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Números
Números N
Te comentamos sobre los naturales
- Que un número natural va después del otro
- Que dentro de dos números naturales consecutivos no puede haber otro
- Que son infinitos
Propiedades
• 0 ∈ N
- n ∈ N ⇒ n + 1 ∈ N
- si n ∈ N, entonces n − 1 ∈ N, cuando n 6 = 0
- sea M subconjunto de N con las siguiente propiedades
– 0 ∈ M
- n ∈ M ⇒ n + 1 ∈ M ⇒ M = N
Propiedades Algebraicas
Las operaciones de suma (+) con N :
- Ley de Cierre: ∀ a, b ∈ N ⇒ a + b ∈ N
- Asociativo: ∀ a, b, c ∈ N : a + ( b + c ) = ( a + b ) + c
- Conmutativo: ∀ a, b ∈ N : a + b = b + a
- Elemento neutro: ∃ 0 ∈ N tal que ∀ a ∈ N : a + 0 = a
La suma de dos números N es cerrado, es decir, es un N. Sin embargo, para
n < m : n − m / ∈ N Las operaciones de multiplicación (×) con N :
- Ley de Cierre: ∀ a, b ∈ N ⇒ a × b ∈ N
- Asociativo: ∀ a, b, c ∈ N : a × ( b × c ) = ( a × b ) × c
- Conmutativo: ∀ a, b ∈ N : a × b = b × a
- Elemento neutro: ∃ 1 ∈ N tal que ∀ a ∈ N : a × 1 = a
- Distributivo la × con respecto a la +: ∀ a, b, c ∈ N : a × ( b + c ) =
( a × b ) + ( a × c )
- No hay divisores de cero: ∀ a, b ∈ N : Si a × b = 0 ⇒ a = 0 ∨ b = 0
Números Z
Propiedades Algebraicas
Las operaciones de suma (+) con Z:
- Ley de Cierre: ∀ a, b ∈ Z ⇒ a + b ∈ Z
- Asociativo: ∀ a, b, c ∈ Z : a + ( b + c ) = ( a + b ) + c
- Conmutativo: ∀ a, b ∈ Z : a + b = b + a
- Elemento neutro: ∃ 0 ∈ Z tal que ∀ a ∈ Z : a + 0 = a
- Elemento Opuesto: ∀ a ∈ Z , ∃ − a ∈ Z : a + (− a ) = 0
Las operaciones de multiplicación (×) con Z:
- Ley de Cierre: ∀ a, b ∈ Z ⇒ a × b ∈ Z
- Asociativo: ∀ a, b, c ∈ Z : a × ( b × c ) = ( a × b ) × c
- Conmutativo: ∀ a, b ∈ Z : a × b = b × a
- Elemento neutro: ∃ 1 ∈ Z tal que ∀ a ∈ Z : a × 1 = a
- Distributivo la × con respecto a la +: ∀ a, b, c ∈ Z : a × ( b + c ) = ( a × b ) +
( a × c )
- No hay divisores de cero: ∀ a, b ∈ Z : Si a × b = 0 ⇒ a = 0 ∨ b = 0
Números Pares
Un número entero n es par ⇔ ∃ k ∈ Z : n = 2 k
Números Impares
Un número entero n es impar ⇔ ∃ k ∈ Z : n = 2 k + 1
Números equivalentes
Sean
a b y^
c d ∈^ Q^ son equivalentes si y sólo si^ a^ ·^ d^ =^ b^ ·^ c
Propiedades Algebraicas
Las operaciones de suma (+) con Q:
- Ley de Cierre: ∀ p, q ∈ Q ⇒ p + q ∈ Q
- Asociativo: ∀ p, q, r ∈ Q : p + ( q + r ) = ( p + q ) + r
- Conmutativo: ∀ p, q ∈ Q : p + q = q + p
- Elemento neutro: ∃ 0 ∈ Q tal que ∀ p ∈ Q : p + 0 = p
- Elemento Opuesto: ∀ p ∈ Q , ∃ − p ∈ Q : p + (− p ) = 0
Las operaciones de multiplicación (×) con Q:
- Ley de Cierre: ∀ p, q ∈ Q ⇒ p × q ∈ Q
- Asociativo: ∀ p, q, r ∈ Q : p × ( q × r ) = ( p × q ) × r
- Conmutativo: ∀ p, q ∈ Q : p × q = q × p
- Elemento neutro: ∃ 1 ∈ Q tal que ∀ p ∈ Q : p × 1 = p
- Inverso multiplicativo: ∀ p ∈ Q , p 6 = 0 , ∃ p
− 1 ∈ Q : p × p
− 1 = 1
- Distributividad de la (×) en la (+): Si p, q, r ∈ Q entonces p × ( q + r ) =
( p × q ) + ( p × r )
Orden en Q
Dados
a b
y
c d
∈ Q, se dice que:
a b
es menor o igual que
c d
y se anota
a b
c d
⇔ ad ≤ bc
a b es mayor o igual que^
c d y se anota^
a b ≥^
c d ⇔^ ad^ ≥^ bc
Q es denso con la relación ≤
Entre dos racionales distintos, siempre existe otro:
Sean a
b
y
c
d
∈ Q ⇒
a
b
a + b
c + d
c
d
Números I
Los números irracionales son aquellos que no pueden expresarse como cociente
de dos números enteros
a b
, con n 6 = 0 Entre los irracionales más conocidos están √ 2 ,
3 , π
Números R
Propiedades Algebraicas
Las operaciones de suma (+) con R :
- Ley de Cierre: ∀ a, b ∈ R ⇒ a + b ∈ R
- Asociativo: ∀ a, b, c ∈ R : a + ( b + c ) = ( a + b ) + c
- Conmutativo: ∀ a, b ∈ R : a + b = b + a
- Elemento neutro: ∃ 0 ∈ R tal que ∀ a ∈ R : a + 0 = a
- Elemento Opuesto: ∀ a ∈ R, ∃ − a ∈ R : a + (− a ) = 0
Las operaciones de multiplicación (×) con R :
- Ley de Cierre: ∀ a, b ∈ R ⇒ a × b ∈ R
- Asociativo: ∀ a, b, c ∈ R : a × ( b × c ) = ( a × b ) × c
- Conmutativo: ∀ a, b ∈ R : a × b = b × a
- Elemento neutro: ∃ 1 ∈ R tal que ∀ a ∈ R : a × 1 = a
- Inverso multiplicativo: ∀ a ∈ R, a 6 = 0 , ∃ a −^1 ∈ R : a × a −^1 = 1
- Distributivo la × con respecto a la +: ∀ a, b, c ∈ R : a × ( b + c ) =
( a × b ) + ( a × c )
Propiedades de Orden
- ∀ a ∈ R : a < 0 ⇒ a = 0 ∨ a > 0
- a, b ∈ R , si a > 0 ∧ b > 0 ⇒ a · b > 0
- ∀ a, b ∈ R , si a < b ⇒ a − b < 0
Raíz Aritmética
n
an^ = a
n
an^ = | a |
Racionalización de Denominadores
Tenemos dos casos:
A √ a ±
√ b
A √ a ±
√ b
√ a ∓
√ b √ a ∓
√ b
√ A a ± c
√ A a ± c
√ a ∓ c √ a ∓ c
Potencias de Exponente Racional
Sean n, m ∈ Z , y n 6 = 0:
m n (^) = n
am^ = ( n
a ) m
- am +0^ = am.a^0 = am
- a −^
m n (^) = 1 a
m n
