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ALGEBRA (UGR)

PROBLEMAS ALGEBRA LINEAL CONJUNTOS

LOBILLO, 12-

DEPARTAMENTO DE ÁLGEBRA

Álgebra Lineal y Estructuras Matemáticas

Grado en Ingeniería Informática

Curso 2010-

EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS TEMA 1: Soluciones

1. Sean A, B y X tres conjuntos tal que A, B ⊆ X. Se define la aplicación χA : X → { 0 , 1 } como

χA(x) =

1 si x ∈ A 0 si x 6 ∈ A

Probar:

(a) χA = χB si y sólo si A = B.

(b) χA(x) = 1 − χA(x), para todo x ∈ X.

(c) χA∩B = χA · χB

(d) χA∪B + χA∩B = χA + χB.

(e) χA\B = χA − χA · χB.

(f) La aplicación χ : P(X) → { 0 , 1 }X^ definida como χ(A) = χA es una biyección.

(Nota: { 0 , 1 }X^ es el conjunto de aplicaciones con dominio X y codominio { 0 , 1 }.)

Solución:

(a) χA = χB si y sólo si A = B. ⇒) Si χA = χB , entonces χA(x) = χB (x) para todo x ∈ X. Por tanto, si x ∈ A, entonces χA(x) = 1 = χB(x), luego, x ∈ B. Con esto tenemos que A ⊆ B. La otra inclusión es análoga. ⇐) Si A = B, entonces sea x ∈ X. Claramente, χA(x) = χB (x), luego, χA = χB.

(b) χA(x) = 1 − χA(x), para todo x ∈ X.

χA(x) =

1 si x ∈ A 0 si x 6 ∈ A

1 si x 6 ∈ A 0 si x ∈ A

Ahora, 1 − χA(x) = 1 −

1 si x ∈ A 0 si x 6 ∈ A

0 si x ∈ A 1 si x 6 ∈ A Siendo por tanto ambas aplicaciones iguales.

(c) χA∩B = χA · χB.

Por un lado tenemos: χA∩B (x) =

1 si x ∈ A ∩ B 0 si x 6 ∈ A ∩ B

y por otro lado: χA(x)χB(x) =

1 si x ∈ A 0 si x 6 ∈ A

1 si x ∈ B 0 si x 6 ∈ B

Esto es, la clase del (a, b) es el conjunto de puntos que están sobre la circunferencia con centro el origen y que contiene a (a, b). Por tanto, R^2 /R 1 está compuesta por todas las circunferencias con centro el origen, (0, 0). Para describir este conjunto, nos basta entonces con fijar el radio, y de esta forma, cada circunferencia en el cociente está totalmente descrita. En términos de elementos de R^2 , esto es lo mismo que elegir como representante de su clase de equivalencia, el elemento (x, 0) que corta al eje X. Este elemento define la circunferencia centrada en el origen y con radio

|x|.

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

0

1

2

3

4

^ (^12 ,^ 0)^
(3,^ 0)

Así, R^2 /R 1 = {[(a, 0)] : a ∈ R+}, donde [(a, 0)] es la circunferencia centrada en el origen y con radio a.

Solución R 2 :

Reflexividad: (a, b)R 2 (a, b) pues a + b = a + b.

Simetría: Si (a, b)R 2 (c, d), por definición a + b = c + d. Como c + d = a + b, tenemos que (c, d)R 2 (a, b).

Transitividad: Si (a, b)R 2 (c, d) y (c, d)R 2 (e, f ), esto equivale a que a+b = c +d y c +d = e +f , y por tanto a + b = e + f y (a, b)R 2 (e, f ).

Así, R 1 es una relación de equivalencia.

[(0, 1)] = {(x, y ) ∈ R^2 : (x, y )R 2 (0, 1)} = {(x, y ) ∈ R^2 : x + y = 1}{(x, y ) ∈ R^2 : y = 1 − x}, que una recta con pendiente − 1 y que pasa por el punto (1, 0).

Para describir el conjunto cociente, veamos como es la clase de equivalencia de un punto cualquiera (a, b) ∈ R^2.

[(a, b)] = {(x, y ) ∈ R^2 : (x, y )R 2 (a, b)} = {(x, y ) ∈ R^2 : y = a + b − x}

Esto es, la clase del (a, b) es la recta con pendiente − 1 que pasa por (a, b) (esto es y − b = a − x). Por tanto, R^2 /R 2 está compuesta por todas las rectas de pendiente − 1. En términos de elementos de R^2 , basta de nuevo elegir un representante sobre el eje X:

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

0

1

2

3

4

^ (^12 ,^ 0)^ (3,^ 0)

R^2 /R 2 = {[(a, 0)] : x ∈ R}. [(a, 0)], es la recta de pendiente − 1 definida como y = a − x.

3. Sea f : X → X una aplicación biyectiva e Y ⊆ X tal que f∗(Y ) ⊆ Y. ¿Es cierto que la aplicación g : Y → Y definida como g(y ) = f (y ) es biyectiva?

Solución:

Veamos si es inyectiva y sobreyectiva:

Inyectividad: Sean x, y ∈ Y tal que g(x) = g(y ). Como g(x) = f (x) y g(y ) = f (y ), tenemos que f (x) = f (y ), y como f es inyectiva, x = y , y por tanto, g es inyectiva.

Sobreyectividad: Sea y ∈ Y. Para que sea sobreyectiva debe existir x ∈ Y tal que g(x) = y. Por ser f sobreyectiva, sabemos que existe x ∈ X tal que f (x) = y , pero no tenemos asegurado que x ∈ Y , y por tanto en general g no es sobreyectiva.

Así, en general g no tiene porqué ser biyectiva!!

Por ejemplo f : R → R, f (x) = x 3 es biyectiva. Sin embargo si consideramos N ⊆ R y g : N → N, g(n) = n^3 , claramente no es sobreyectiva, pues no podemos encontrar, por ejemplo, n ∈ N tal que n^3 = 7.