mòdul del camp elèctric creat per la “càrrega puntual” continguda en un 𝑑ℓ de l’anell:
𝑟^2 =^
𝑟^2
Per simetria veiem que només tindrem components del camp segons l’eix 𝑧:
𝑑𝐸𝑧 = 𝑑𝐸 cos 𝜃 =
𝑟^2 cos 𝜃 =^
𝑟^2
𝑟 =^
Integrem per a tot l’anell:
𝑎𝑛𝑒𝑙𝑙
2𝜋𝑅
𝑟 2𝜋𝑅 =^
Substituïm:
𝑟 = √𝑧^2 + 𝑅^2 = (𝑧^2 + 𝑅^2 ) /2^ → 𝐸𝑧 =
(𝑧^2 + 𝑅^2 ) /
Q1.2. Un parell de càrregues +𝑞 i − 2 𝑞 es localitzen a les posicions = 0 i = 10 cm respectivament. El camp elèctric és nul a la posició:
a) = − 4 , 1 cm b) = + 4 , 1 cm c) = − 24 , 1 cm d) = + 24 , 1 cm
Comencem per dibuixar la configuració de càrregues que ens proposa l’enunciat. Aleshores podem separar l’espai en tres regions: > 0,1m, 0 < < 0,1m, < 0m, i dibuixar de manera qualitativa, els camps creats per cadascuna de les càrregues a cada regió.
D’aquesta manera, podem veure que l’única regió possible on el camp elèctric es pot anular és < 0 per les raons següents: per 0 < < 0,1m els camps són paral·lels. per > 0,1m sempre es complirà que |𝐸−2𝑞| > |𝐸𝑞| ja que cal recordar que el camp és proporcional a la càrrega (|−2𝑞| > 𝑞) i inversament proporcional a la distància (els punts en aquesta regió estan més a prop de la càrrega −2𝑞 que de la càrrega 𝑞)
Tenint en compte això, calculem el camp creat per cada càrrega a la regió < 0:
(− + 0,1)^2 (−𝑖̂)
i imposar la condició que el camp total sigui nul:
2 𝑖̂ +^
(− + 0,1)^2 (−𝑖̂) = 0
Aquesta condició ens dóna una equació per la incògnita , que solucionem de la manera següent:
2 +^
(− + 0,1)^2 = 0 →
2 =^
(− + 0,1)^2 →^
2 + 0,2 − 0,01 = 0 → = −0,2 ± √0,2^2 + 4 · 0,
= −0,241 m
La resposta correcta és la c).
𝐸𝑞 𝐸−2𝑞
Q1.3. El camp elèctric creat per la Terra a prop de la seva superfície val aproximadament 150 N/C i està dirigit cap a la superfície terrestre. Quina càrrega caldria subministrar a un cos de 1 mg de massa per tal que la força elèctrica equilibrés la gravitatòria?
a) + 65 nC b) − 65 nC c) + 65 μC d) impossible!!
La força exercida pel camp elèctric, 𝐹⃗𝐸, ha de ser vertical i cap amunt, per compensar el pes del cos:
𝐹⃗𝐸 + 𝑚𝑔⃗ = 0 → 𝑞𝐸⃗⃗ + 𝑚𝑔⃗ = 0 → |𝑞|𝐸 = 𝑚𝑔 → |𝑞| =
−8 (^) C = 65nC
Com la força 𝐹⃗𝐸 i el camp elèctric 𝐸⃗⃗ han de ser de sentit contrari, la càrrega ha de ser negativa.
La resposta correcta és la b).
Q1.7. Considereu un fil en forma de quadrant circular de radi 𝑅 i carregat uniformement amb una densitat lineal de càrrega 𝜆 situat en el primer quadrant del pla. El camp elèctric creat pel fil al seu centre de curvatura ( 0 , 0 ) és:
a)
0
E i j R
b) E 0 c)
0
ˆ ˆ 4
E i j R
d) 2
0
ˆ ˆ 4
E i j R
Calcularem el camp elèctric al punt (0,0) mitjançant el principi de superposició.
El camp elèctric creat per la “càrrega puntual” 𝑑𝑞 continguda en un 𝑑ℓ de l’arc en aquest punt serà:
𝑟^2 =^
𝑅^2 =^
𝑅^2 =^
𝑑𝐸𝑥 = −𝑑𝐸 cos 𝜃 = −
4𝜋𝜀 0 𝑅 cos 𝜃 𝑑𝜃 → 𝐸𝑥^ = −^
4𝜋𝜀 0 𝑅 ∫ cos 𝜃 𝑑𝜃
𝜋/
𝑑𝐸𝑦 = −𝑑𝐸 sin 𝜃 = −
4𝜋𝜀 0 𝑅 sin 𝜃 𝑑𝜃 → 𝐸𝑦^ = −^
4𝜋𝜀 0 𝑅 ∫ sin 𝜃 𝑑𝜃
𝜋/
Expressat com a vector:
La resposta correcta és la c).
