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CAPITULO 1.FUNCIÓN REAL DE VARIABLE REAL
Definición 1.1 Se llama función numérica a una aplicación de un conjunto A en R, f: A → R .En lugar de función numérica se dice también función real. Se representa como y = f(x), siendo x la variable independiente e y la variable dependiente. El conjunto de las funciones que aplican A en R se designa por F( A , R ). En lo que sigue supondremos A ⊂ R o bien A ≡ R
Definición 1.2 (Campo de definición de una función) Se dice que una función esta definida en un punto x ∈A si existe f (x) .El conjunto A de todos los valores para los que esta definida la función se llama campo de definición de la función
Definición 1.3 (Imagen de una función) Se llama recorrido o imagen de una función al conjunto de los valores de R que tienen por original al menos un elemento de A
Fig.1. Representación grafica de una función cuyo dominio y recorrido son conjuntos de R , que pueden expresarse mediante la unión de intervalos con puntos aislados
Definición 1.4 (Igualdad de funciones) Sean: f 1 : A 1 → R , f 2 : A 2 → R .Se dice que f 1 =f 2 cuando se verifican las dos condiciones siguientes A 1 = A 2 , f 1 (x)=f 2 (x) , ∀x∈ A 1 = A (^) 2
Definición 1.5 .Se llama grafo de f, y se designa por G (^) f , al subconjunto de A x R dado por G (^) f = { ( x , f ( x ) / x ∈ A ) }
Ejemplo 1 Recta: y = k x: Dominio R, Imagen R
Circunferencia , Dominio = [-1,1], Imagen = [-1,1]
Exponencial: y = e x^. Dominio R, Imagen =
Logarítmica: y = L x. Dominio = , Imagen R
Sinusoide: y = sen x. Dominio R, Imagen [-1, 1]
1.2. Operaciones con funciones
Definición 1.6 (Suma de funciones) Sean f l , f 2 dos funciones del conjunto F ( A , R ) definamos la
aplicación (f 1 + f 2 ) de la forma siguiente
A R
( f 1 +f 2 )(x)=f 1 (x)+f 2 (x)
El conjunto de las funciones que aplican A en R respecto a la operación (+) tiene las propiedades asociativa, conmutativa, elemento neutro (que es la función cero), elemento simétrico. Luego F ( A , R +) tiene estructura de grupo abeliano.
Definición 1.7 (Multiplicación de funciones) Sean f 1 , f 2 dos funciones del conjunto F ( A , R ) .Definamos la aplicación
A R
(f 1 .f 2 )(x)=f 1 (x).f 2 (x), ∀x∈ A
El conjunto de las funciones que aplican A en R respecto a la operación (.) tiene las propiedades asociativa, conmutativa, elemento neutro así como la propiedad distributiva respecto la suma. Luego F ( A , R +.) respecto a las operaciones (+.) tiene estructura de anillo conmutativo con elemento unidad.
Definición 1.8 (Producto de una función por un elemento del cuerpo R) Sea f una función del junto F( A , R ) y un elemento del cuerpo R .Definamos una aplicación (λ. f) tal que
R x A R
(λ. f )(x)= λ f (x), ∀x∈ A , λ∈R
El conjunto F ( A , R +. R) tiene estructura de espacio vectorial sobre R
Definición 1.9 (Cociente de funciones) Dada una función f de A en R , no existe siempre otra función g de A en R tal que: f (x) g(x) =1. Si f (x) = 0 para algún elemento x ∈ A, no existe la función g. Si f(x) ≠ 0
1.4. Clasificación de las funciones por su constitución
Tanto las funciones algebraicas como las transcendentes se dividen, atendiendo a su constitución, a la forma logarítmica y a la trabazón de las variables en simples y compuestas, directas e inversas, pares e impares, uniformes, multiformes e infinitiformes, funciones periódicas, etc.
Funciones simples Son las que no se pueden descomponer en otras de naturaleza más sencilla. Ejemplos: La potencial y = x n^ , la exponencial y = a x^ , las trigonométricas directas y =sen x , etc. Aun cuando el coseno, tangente, cotangente, secante, cosecante no son simples, por derivarse del seno, sin embargo las incluimos entre las funciones simples
Funciones compuestas Son las que se pueden descomponer en dos o más funciones simples que dependen de una misma variable
Función uniforme Es la que recibe un solo valor para cada uno atribuido a la variable independiente
Función multiforme Si a un valor de la variable independiente corresponde dos o más de la función
Función infinitiforme A un valor de la variable corresponden infinitos valores de la función
Ejemplos: y = x 2 +1 (Uniforme), (Multiforme), y = arco sen x (Infinitiforme)
Función simétrica Cuando al permutar entre si las variables, la función no cambia de valor
Funciones homogéneas Son aquellas en las que al multiplicar cada una de las variables por una indeterminada k, la función queda multiplicada por una potencia de k igual al grado de homogeneidad
1.5. Funciones acotadas
Una función f∈F( A , R) esta acotada si la imagen f ( A ) es una parte acotada del espacio ( R , d), siendo d un métrica de R , es decir la distancia entre dos puntos cualesquiera es finita
Se dice que f es una función acotada superiormente en A si existe un numero real K tal que ∀x∈ A se verifica f(x)≤ K
Se dice que f es una función acotada inferiormente en A si existe un numero real K' tal que ∀x∈ A se verifica K' ≤ f(x)
Si una función esta acotada superior e inferiormente se dice que esta acotada. Sea la función acotada sobre A. El conjunto f( A ) ⊂ R será un subconjunto acotado de R. Luego admitirá un extremo superior M y un extremo inferior m. Donde se cumple m ≤ f(x)≤ M
Fig.2.El comportamiento oscilante o no acotado de una función en un entorno de un punto impide la existencia del limite en dicho punto.
