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1 TABLA DE INTEGRALES INMEDIATAS 1
Repaso de integraci´on
1. Tabla de integrales inmediatas
xn^ dx =
xn+ n + 1
f (x)n^ · f ′(x) dx =
f (x)n+ n + 1
∫ 1 x
dx = ln |x| + C
f (x)
· f ′(x) dx = ln |f (x)| + C
∫ ex^ dx = ex^ + C
ef^ (x)^ · f ′(x) dx = ef^ (x)^ + C
ax^ dx =
ax ln a
+ C
af^ (x)^ · f ′(x) dx =
af^ (x) ln a
+ C
sen x dx = − cos x + C
sen (f (x)) · f ′(x) dx = − cos (f (x)) + C
∫ cos x dx = sen x + C
cos (f (x)) · f ′(x) dx = sen (f (x)) + C
tan x dx = − ln | cos x| + C
tan (f (x)) · f ′(x) dx = − ln | cos (f (x)) | + C
ctan x dx = ln | sen x| + C
ctan (f (x)) · f ′(x) dx = ln | sen (f (x)) | + C
cos^2 x
dx = tan x + C
cos^2 (f (x))
· f ′(x) dx = tan (f (x)) + C
sen^2 x
dx = −cotan x + C
sen^2 (f (x))
· f ′(x) dx = −cotan (f (x)) + C
1 − x^2
dx = arc sen x + C
1 − f (x)^2
· f ′(x) dx = arc sen (f (x)) + C
1 + x^2 dx = arctan x + C
1 + f (x)^2 · f ′(x) dx = arctan (f (x)) + C
2 F ORMULA DE INTEGRACI ´ ON POR PARTES´ 2
2. F´ormula de integraci´on por partes
udv = uv −
vdu
La f´ormula de integraci´on por partes es aplicable cuando el integrando se puede expresar como pro- ducto de dos funciones, una de las cuales, dv, tiene integral inmediata y la otra, u, al derivarla, nos conduce a una funci´on, du, de modo que el nuevo integrando vdu sea m´as sencillo.
Ejemplo 1. Hallar la integral
x cos x dx.
Resoluci´on. ∫ x cos x dx =
[
u = x du = dx dv = cos x dx v = − sen x
]
= −x sen x −
− sen x dx = −x sen x − cos x + C
Ejemplo 2. Hallar la integral
x^2 ex^ dx.
Resoluci´on. ∫ x^2 ex^ dx =
[
u = x^2 du = 2x dx dv = ex^ dx v = ex
]
= x^2 ex^ −
2 xex^ dx
[
u = 2x du = 2 dx dv = ex^ dx v = ex
]
= x^2 ex^ −
2 xex^ −
2 ex^ dx
x^2 − 2 x + 2
ex^ + C
Ejemplo 3. Hallar la integral
ex^ cos x dx.
Resoluci´on. Denotemos por I =
ex^ cos x dx.
I =
ex^ cos x dx =
[
u = cos x du = − sen x dx dv = ex^ dx v = ex
]
= ex^ cos x +
ex^ sen x dx
[
u = sen x du = cos x dx dv = ex^ dx v = ex
]
= ex^ cos x +
ex^ sen x −
ex^ cos x dx
= ex^ (cos x + sen x) − I + C
Despejando I, tenemos que
I =
ex^ cos x dx =
ex^ (cos x + sen x) + C
3 INTEGRALES DE FUNCIONES RACIONALES 4
3. Integrales de funciones racionales
En esta secci´on nos planteamos calcular integrales del tipo
P (x) Q(x)
dx, donde P (x) y Q(x) son dos
polinomios en x.
NOTA IMPORTANTE. Si el grado del polinomio P (x) es mayor que el del polinomio Q(x), entonces siempre podemos efectuar la divisi´on entre polinomios, de modo que el integrado lo podemos expresar como P (x) Q(x)
= C(x) +
R(x) Q(x)
siendo C(x) (cociente) y R(x) (resto) polinomios, este ´ultimo, con grado estrictamente menor que el grado de Q(x). As´ı, podemos descomponer la integral de partida en dos:
∫ P (x) Q(x)
dx =
C(x) dx +
R(x) Q(x)
dx
La primera de ellas es inmediata, puesto que se trata de la integral de un polinomio, mientras que la segunda puede que sea inmediata o puede que sea una integral de tipo racional como las que veremos a continuaci´on.
