regresion multiple, Apuntes de Econometría

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MODELO MULTIVARIANTE

Modelo con varias variables explicativas

GRADO EN ADMINISTRACIÓN Y DIRECCIÓN DE EMPRESAS

ECONOMETRÍA EMPRESARIAL

MODELO DE REGRESIÓN LINEAL MULTIVARIANTE

1 1 2 2 3 3

...

i i i i k ki i

Y   X   X   X    X 

Con esta nomenclatura el nº de variables explicativas es k-1.

β 1

se denomina intersección, ordenada en el origen o

constante de regresión.

2

a β k

son los coeficientes parciales de la pendiente,

pendientes de la regresión o coeficientes de regresión

parcial.

Una forma alternativa de expresar esta ecuación es:

en la que X 1i

= 1, para i = 1, 2, …, n.

...

i i i k ki i

Y     X   X    X 

SISTEMA DE N ECUACIONES CON K INCÓGNITAS EN NOTACIÓN

MATRICIAL

1 11 21 31 1 1 1

2 12 22 32 2 2 2

1 2 3

...

...

... ......................... ... ...

...

( 1) ( ) ( 1) ( 1)

k

k

n n n n kn k n

Y X X X X

Y X X X X

Y X X X X

Y X

n n k k n

 

 

 

 

       

       

       

  

       

       

       

  (^)      

 

   

SISTEMA DE ECUACIONES EN NOTACIÓN MATRICIAL

• (^) Y: vector columna (n x 1) de los valores muestrales

de Y.

X: matriz (n x k) con las n observaciones de las k-

variables explicativas. La primera columna de unos

correspondientes a los valores de la variable

artificial X

1

Β: vector columna (k x 1) de los parámetros

desconocidos o de los coeficientes.

• (^) ε: vector columna (n x 1) de las n perturbaciones

aleatorias.

• Obsérvese que el criterio de utilizar X ki

para designar a la i-ésima

observación de la variable X k

supone que los subíndices de la matriz X

están en un orden contrario al habitual (1º subíndice para la fila y 2º

para la columna).

HIPOTESIS SOBRE LAS PERTURBACIONES

2ª) Homocedasticidad: Las distribuciones de las

perturbaciones aleatorias tienen todas la misma

varianza, que denominaremos σ

2

Var [ε

i

] = E [ε

i

2

] = σ

2

para i = 1, 2, …,n.

3ª) Las perturbaciones son independientes entre

sí. Equivale a decir que sus covariancias son nulas.

Para datos transversales se habla de no correlación por

parejas, para datos temporales se denomina supuesto de no

autocorrelación.

siendo i ≠ j para i, j = 1, 2, …, n.

, , 0

i j i j

Cov ^   ^  E ^    

   

MATRIZ DE VARIANCIAS-COVARIANCIAS DE LAS PERTURBACIONES

La consideración conjunta de las hipótesis 2ª y 3ª hace que:

   

2

1 1 2 1 1

2

2 2 1 2 2

1 2

2

1 2

     

     

   



    

n

n

n

n

n n n

E E E

   

   

   

2

2

1 1 2 1

2 2

(^2 1 2 2 )

2

2

1 2

  ^ 

n

n

n n n

E E E

E E E

E E E

2

I

CONSECUENCIAS DE LAS HIPOTESIS SOBRE LAS PERTURBACIONES

Las distribuciones de las Y i

son Normales, igual que en el

caso del modelo de regresión simple, siendo sus medidas:

y sus varianzas:

y dada la independencia de las perturbaciones,

por lo que el vector columna de las Y i

seguirá una distribución

Normal Multivariante cuyo vector de medidas estaría

formado por los valores esperados de las Y i

y su matriz de

variancias y covariancias sería 

2 

, , 0

i j i j

Cov Y Y ^ ^  E ^     i  j

   

 

1 2 2

....

i i k ki

E Y     X   X

10

   

2

2 2

i i i i

Var Y E Y E Y E  

       

   

HIPÓTESIS SOBRE LAS VARIABLES

5ª) Este supuesto hace referencia al método de extracción de

la muestra. Si las observaciones se extraen mediante muestreo

aleatorio simple de una única y gran población,

(X

i

, Y

i

), para i = 1, 2,…, n, son independientes e

idénticamente distribuidas (i.i.d)

Es decir, las n-tuplas de valores (X

1i

, X

2i

, … , Y

i

), presentan la

misma distribución y se distribuyen además de forma

independiente de una observación a otra, son i.i.d.

