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RELACI ´ON DE EJERCICIOS DEL TEMA 1.
JUAN MANUEL URBANO BLANCO
- Dados los subconjuntos A = { 2 , 3 }, B = { 1 , 2 , 4 , 5 } y C = { 2 , 5 , 6 } de X = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 }, calcule los siguientes conjuntos:
(A ∪ B) ∩C, A ∪ (B ∩C), A ∩ B ∩C, B − (A ∪C), B ∩C, P (B) − P (C), P (B −C).
- Utilice las leyes del ´algebra de conjuntos para simplificar las siguientes expresiones sobre conjuntos: a) (A ∪ B) ∩ (C ∪ A ∪ B) b) (A ∪ B) ∩ (A ∪ B) c)
(A ∪ B) ∩ (A ∪ B)
(A ∩ B) ∪ (A ∩ B)
- Sean los conjuntos A, B ⊆ X. El conjunto (A ∪ B) ∩ (A ∪ B) es igual a:
a) ∅ b) (A ∩ B) ∪ (A ∩ B) c) (A ∩ B) ∪ (A ∩ B) d) (A ∪ B) ∩ (A ∪ B)
- Si A, B ⊆ X son conjuntos, entonces A − (A − B) es igual a:
a) A b) B c) A ∩ B d) A ∪ B
- Dados los conjuntos A, B,C ⊆ X, compruebe las siguientes identidades: a) X = (A ∩ B) ∪ (A ∩ B) ∪ (A ∩ B) ∪ (A ∩ B) b) (A ∪ B) ∩ (A ∪C) = (A ∩C) ∪ (A ∩ B) c) (A \C) \ (B \C) = (A \ B) \C
- Sean los conjuntos A, B ⊆ X. Pruebe que cada una de las afirmaciones siguientes equivale a cada una de las restantes: a) A ⊆ B. b) B ⊆ A. c) A ∩ B = A. d) A ∪ B = B. e) A − B = ∅.
- Estudie la veracidad ´o falsedad de las siguientes afirmaciones sobre conjuntos: a) A × ∅ = ∅. b) Si A × B = ∅, entonces A = ∅ o´ B = ∅.
- Dados los conjuntos A, B ⊆ X y C, D ⊆ Y , demuestre las siguientes propiedades: a) (A ∩ B) ×C = (A ×C) ∩ (B ×C) b) (A ∪ B) ×C = (A ×C) ∪ (B ×C) c) (A ×C) ∩ (B × D) = (A ∩ B) × (C ∩ D) 1
2 JUAN MANUEL URBANO BLANCO
- Demuestre las siguientes propiedades sobre conjuntos: a) Si A ∪ B ⊆ A ∪C y A ∩ B ⊆ A ∩C, entonces B ⊆ C. b) A ∪ B = B ∩C si y s´olo si A ⊆ B ⊆ C.
- Indique cuales de las siguientes afirmaciones sobre conjuntos son verdaderas: a) Si A ⊆ B y B 6 ⊆ C, entonces A 6 ⊆ C. b) Si a ∈ A y A ∈ B, entonces {a} ∈ B. c) Si a ∈ A y A ⊆ B, entonces {{a}} ⊆ {B}.
d) Si a ∈ A y A ⊆ B, entonces {{a}} ⊆ P (B).
e) Si A ∈ B y A ⊆ B, entonces A = φ.
f ) P (A ∪ B) = P (A) ∪ P (B).
g) Si A × B = C × D, entonces A = C y B = D. h) Si a ∈ A, entonces {a} ⊆ {A}. i) Si A = {a, b, c, {a, c, d, {a}}}, entonces {{a}} ∈ A y {a, b} ⊆ A.
11. Si X = {{∅}}, entonces P (X) es igual a
a) {{∅}, {{{∅}}}} b) {∅, {∅}} c) {∅, {{∅}}} d) {{∅}, {{∅}}}
- Consideramos las aplicaciones f , g : R → R definidas por
f (x) =
x a
, g(x) = ax^2 ,
con a 6 = 0. Obtenga expresiones lo m´as simples posibles para las aplicaciones siguientes: f ◦ f , f ◦ f ◦ f , g ◦ g, g ◦ g ◦ g, f ◦ g, g ◦ f , f ◦ g ◦ f , g ◦ f ◦ g.
- Para las aplicaciones f : R+ 0 → R, g, h : R → R definidas por
f (x) =
x, g(x) =
x 4
, h(x) = 4 x − 8 ,
la aplicaci´on h ◦ g ◦ f (x) es igual a: (A)
x − 2 (B)
x − 8 (C) 2
x − 8 (D)
x − 8 (E)
x − 2
- Sean f : R → R y g : R → R dos aplicaciones tales que (g ◦ f )(x) = 16 x^2 − 1 y f (x) = 2 x + 3. Entonces g(x) es igual a
a) 4x^2 − 24 x + 35 b) 8x^2 − 2 c) 64x^2 + 192 x + 143 d) 32x^2 + 1
- Sean dos aplicaciones f : X → Y y g : Y → Z. Demuestre las siguientes propiedades: a) Si f y g son inyectivas, entonces g ◦ f es inyectiva. b) Si f y g son sobreyectivas, entonces g ◦ f es sobreyectiva. c) Si f y g son biyectivas, entonces g ◦ f es biyectiva.
- Supongamos que para una aplicaci´on f : X → Y , existen dos aplicaciones g : Y → X y h : Y → X tales que g ◦ f = (^1) X y f ◦ h = (^1) Y. Demuestre que g = h. Como consecuencia para una aplicaci´on f : X → Y puede existir a lo sumo una aplicaci´on g : Y → X tal que
4 JUAN MANUEL URBANO BLANCO
- La aplicaci´on f : Z → Z definida por f (n) = n + (− 1 )n, a) no es inyectiva ni sobreyectiva, b) es biyectiva, c) es inyectiva, pero no sobreyectiva, d) es sobreyectiva, pero no inyectiva.
