¡Descarga Interpolación Polinómica: Fórmula de Newton y Lagrange y más Apuntes en PDF de Estadística solo en Docsity!
‘INTERPOLACIÓN POLINÓMICA
FORMULAS DE INTERPOLACIÓN DE NEWTON CON DIFERENCIAS PROGRESIVAS Y DIFERENCIAS DIVIDIDAS
- Obtener el polinomio de interpolación usando la fórmula de Newton, en diferencias finitas hacia adelante
(Diferencias Progresivas) y utilizando la tabla de valores que sigue. Interpolar en el punto x = 5/
x k
0 1/2 1
f(x k
) 4 23/4 7
SOLUCIÓN
Tabla de Diferencias Progresivas
k x
k
f
k
∆ f
k
2
f
k
0 0 4 ∆ f
0
= 7/
∆
2
f
0
= -1/
1 ½ 23/4 ∆ f
1
= 5/
2 1 7
La fórmula de interpolación de Newton con Diferencias Progresivas:
P ( x )= f
x
0
x − x
0
h
∆ f
x
0
x − x
0
x − x
1
2_! h_
2
2
f
x
0
x − x
0
x − x
1
x − x
2
3 !h
3
3
f
x
0
Reemplazando, se obtiene:
P ( x )= 4 +
x
x ( x − 1 / 2 )
2
P ( x )= 4 +
7 x
− x
2 x − 1
7 x
− x
2
x
→ P
x
=− x
2
y P
2
- Obtener el polinomio de interpolación usando la fórmula de Newton, en diferencias finitas hacia adelante
(Diferencias Progresivas) y utilizando la tabla de valores que sigue. Interpolar en el punto x = 9/
x k
2 7/2 5
f(x k
) 17 23 29
SOLUCIÓN( Completar)
MioTabla de Diferencias Progresivas
k x
k
f
k
∆ f
k
2
f
k
0 2 17 ∆ f
0
=
∆
2
f
0
=
1 7/2 23 ∆ f
1
2 5 29
La fórmula de interpolación de Newton con Diferencias Progresivas:
P ( x )= f
x
0
x − x
0
h
∆ f
x
0
x − x
0
x − x
1
2_! h_
2
2
f
x
0
x − x
0
x − x
1
x − x
2
3 !h
3
3
f
x
0
Reemplazando, se obtiene:
P ( x )=¿
P ( x )=¿
→ P ( x )
y
P
- Obtener el polinomio de interpolación usando la fórmula de Newton, en diferencias finitas hacia adelante
(Diferencias Progresivas) y utilizando la tabla de valores que sigue. Interpolar en el punto x = – 14/
x k
f(x k
) – 4 – 32/9 – 8/3 – 2
SOLUCIÓN
Tabla de Diferencias Progresivas
k x
k
f
k
∆ f
k
2
f
k
3
f
k
0 – 1 – 4 ∆ f
0
= 4/ ∆
2
f
0
3
f
0
2/
1
1
8/
9
2
f
1
= –
2/
2
2
2/
3
3 0
La fórmula de interpolación de Newton con Diferencias Progresivas:
P ( x )= f
x
0
x − x
0
h
∆ f
x
0
x − x
0
x − x
1
2_! h_
2
2
f
x
0
x − x
0
x − x
1
x − x
2
3 !h
3
3
f
x
0
...
Reemplazando, se obtiene:
P ( x )=− 4 +
x + 1
( x + 1 ) ( x + 2 / 3 )
2
( x + 1 ) ( x + 2 / 3 ) ( x + 1 / 3 )
3
P ( x )=− 4 + 3
( x + 1 )+
( x + 1 )
3 x + 2
( x + 1 )
3 x + 2
3 x + 1
→ P ( x )
( x + 1 ) +
( x + 1 )( 3 x + 2 )−
( x + 1 ) ( 3 x + 2 )( 3 x + 1 )
→ P ( x )=− 4 +
x +
2
x +
− 3 x
3
− 6 x
2
x −
4
La fórmula de interpolación de Newton con Diferencias Progresivas:
P ( x )= f
x
0
x − x
0
h
∆ f
x
0
x − x
0
x − x
1
2_! h_
2
2
f
x
0
x − x
0
x − x
1
x − x
2
3 !h
3
3
f
x
0
Reemplazando, se obtiene:
P ( x )=¿
- Obtener el polinomio de interpolación usando la fórmula de Newton, en diferencias finitas hacia adelante
(Diferencias Progresivas) y utilizando la tabla de valores que sigue. Interpolar en el punto x = 1/
x k
0 1/5 2/5 3/5 4/
f(x k
) 0 –257/625 –632/625 –1227/625 –2072/
- Obtener el polinomio de interpolación usando la fórmula de Newton, en diferencias finitas hacia adelante
(Diferencias Progresivas) y utilizando la tabla de valores que sigue. Interpolar en el punto x = 3/
x k
–2 – 5/4 – 1/2 1/4 1 7/
f(x k
) – 51 –11385/1024 –195/32 –4227/1024 0 13731/
- Obtener el polinomio de interpolación usando la fórmula de Newton, en diferencias finitas hacia adelante
(Diferencias Progresivas) y utilizando la tabla de valores que sigue. Interpolar en el punto x = –
x k
–7 –23/4 – 9/2 – 13 /4 –2 – 3 /
f(x k
) 5847 354571/128 2209/2 42831/128 62 691/
- Obtener el polinomio de interpolación usando la fórmula de Newton, en diferencias divididas con los datos de la tabla
que aparece a continuación e interpolar en el punto x = 3
x k
f(xk) – 20 – 30 – 2
SOLUCIÓN
Tabla de Diferencias divididas
k x
k
f
k
f
[
x
k
, x
k + 1
]
f
[
x
k
, x
k + 1
, x
k + 2
]
0
[
x
0
, x
1
]
1
f
[
x
0
, x
1
, x
2
]
1 6 – 30 f [
x
1
, x
2
]
7
2 2 – 2
La fórmula de interpolación de Newton con Diferencias Divididas:
P ( x )= f
x
0
x − x
0
f [
x
0
, x
1
]
x − x
0
x − x
1
f [
x
0
, x
1
, x
2
]
x − x
0
x − x
1
x − x
2
f [
x
0
, x
1
, x
2
, x
3
]
...