Este supuesto es razonable para muchos sistemas de elección

de datos, aunque no todas las técnicas de selección de la

muestra proporcionan observaciones i.i.d. de las variables del

modelo. Así, para un método de selección de la muestra

empleado con frecuencia,

HIPÓTESIS SOBRE LOS PARÁMETROS

7ª) El tamaño de la muestra (n) ha de ser igual o

mayor que el número de coeficientes o

parámetros a estimar (k).

Las hipótesis 6ª y 7ª conjuntamente consideradas

equivalen a decir que la matriz de datos X, de

orden (n x k), ha de tener rango completo por

columnas, es decir, ha de ser de rango k.

Si el rango de dicha matriz fuera menor que k,

conllevaría que el rango de la matriz simétrica (X

´X), de orden (k x k), también sería menor que k,

por lo que al ser una matriz singular no existiría su

inversa (X´X)

que es imprescindible para el

proceso de estimación del modelo.

HIPÓTESIS SOBRE LOS DATOS

8ª) Los datos atípicos elevados son improbables

Es decir, observaciones con valores X

i

o Y

i

, o ambos, muy lejos

del ámbito habitual de los datos, son poco probables.

Esto se expresa matemáticamente suponiendo que los

momentos de cuarto orden de X e Y existen y son finitos. En

otros términos: que X e Y tiene curtosis finita.

4 4

0 [ ] 0 [ ]

i i

 E X   y  E Y 

Es utilizado para justificar matemáticamente las aproximaciones

para muestras grandes de los estadísticos MCO empleados en

los contrastes. En casos de alta frecuencia de valores atípicos y,

dada la sensibilidad a ellos de los estimadores MCO, se pueden

calcular estimadores de mínima desviación absoluta (MDA), más

eficientes y que proporciona inferencias más fiables. 14

INTERPRETACIÓN DE LOS PARÁMETROS DEL MODELO

• β

1

: Ordenada en el origen o constante de

regresión. Es el valor medio de Y

i

cuando todas

las variables explicativas son iguales a cero.

• (^) (β

2

k

: Pendientes de la regresión o

coeficientes de regresión parcial. Corresponde

al valor de la derivada parcial de E[Y

i

] respecto

a (X

2

…) X

k

. Se interpreta como la variación

promedio del valor medio de la variable

endógena ante variaciones unitarias de (X

2

X

k

, manteniéndose constante el resto de las

variables explicativas.

ESTIMACIÓN DE LOS PARAMETROS DEL MODELO DE REGRESIÓN

Condición minímocuadrática:

 

2

2

1 2 2

ˆ ˆ ˆ

...

i i i k ki

 e  Y     X   X sea minima

 

1

2

2 2 2 2

1 2 1 2

... .. ...

..

n n i

n

e

e

e e e e e e e e e

e

 

 

 

        

 

 

 

 

ESTIMACIÓN DE LOS PARAMETROS DEL MODELO DE REGRESIÓN

 

ˆ

2 2 0

ˆ

e e

X Y X X 



 

    



ˆ

X Y X X 

  

ˆ ˆ ˆ

e e Y Y 2  X Y  X X 

        

ESTIMACIÓN DE LOS PARAMETROS DEL MODELO DE REGRESIÓN

• (^) Premultiplicando ambos miembros de la igualdad por la

inversa de la matriz X’ X,

     

1 1

ˆ

X X X X  X X X Y

 

    

 

I  X X X Y

20

 

1

( 1) ( ) ( )

ˆ

k k k k ( 1)

X X X

n

Y

n





  





 

En el modelo en notación matricial, las estimaciones de los

parámetros se obtienen por MCO a partir de los datos.