¡Descarga PROYECTO MATEMATICA INTERMEDIA 1 y más Resúmenes en PDF de Ingeniería Matemática solo en Docsity!
Facultad de Ingeniería Matemática intermedia 1
Proyecto 1
Fecha de entrega: lunes 16 de marzo de 202 6 Introducción: El desarrollo de proyectos es importante en la formación del estudiante ya que le permite desarrollar habilidades para encontrar soluciones a problemas, los cuales requieren el uso de tecnología para su solución. Para resolver los problemas, el estudiante debe realizar un análisis matemático, así como realizar los cálculos utilizando el software que consideren conveniente. Entre los programas que puede utilizar están: Scientific Notebbok, Mathematica, Maple, der ive, Mathlab etc. El informe debe ser presentado utilizando un procesador de textos, en cuyo caso deben importarse los resultados del programa matemático o bien editando completamente el informe con el editor que incluyen algunos programas como Scientific Notebook, Mathematica y Maple. Criptografía Muchas veces en el mundo de la informática, se necesita enviar mensajes encriptados que sean difíciles de desencriptar por personas a las que no se les quiere dar la información, pero que si lo sea para las personas que lo deben recibir. Si bien es cierto que hay muchas formas de encriptar, en la mayoría de los casos se usa el álgebra de matrices para hacerlo. Se dará a continuación un ejemplo muy eficaz donde se puede usar una matriz código cuadrada. Se escoge una matriz M que tenga inversa, la cual solo debe ser conocida por las personas que envían y las personas que reciben el mensaje. Ejemplo: Si queremos encriptar el mensaje “La matemática es puerta y llave de la ciencia. ” reemplazamos cada letra del mensaje por el número que le corresponde en el abecedario. A = 1 B=2 C=3 D=4 E=5 F=6 G= H=8 I=9 J=10 K=11 L=12 M=13 N= Ñ=15 O=16 P=17 Q=18 R=19 S=20 T= U=22 V=23 X=24 Y=25 Z= Dándole al espacio en blanco el cero (0), al punto (.) el 27, al punto y coma (;) el 28, a la coma (,) el 31, a la a tildada (á) el 29, a la o tildada (ó) el 32 y a las comillas el 30 Al sustituir las letras por números queda: 28, 3, 16, 14, 27, 14, 32, 13, 5, 19, 16, 20, 27, 20, 5, 27, 20, 5, 27, 17, 22, 5, 4, 5, 27, 4, 5, 13, 16, 20, 21, 1, 19, 27, 3, 22, 1, 12, 18, 22, 8, 5, 19, 27, 3, 16, 20, 1, 0, 28. La lista de números obtenida debe ser ordenada como una matriz de cuatro filas y las columnas que sean necesarias, colocando los números en mismo orden del listado (nótese que se van formando las filas), así:
Facultad de Ingeniería Matemática intermedia 1 La matriz anterior será multiplicada por la izquierda por M en este caso Por lo que el producto a realizar es: Al realizar el producto nos queda el mensaje encriptado. Esta matriz será enviada como un simple listado de números sin ninguna relación aparente. 87, 49, 15, 52, 61, 84, 26, 10, 32, 52, 23, 46, 169, 113, 104, 83, 176, 151, 127, 130, 98, 83, 49, 184, - 1, 12,35,15,21,-20, 33,50, 1, 17, - 2, 19, 207, 157, 90, 196, 169, 153, 98, 103, 56, 199, 38,
Para desencriptar el mensaje, quien lo recibe debe armar la matriz a partir de los datos recibidos (en este caso una matriz de 4 por 17 formando filas al ir ingresando los datos) y multiplicarla por 𝑀−^1 siempre por la izquierda, donde:
Facultad de Ingeniería Matemática intermedia 1 Segunda parte: Para esta parte, se usó como matriz código, la siguiente: Como se puede observar, la matriz anterior es de 3 filas y 3 columnas, por lo que el mensaje encriptado deberá ordenarse en una matriz de 3 filas y el número de columnas necesario para ordenar todos los datos (al ingresar dichos datos, se fueron formando filas). PROBLEMA 1.b Usando el procedimiento del ejemplo, desencriptar el siguiente mensaje. 41, 89, 119, - 8, 137, 51, 78, 44, 137, 94, 51, 100, 148, 46, 31, 82, 78, 21, 32, 40, 0, 37, 10, 7, 23, 36, 21, 14, 20, 41, 15, 0, 20, 17, 45, 42, 96, 46, 44, 10, 19, 73, 62, 56, 43, 38, 79, 29, 9, 52, 91, 43, 66, 89, 1, 96, 39, 45, 47, 107, 42, 40, 56, 102, 30, 14, 45, 13, 26, 58, 24, 19, 9, 15, 42, 26, 33, 42, 4, 63, 3, 8, 40, 55 Como se puede observar, la matriz anterior es de 5 filas y 5 columnas, por lo que el mensaje encriptado deberá ordenarse en una matriz de 5 filas y el número de columnas necesario para ordenar todos los datos, los cuales deben ser ingresados por filas. Pero no se conocen los valores de las entradas a, b, c y d, lo que sí se sabe es que la primera palabra del mensaje es (los) y que el mensaje no está entre comillas. Con la información anterior, usted debe desencriptar ambas partes del mensaje, usando el procedimiento del ejemplo y obteniendo la siguiente información para la matriz código de la primera parte del mensaje.
Facultad de Ingeniería Matemática intermedia 1 a. Encuentre la matriz inversa de M en términos de a, b, c y d de la primera parte del mensaje 1b. b. Con la inversa obtenida, plantee un sistema de cuatro ecuaciones con cuatro incógnitas a, b, c y d, seguidamente resuelva el sistema para obtener dichos valores. c. De la matriz M con los valores a, b, c y d obtenidos. d. Multiplique la inversa de la matriz código de la primera parte del mensaje de la matriz de 5 filas y 17 columnas, obtenida de los datos que se dan en el enunciado del problema, para obtener la primera parte del mensaje (Recuerde que, al ir llenando la matriz, debe ir formando filas). e. Multiplique la inversa de la matriz código (sustituya los valores a, b y c de esta matriz sabiendo que son los mismos que obtuvo con el primer mensaje) de la segunda parte del mensaje por la matriz de 5 filas y 17 columnas, obtenida de los datos que se dan en el enunciado del problema para obtener la segunda parte del mensaje (recuerde que, al ir llenando la matriz, debe ir formando filas). PROBLEMA 2 a. da 𝑓(𝑥) = 𝑥^2 (𝑥^2 − 4 )^2 i. Grafique la función para valores de x en el intervalo de [− 5 , 20 ] ii. Exprese la integral (^) ∫ 𝑥^2 (𝑥^2 − 4 )^2
∞ − 3 como la suma de varias integrales impropias. iii. Evalúe a mano las integrales planteadas en el inciso anterior. iv. Evalúe (^) ∫ 𝑥^2 (𝑥^2 − 4 )^2
∞ − 3 con ayuda de un sistema computacional^ (Evalúe la integral en la computadora) de manera directa. v. Comente acerca de cualquier discrepancia (haga una comparación entre los resultados de los dos incisos anteriores. PROBLEMA 3 i. Para ∫ 𝑥√𝑥 + 1 𝑑𝑥 1 − 1 encuentre un valor aproximado de la misma, con cuatro cifras decimales, usando la regla del puno medio con 𝑛 = 20. ii. Para (^) ∫ 𝑒 (^31) ⁄ (^) 𝑥 1 𝑑𝑥^ encuentre un valor aproximado de la misma, usando la Regla trapezoidal con 𝑛 = 18.
