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MÉTODOS MATEMÁTICOS PARA LA EMPRESA
SOLUCIONES
Ejercicio 1. Los cálculos son rutinarios, así que sólo ponemos los resultados. Para que dos matrices puedan sumarse han de ser del mismo tamaño, así que sólo puede calcularse B + C, que sale
B + C =
De los productos propuestos pueden calcularse los cuatro primeros, que resultan ser
AB =
y BA =
mientras que
AC =
y CA =
A la vista de los resultados está claro que AB 6 = BA (ni siquiera son matrices del mismo tamaño) así que, al contrario de lo que ocurre con la multiplicación de números ordinarios, el orden en el que se multiplican las matrices es importante. Por último, para hallar (2B − 3 C)A podríamos determinar primero 2 B − 3 C y luego hacer el producto que nos piden, o bien podemos operar primero simbólicamente
(2B − 3 C)A = 2BA − 3 CA
y, como ya sabemos BA y CA, no necesitamos trabajar apenas:
(2B − 3 C)A = 2BA − 3 CA = 2
Ejercicio 2. (a) Pongamos que M tiene m las y n columnas, lo que expresamos explícita- mente escribiendo Mm×n. Si ahora queremos calcular el producto Mm×nMm×n, sabemos que los índices interiores tienen que coincidir; es decir, n = m. Por tanto la matriz M tiene que ser cuadrada: tiene que tener la misma cantidad de las que de columnas. (b) Calculando las primeras potencias de M para ver cuál puede ser el resultado general, se obtiene
M 2 =
, M 3 =
, M 4 =
y esto sugiere la fórmula general
(∗) M n^ =
3 n−^1 3 n−^1 3 n−^1 3 n−^1 3 n−^1 3 n−^1 3 n−^1 3 n−^1 3 n−^1
Nota teórica. La fórmula () que hemos propuesto arriba para M n^ es simplemente una conjetura basada en los pocos casos que hemos calculado explícitamente. ¾Cómo se asegura uno de que verdaderamente () es válida para cualquier potencia n? Una posibilidad es utilizar el llamado método de inducción. Vamos a empezar comprobando que si suponemos la fórmula () válida para una determinada potencia n, entonces también es válida para la siguiente potencia n + 1. Esto lo hacemos así: como suponemos válida () para n, se tiene que
M n^ =
3 n−^1 3 n−^1 3 n−^1 3 n−^1 3 n−^1 3 n−^1 3 n−^1 3 n−^1 3 n−^1
(^).
Ahora
M n+1^ = M nM =
3 n−^1 3 n−^1 3 n−^1 3 n−^1 3 n−^1 3 n−^1 3 n−^1 3 n−^1 3 n−^1
1 1 1 1 1 1 1 1 1
(∗∗ =)
3 n^3 n^3 n 3 n^3 n^3 n 3 n^3 n^3 n
(^) ,
que es exactamente lo que diría la fórmula () para n + 1. Estos cálculos con rman que si la fórmula propuesta para M n^ es válida para una determinada potencia n, también lo es para la siguiente potencia n + 1. (Una aclaración sobre el paso (*): al calcular el producto requerido multiplicando las por columnas aparece la expresión 3 n−^1 + 3n−^1 + 3n−^1 , que manipulamos así:
3 n−^1 + 3n−^1 + 3n−^1 = 3 · 3 n−^1 = 3n;
de ahí el resultado escrito a la derecha de ().) Ya podemos rematar el argumento: sabemos que () es cierta para n = 1, 2 , 3 , 4 porque lo hemos comprobado explícitamente arriba. De acuerdo al párrafo anterior aplicado a n = 4, entonces también es cierta para n = 5, y entonces de nuevo por el párrafo anterior aplicado a n = 5 también es () válida para n = 6, y de nuevo aplicando el párrafo anterior... en n, ya se ve el argumento: queda así establecido que (*) es válida para cualquier potencia n.