Reemplazando, se obtiene:
P ( x )=− 20 +( x + 4 )(– 1)+( x + 4 ) ( x − 6 ) (− 1 )
P
x
=− 20 − x − 4 − x
2
→ P
x
=− x
2
y P ( 3 )=−( 3 )
2
- Obtener el polinomio de interpolación usando la fórmula de Newton, en diferencias divididas con los datos de la tabla
que aparece a continuación e interpolar en el punto x = – 1
x k
6 – 2 – 4
f(x k
) 48 0 8
SOLUCIÓN (COMPLETAR)
Tabla de Diferencias divididas
k x
k
f
k
f [
x
k
, x
k + 1
]
f [
x
k
, x
k + 1
, x
k + 2
]
0 f [
x
0
, x
1
]
=¿ f [
x
0
, x
1
, x
2
]
1 f [
x
1
, x
2
]
2
La fórmula de interpolación de Newton con Diferencias Divididas:
P ( x )= f
x
0
x − x
0
f [
x
0
, x
1
]
x − x
0
x − x
1
f [
x
0
, x
1
, x
2
]
x − x
0
x − x
1
x − x
2
f [
x
0
, x
1
, x
2
, x
3
]
...
Reemplazando, se obtiene:
P ( x )
P ( x )=¿
→ P ( x )=¿
y P (− 1 )=¿
- Obtener el polinomio de interpolación usando la fórmula de Newton, en diferencias divididas con los datos de la tabla
que aparece a continuación e interpolar en el punto x =– 1
x k
4 – 4 3 – 6
f(xk) 78 – 210 28 – 602
SOLUCIÓN(COMPLETAR)
Temperatura,T – 50 – 20 10 70 100 120
Capacidad, C 0.125 0.128 0.034 0.144 0.
5
Utilice todos los puntos para hallar el polinomio interpolante que permite aproximar la capacidad calorífica para
cualquier temperatura, entre – 50 y 120.
INTERPOLACIÓN POLINÓMICA
FORMULAS DE INTERPOLACIÓN DE LAGRANGE
Para (n+1) puntos: (
x
0
, f ( x
0
)
(
x
1
, f ( x
1
)
(
x
2
, f ( x
2
)
(
x
n
, f ( x
n
)
el polinomio de interpolación de Lagrange L
n
( x ),
es de la forma:
L
n
( x ) = p
0
( x ) f
x
0
1
( x ) f
x
1
2
( x ) f
x
2
i
( x ) f
x
i
n
( x ) f
x
n
Donde:
p
i
( x ) =
x − x
0
x − x
1
x − x
2
x − x
i − 1
x − x
i + 1
x − x
n − 1
x − x
n
x
i
− x
0
x
i
− x
1
x
i
− x
2
x
i
− x
i − 1
x
i
− x
i + 1
x
i
− x
n − 1
x
i
− x
n
, para i = 0 , 1 , 2 , 3 , … , n
Así por ejemplo: para 4 puntos : (
x
0
, f
x
0
)
(
x
1
, f
x
1
)
(
x
2
, f
x
2
)
y
(
x
3
, f
x
3
)
, se tiene el polinomio de interpolación :
L
3
( x ) = p
0
( x ) f
x
0
1
( x ) f
x
1
2
( x ) f
x
2
3
( x ) f
x
3
Donde : p
0
( x )=
x − x
1
x − x
2
x − x
3
x
0
− x
1
x
0
− x
2
x
0
− x
3
; p
1
( x ) =
x − x
0
x − x
2
x − x
3
x
1
− x
0
x
1
− x
2
x
1
− x
3
p
2
( x ) =
x − x
0
x − x
1
x − x
3
x
2
− x
0
x
2
− x
1
x
2
− x
3
y p
3
( x ) =
x − x
0
x − x
1
x − x
2
x
3
− x
0
x
3
− x
1
x
3
− x
2
- Obtener el polinomio de interpolación usando la fórmula de interpolación de Lagrange con la siguiente tabla de
valores e interpolar en el punto x = – 4
x i
7 – 6
f(x i
) 30 – 22
SOLUCIÓN
Presentamos la misma tabla así:
i x
i
f
i
0 7 30
1 – 6 – 22
Luego el polinomio de interpolación de Lagrange es :
L
1
( x )= p
0
( x ) f
x
0
1
( x ) f
x
1
Donde : p
0
( x )=
x − x
1
x
0
− x
1
; p
1
( x ) =
x − x
0
x
1
− x
0
Entonces:
L
1
( x )=¿
( x + 6 )
( x − 7 )
→ L
1
( x )=
( x + 6 )
( x − 7 )
( x + 6 ) +
( x − 7 )=
x +
= 4 x + 2
∴ L
1
( x )= 4 x + 2
f (− 4 ) ≈ L
1
.