Por tanto, desde este momento, supondremos que queremos hallar la integral
P (x) Q(x)
dx, donde
el grado del polinomio P (x) es estrictamente menor que el grado de Q(x). Para ello, debemos seguir los siguientes pasos:
Paso 1. Factorizar el polinomio Q(x). Tenemos que hallar todas sus ra´ıces. Entre las ra´ıces obtenidas, podemos encontrarnos con ra´ıces reales y simples, ra´ıces reales m´ultiples (con multiplicidad r ≥ 2) o ra´ıces complejas conjugadas (α ± iβ). Para no complicar en exceso la exposici´on, supondremos que hemos obtenido una ra´ız real simple, a 0 , una ra´ız real b 0 con multiplicidad r ≥ 2 y dos ra´ıces complejas conjugadas, α ± iβ.
Paso 2. Expresamos el cociente
P (x) Q(x)
como suma de fracciones simples, de la forma:
P (x) Q(x)
A
x − a 0
B 1
x − b 0
B 2
(x − b 0 )^2
Br (x − b 0 )r^
M x + N x^2 − 2 xα + α^2 + β^2
Por tanto, debemos hallar los coeficientes A, B 1 , B 2 ,... , Br , M, N de modo que los dos miembros de la ecuaci´on (1) sean iguales.
Paso 3. Como la integral de la suma es igual a la suma de las integrales, basta integrar cada uno de los sumandos del segundo miembro de la ecuaci´on (1).
Ejemplo 1. Hallar la integral
2 x + 1 x^5 + x^4 − x − 1
dx.
Resoluci´on. Vemos que se trata de una integral de tipo racional, puesto que el integrando es el cociente de dos polinomios, P (x) = 2x + 1 y Q(x) = x^5 + x^4 − x − 1. Vemos tambi´en que el grado del polinomio P (x) es estrictamente menor que el de Q(x). As´ı que seguimos los pasos anteriores.
3 INTEGRALES DE FUNCIONES RACIONALES 5
Paso 1. Factorizamos el polinomio Q(x) = x^5 + x^4 − x − 1. Buscamos sus ra´ıces, probando valores de x hasta conseguir que para alguno de ellos se anule. Por ejemplo, vemos que Q(1) = 1 + 1 − 1 − 1 = 0, por lo que deducimos que x = 1 es una ra´ız de Q(x). Dividimos Q(x) entre (x − 1), cosa que podemos hacer por Ruffini: Tenemos que Q(x) = (x − 1)(x^4 + 2x^3 + 2x^2 + 2x + 1). Denotemos por F (x) =
1 1 0 0 -1 - 1 1 2 2 2 1 1 2 2 2 1 0
x^4 +2x^3 +2x^2 +2x+1. De nuevo, debemos encontrar alg´un valor de x para el que se anule el polinomio F (x). Vemos, por ejemplo, que F (−1) = 1 + 2 − 2 − 2 + 1 = 0, con lo que tenemos que −1 es ra´ız de F (x) y, por tanto, tambi´en lo es de Q(x). Dividimos ahora por Ruffini el polinomio F (x) entre (x + 1): Ahora nos va quedando Q(x) = (x − 1)(x + 1)(x^3 + x^2 + x + 1). Denotemos por G(x) = x^3 + x^2 + x + 1.
1 2 2 2 1 -1 -1 -1 -1 - 1 1 1 1 0
De nuevo, debemos encontrar alg´un valor de x para el que se anule el polinomio G(x). Vemos, por ejemplo, que tambi´en se cumple G(−1) = −1 + 1 − 1 + 1 = 0, con lo que tenemos que −1 es ra´ız de G(x) y, por tanto, tambi´en lo es de Q(x). Dividimos ahora por Ruffini el polinomio G(x) entre (x + 1): As´ı que obtenemos Q(x) = (x − 1)(x + 1)^2 (x^2 + 1). S´olo nos queda factorizar el polinomio x^2 + 1. Pero
1 1 1 1 -1 -1 0 - 1 0 1 0
vemos que x^2 + 1 = 0 ⇐⇒ x = ±i, con lo que no hay m´as ra´ıces reales y s´olo obtenemos dos ra´ıces complejas conjugadas.
En resumen, hemos obtenido una ra´ız real simple, 1, una ra´ız real doble, −1 y dos ra´ıces complejas
conjugadas. Paso 2. Expresamos el cociente
2 x + 1 x^5 + x^4 − x − 1 como suma de fracciones simples, de la
forma: 2 x + 1 x^5 + x^4 − x − 1
A
x − 1
B 1
x + 1
B 2
(x + 1)^2
M x + N x^2 + 1
Por tanto, debemos hallar los coeficientes A, B 1 , B 2 , M, N de modo que los dos miembros de la ecuaci´on (2) sean iguales. Buscamos el m´aximo com´un denominador del segundo miembro de (2), que es (x − 1)(x + 1)^2 (x^2 + 1) (obs´ervese que el m´aximo com´un denominador siempre es el mismo polinomio Q(x),