1.6. Funciones pares e impares
Función Par Es aquella que no cambia de valor ni de signo al sustituir x por (- x)
Ejemplo: y = x 4 -x 3
Función impar Es aquella que cambia de signo al sustituir x por (-x). Ejemplo: y = sen x
Funciones periódicas Es aquella que vuelve a tomar el mismo valor, cuando la variable aumenta o disminuye en una cantidad constante que se llama periodo
f(x+ T ) = f(x+ 2 T) = ....................= F(x+n T)
1.9. Funciones herramienta
Funciones enteras como: y = x! = x (x - 1) (x - 2)....3. 2. 1
Función signo de x:
Función valor absoluto de x: y =
Función operacional:
Función salto
Funciones paramétricas: Si x e y son funciones de otro numero t, o sea forma cada una grafica con t,
se dice que son funciones paramétricas del parámetro t
se llama el folio y se puede poner como : x 3 + y 3 - 3 x y =
Funciones polares: La grafica de una función relaciona dos números reales .Si los números reales recorren dos rectas perpendiculares la grafica se llama cartesiana. Pero si los números los consideramos situados sobre una recta uno, y sobre una circunferencia el otro la grafica se dice dibujada en polares
1.10. Funciones Hiperbólicas
Se definen el seno y el coseno hiperbólico de x de la forma siguiente
Fig.4.Grafica del S h x
Fig. 5. Grafica del C h x
Fig. 6. Grafica Th x
1.10.1. Relaciones fundamentales De las expresiones anteriores se tiene
1.10.2. Derivadas de estas expresiones
Fig.9.Grafica de Arg Th x
1.10.5. Derivadas de estas expresiones
EJERCICIOS PROPUESTOS
1. Representar la función
Solución:
2. Calcular las funciones inversas de
Solución:
3. Calcular la función explicita de: x 2 -2 x y +y 2 -25=
Solución: y=x ± 5
4. Dadas f(x)= x 2 -1 y , hallar y .Determinar los dominios respectivos
Solución: (f ◦ g) (x)=x + 2, Dominio R
, Dominio R
5. Determinar si la función que se da es par, impar, o ninguna de las dos
e)
Solución: a) Par, b) No es par ni impar, c) Impar, d) Impar, e) Par
6. Sea y. Mostrar que f y g son funciones inversas
7. Sea f(x)=2 x-3, defina las siguientes funciones y determinar el dominio de la función resultante
a) f(x 2 ) , b) [f(x)] 2 , c) (f ◦f) (x)
Solución: a) f(x 2 )= 2 x 2 -3, Dominio R
b)4 x 2 -12 x+9, Dominio R c) 4 x-9, Dominio R
8. Dadas las funciones , g(x)= x+1.Calcular ( fog)(x) , (gogof)(x)
Solución:
9. Representar la función
CAPITULO 2.LIMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES DE UNA
VARIABLE REAL
2.1. Limite de una función en un punto
Definición métrica Sea f(x) una función ∈ F( A , R). Se dice que f(x) tiende al límite cuando x→x 0 ∈ A y se escribe
Si fijado un ε >0, ∃ δ >0, tal ∀ x, excluido x 0 que cumpla la condición │x – x 0 │< δ, se verifica│f(x)-l│< ε
Fig.