- Obtener el polinomio de interpolación usando la fórmula de interpolación de Lagrange con la siguiente tabla de
valores e interpolar en el punto x = 2.
x i
2 3
f(x i
) 0.6931 1.
- Obtener el polinomio de interpolación usando la fórmula de interpolación de Lagrange con la siguiente tabla de
valores e interpolar en el punto x = – 3
x i
1 – 4 – 7
f(x i
) 10 10 34
SOLUCIÓN
Presentamos la misma tabla así:
i x
i
f
i
0 1 10
1 – 4 10
2 – 7 34
Luego el polinomio de interpolación de Lagrange es :
L
2
( x )= p
0
( x ) f
x
0
1
( x ) f
x
1
2
( x ) f
x
2
Donde :
p
0
( x )=
x − x
1
x − x
2
x
0
− x
1
x
0
− x
2
p
1
( x ) =
x − x
0
x − x
2
x
1
− x
0
x
1
− x
2
y
p
2
( x ) =
x − x
0
x − x
1
x
2
− x
0
x
2
− x
1
Entonces:
L
2
( x )=¿
( x + 4 )( x + 7 )
( x − 1 ) ( x + 7 )
( x − 1 ) ( x + 4 )
Entonces:
L
3
( x ) =¿
( x + 5 ) ( x − 3 ) ( x + 1 )
( x − 5 ) ( x − 3 ) ( x + 1 )
( x − 5 ) ( x + 5 ) ( x + 1 )
( x − 5 ) ( x + 5 ) ( x − 3 )
L
3
( x ) =¿
( x + 5 ) ( x − 3 ) ( x + 1 )
( x − 5 ) ( x − 3 ) ( x + 1 )
( x − 5 ) ( x + 5 ) ( x + 1 )
( x − 5 ) ( x + 5 ) ( x − 3 )
→ L
3
( x )=¿
( x + 5 ) ( x − 3 ) ( x + 1 ) −
( x − 5 ) ( x − 3 ) ( x + 1 ) +
( x − 5 ) ( x + 5 ) ( x + 1 )−
( x − 5 ) ( x + 5 ) ( x − 3 )
→ L
3
( x )=¿
( x
3
2
− 13 x − 15 )−
( x
3
− 7 x
2
+ 7 x + 15 ) +
( x
3
2
− 25 x − 25 ) −
( x
3
− 3 x
2
− 25 x + 75 )
→ L
3
( x )=
x
3
x
2
x +
→ L
3
x
x
3
x
2
x +
→ L
3
x
=− 3 x
3
− x
2
Luego: f ( 2 ) ≈ L
3
3
2
→ L
2
( x )= x
2
y f (− 3 ) ≈ L
2
2
- Obtener el polinomio de interpolación usando la fórmula de interpolación de Lagrange con la siguiente tabla de
valores e interpolar en el punto x = 1
x i
f(x i
) – 16 – 5 – 10 – 50
- Obtener el polinomio de interpolación usando la fórmula de interpolación de Lagrange con la siguiente tabla de
valores e interpolar en el punto x = – 1
x i
0 – 3 2 – 4
f(x i
) 0 – 84 26 – 196
- Obtener el polinomio de interpolación usando la fórmula de interpolación de Lagrange con la siguiente tabla de
valores e interpolar en el punto x = 1
x i
f(x i
) 45 10 – 235 – 1 0
- Obtener el polinomio de interpolación usando la fórmula de interpolación de Lagrange con la siguiente tabla de
valores e interpolar en el punto x =– 1
x i
4 0 – 6 1 – 4
f(x i
) 808 4 1438 10 160
11 – 11 – 2019
NGAS/Prof.