- La aplicaci´on f : Z × Z → Z × Z definida por f (x, y) = (x − 1 , x + y + 1 ) a) es inyectiva pero no es sobreyectiva. b) es sobreyectiva pero no es inyectiva. c) es biyectiva. d) no es inyectiva ni sobreyectiva.
- Sobre una aplicaci´on f : R → R de la forma f (x) = ax + b se sabe que ( f ◦ f )(x) = 4 x + 2. Entonces f −^1 (x) puede ser igual a:
a) 2x + 12 b) 14 x − 12 c) 12 x − 13 d) − 21 x + (^18)
24. a) Dado un conjunto X = {x 1 , x 2 , x 3 }, defina una aplicaci´on biyectiva de P (X) en el con-
junto A = { 0 , 1 } × { 0 , 1 } × { 0 , 1 }. b) Generalice el apartado anterior para el conjunto X = {x 1 , x 2 ,... , xn}.
c) Utilice el apartado (b) para deducir que |P (X)| = 2 n.
- Sean f : X → Y y g : Y → X dos aplicaciones tales que g ◦ f = (^1) X. Justifique que f es inyectiva y g es sobreyectiva.
- Defina una aplicaci´on biyectiva de N en Z.
- Consideramos la aplicaci´on f : N → N definida por
f (n) =
n − 3 si n ≥ 1000 f ( f (n + 6 )) si n < 1000
Calcule el valor exacto de f ( 1 ).
- Si ϕ : X → Y y ψ : Y → Z son dos aplicaciones, demuestre las siguientes propiedades: a) Si ψ ◦ ϕ es inyectiva, entonces ϕ es inyectiva. b) Si ψ ◦ ϕ es inyectiva y ϕ sobreyectiva, entonces ψ es inyectiva. c) Si ψ ◦ ϕ es sobreyectiva, entonces ψ es sobreyectiva. d) Si ψ ◦ ϕ es sobreyectiva y ψ es inyectiva, entonces ϕ es sobreyectiva.
- Sea X el conjunto de todas las rectas del plano. Estudie cu´ales de las siguientes relaciones binarias definidas sobre X son de equivalencia: a) r 1 R 1 r 2 si y solo si r 1 ‖r 2 , es decir, r 1 y r 2 son paralelas. b) r 1 R 2 r 2 si y solo si r 1 ∩ r 2 6 = ∅.
- Para un n´umero real x denotamos por |x| el valor absoluto de x, es decir,
|x| =
x si x ≥ 0 −x si x < 0
RELACI ´ON DE EJERCICIOS DEL TEMA 1. 5
Consideramos la siguiente relaci´on de equivalencia R definida sobre el conjunto X = { 0 , 1 , 2 , 3 ,... , 29 , 30 }: a R b ⇔ |a − 8 | = |b − 8 |. Calcule el cardinal del conjunto cociente X/R.
- Dado el conjunto X = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 } y el subconjunto Y = { 1 , 2 , 3 }, consideramos las rela-
ciones de equivalencia siguientes definidas sobre P (X).
a) A R B ⇔ A ∩Y = B ∩Y b) A R B ⇔ A ∪Y = B ∪Y Describa el conjunto cociente para cada una de ellas.
- Para cada una de las relaciones binarias siguientes, estudie si es una relaci´on de equiva- lencia, y en caso afirmativo obtenga una descripci´on del conjunto cociente:
a) R definida sobre R: a R b ⇐⇒ x − y ∈ Z.
b) R definida sobre Z: a R b ⇐⇒ ∃k ∈ Z, tal que a−b = k ·m, siendo m > 0 un n´umero
natural fijo.
c) R definida sobre R: a R b ⇐⇒ a · b ≥ 0.
d) R definida sobre R − { 1 }:
aR b ⇐⇒
a^2 a − 1
b^2 b − 1
e) R definida sobre Z × Z: (a, b) R (c, d) ⇐⇒ a · d = b · c.
f ) R definida sobre Z × Z: (a, b) R (c, d) ⇐⇒ a · b = c · d.
g) R definida sobre R: a R b ⇔ a^2 − 5 a = b^2 − 5 b.
- Para cada una de las relaciones binarias siguientes definidas sobre N × N, estudie si es de orden, y en caso afirmativo estudie si es un orden total: a) (a, b) R (c, d) ⇐⇒ a · d ≤ b · c. b) (a, b) R (c, d) ⇐⇒ a · b ≤ c · d. c) (a, b) R (c, d) ⇐⇒ a 2 b^ ≤ c 2 d^. d) (a, b) R (c, d) ⇐⇒ a 2 d^ ≤ c 2 b. e) (a, b) R (c, d) ⇐⇒ ( 2 a + 1 ) 2 b^ ≤ ( 2 c + 1 ) 2 d^. f ) (a, b) R (c, d) ⇐⇒ ( 3 a + 1 ) 2 b^ ≤ ( 3 c + 1 ) 2 d^. g) (a, b) R (c, d) ⇐⇒ ( 2 a + 1 ) 2 d^ ≤ ( 2 c + 1 ) 2 b. h) (a, b) R (c, d) ⇐⇒ ( 3 a + 1 ) 2 d^ ≤ ( 3 c + 1 ) 2 b.
- Construya el diagrama de Hasse del conjunto siguiente ordenado por inclusi´on:
X =
- Construya el diagrama de Hasse del subconjunto siguiente de R^2 ordenado por el orden producto cartesiano:
X =