De la definición de limite se observa que el limite 1, no tiene nada ver con el valor de la función en x 0 , es decir, 1 puede ser igual a f(x 0 ) o no serlo y puede ocurrir que no exista: lim f (x) cuando x→x (^0)
Limites laterales Sea f(x) ∈ F( A , R ) y x 0 un punto de acumulación de A. Se dice que f(x)
tiende al límite 1 cuando (por la izquierda) y se expresa
Si fijado un ε >0, ∃ δ >0, tal ∀ x ∈(x 0 - δ, x 0 ) resulta │f (x)-l < ε
Limite infinito Sea f(x) .Se dice que f(x) tiende a ∞ cuando x→x 0 ∈ A (^) , y se expresa
lim f(x)=∞ si fijado un numero real positivo K, tan grande como queramos, existe un entorno reducido del punto x 0 tal que ∀x de dicho entorno se verifica │f(x) │>K
2.2 Propiedades de los límites
1. Se demuestra que: Si dos funciones f(x) y g(x) toman valores iguales en todos los puntos de un entorno reducido del punto x 0 , dichas funciones tienen el mismo limite, si este existe cuando x→x (^0) 2. Se demuestra que: Si lim f (x) = 1 cuando x→x 0 y l >c, ∃ un entorno reducido de x 0 en cuyos puntos se verifica f(x) > c 3. Se demuestra que: Si lim f (x) = 1 y lim g(x) = 1’ cuando x→x 0 , si 1 < 1’, ∃ existe un entorno reducido do x 0 en cuyos puntos se verifica f (x) < g(x)
2.3 Álgebra de límites
Limite de una suma de funciones Se demuestra que: si lim f (x) = 1 y lim g (x) = 1', cuando x→x 0 , se verifica
lim (f(x) ± g(x)) = 1 ± 1'
Limite del producto de funciones Se demuestra que: si lim f (x) = 1 y lim g(x) = l', cuando x→x 0 , se verifica
lim (f(x). g(x)) = lim f(x). lim g(x) = 1 1'
Limite del cociente de funciones Se demuestra que si: lim f (x) = 1 y lim g(x)= l'≠ 0
Limite de la función exponencial Se demuestra que: si lim f (x) = 1, cuando x→x 0 y (a> 0) se verifica
lim a f(x)^ = a l
Limite del logaritmo de una función Se demuestra que: si lim f (x) = 1, cuando x→x 0 , y (a> 1) se verifica
lim log (^) a f(x)= log (^) a l
2.4. Infinitésimos e Infinitos
Definición Se dice que f (x) es un infinitésimo cuando x→x 0 , si lim f(x) = 0 cuando x→x 0 , por ejemplo: y = (x - a) 2 , cuando x → a , y = sen x, cuando x→ 0
Dos infinitésimos y se dicen equivalentes en un punto x 0 , si se verifica
y se dicen de ordenes diferentes en x 0 , si se verifica
Se dicen del mismo orden en x 0 , si se verifica
En el caso de infinitésimos de ordenes diferentes, θ(x) es un infinitésimo es de orden superior a ψ(x), ya que tiende a cero mas rápidamente que ψ(x).
Sin embargo en el caso de que θ(x) y ψ(x) sean infinitos, ψ(x) es un infinito de orden superior a θ(x)
Si θ(x) y x n^ son del mismo orden: K x n^ se dice parte principal de θ(x)
Fig.4.Representación grafica de la continuidad de f(x) en el punto x (^0)
2.6 Tipos de discontinuidades
Discontinuidad evitable Sea f ∈ F( A , R ), se dice que f(x) presenta una discontinuidad evitable en un punto x 0 ∈ A , cuando se verifica
Discontinuidad de primera especie Sea f ∈ F( A , R ), se dice que f (x) presenta una discontinuidad de primera especie en un punto x 0 ∈ A , cuando se verifica
Siendo l 1 ≠ l 2. Si la función está acotada se dice que la discontinuidad es de primera especie finita, en caso contrario se dice que la función presenta una discontinuidad de primera especie infinita. Se llama salto de la función en el punto x 0 al valor
Discontinuidad de segunda especie Sea f ∈ F( A , R ), se dice que f (x) presenta una discontinuidad de segunda especie en un punto x 0 ∈ A , cuando no existe alguno de los limites laterales. Si f(x) esta acotada en
x 0 , la discontinuidad se dice de segunda especie finita, en caso contrario, se dice segunda especie infinita.
2.7. 0peraciones con funciones continuas
Suma de funciones continúas Se demuestra que si f, g ∈ F( A , R ) son continuas en el punto x (^0) entonces la función (f +g) (x) es continua en x (^0)
Producto de funciones continúas Se demuestra que si f, g ∈ F( A , R) son continuas en el punto x (^0) entonces la función (f. g) (x) es continua en x (^0)
Continuidad del cociente de funciones Se demuestra que si f, g ∈ F( A , R) son continuas en el punto
x 0 siendo g(x 0 ) ≠ 0 entonces la función es continua en x (^0)
Continuidad de la función compuesta Sea f: A → R una función y g: A 1 → R otra función siendo f( A )⊂ A 1. Si la función f es continua en x 0 y la función g es continua en f(x 0 ). Entonces la función ( g ◦ f)(x) es continua en x (^0)
2.8. Continuidad y conjuntos cerrados y abiertos
1. La imagen de un abierto por una función continua no es necesariamente un intervalo abierto. La función f(x)= x 2 , definida y continua en (-1,1) transforma el abierto (-1, 1) en el semiabierto [0,1) 2. La imagen de un cerrado por una función continua no es en general un cerrado Sea la función
R es cerrado, la imagen de R por esta función continua es el intervalo semiabierto (0,1]
Se demuestra
1. Sea f: A → R , la condición necesaria y suficiente para que esta función sea continua en A , es que
todo abierto de R se transforme por f -1^ en un abierto de A
2. Sea f: A → R, la condición necesaria y suficiente para que esta función sea continua en A , es que todo cerrado X de R se transforme por f-1^ en un cerrado de A
2.9. Continuidad y conjuntos compactos