Ejercicio 3. Si B ha de conmutar con A, han de poder calcularse los dos productos AB y BA. Eso implica, en particular, que B tiene que ser una matriz 2 × 2. Así, escribamos genéricamente
B =
b 11 b 12 b 21 b 22
e impongamos que AB ha de coincidir con BA: por un lado,
AB =
b 11 b 12 b 21 b 22
b 21 − b 11 b 22 − b 12 b 21 b 22
mientras que
BA =
b 11 b 12 b 21 b 22
−b 11 b 12 + b 11 −b 21 b 22 + b 21
de modo que la igualdad AB = BA se traduce en el sistema de ecuaciones (en las incógnitas bij ) (^)
b 21 − b 11 = −b 11 b 22 − b 12 = b 12 + b 11 b 21 = −b 21 b 22 = b 22 + b 21
La primera, tercera y cuarta ecuaciones dicen lo mismo: que b 21 = 0. Y la ecuación restante queda b 22 − b 11 = 2b 12. El sistema es compatible indeterminado, y sólo tiene dos ecuaciones
se puede escribir simplemente como
0 , 21 · (bene cio total) = 0, 21 ·
B
Si los impuestos a pagar por P 1 y P 2 fuesen de un 18 % y un 21 % respectivamente, el importe total de los impuestos estaría dado por
( 1 1 1
B
(Si no lo ves claro, revisa el segundo párrafo del apartado (b) anterior).
Ejercicio 5. (a) El coste de producir una mesa viene dado por la expresión genérica
(cantidad de madera) · (precio de madera) + (cantidad de tornillos) · (precio tornillos)+
- (cantidad barniz) · (precio barniz).
Para una mesa de gama media, por ejemplo, sería
(1,5) · (100) + (20) · (0,1) + (2) · (3),
que se puede expresar como un producto de matrices de dos formas distintas:
( 1 , 5 20 2
(^) o bien
análogamente, para una mesa de gama alta podemos expresar el coste como
( 1 , 5 20 2
(^) o bien
El enunciado nos pide empaquetar el coste de ambos tipos de mesas en un único vector columna, así que tenemos que apilar las expresiones anteriores una encima de otra. Esto sólo lo podemos hacer eligiendo la segunda forma que hemos escrito en cada caso, y queda así ( coste una mesa de gama media coste una mesa de gama alta
P
B
Basta por tanto elegir las matrices P y B como se indica para completar el apartado (a). (b) Si se ha entendido el apartado anterior, este debería resultar muy simple. El coste total de producción es, genéricamente,
(cantidad de mesas gama media) · (coste una mesa gama media)+
- (cantidad de mesas gama alta) · (coste una mesa gama alta) = = (20) · (coste una mesa gama media) + (15) · (coste una mesa gama alta).
En términos del vector columna de costes esto se expresa
coste total =
coste una mesa de gama media coste una mesa de gama alta
así que teniendo en cuenta el apartado anterior
coste total =
Q
P B.
Por tanto basta elegir Q como se indica, y el producto QP B representará los costes totales de producción, como se quería.
Ejercicio 6. Es una simple comprobación que no detallamos. La lectura que hay hacer de este ejercicio es la que sigue. Cuando dos números reales a y b veri can que su producto es cero; ab = 0, necesariamente alguno de los dos (o los dos) ha de ser cero. En última instancia, la razón es que si a (por ejemplo) es distinto de cero, puedo pasarlo dividiendo y me queda
b = 0 /a = 0.
En el caso de las matrices lo más parecido a pasar dividiendo es multiplicar por la inversa, pero sabemos que hay matrices que no tienen inversa. En ese caso (como pasa en este ejercicio) bien puede suceder que AB sea la matriz cero sin serlo ni A ni B.
Ejercicio 7. (a) Por ejemplo, para la primera se tiene que
(A + B)^2 =
pero A^2 + 2AB + B^2 =
así que obviamente (A+B)^2 6 = A^2 +B^2 +2AB. De manera similar se comprueba sin di cultad que ninguna de las otras dos relaciones se satisface.
(b) Para matrices podemos escribir, exactamente igual que para números ordinarios, (A + B)(A − B) = A^2 − AB + BA − B^2.
Sin embargo, como en general AB 6 = BA, ahora no podemos cancelar los sumandos −AB+BA de esta expresión, y por esa razón no es cierto en general que (A + B)(A − B) = A^2 − B^2. De hecho, vemos que la fórmula (A + B)(A − B) = A^2 − B^2 es cierta si, y sólo si, las matrices A y B conmutan (recuerda que esto signi ca que AB = BA).
(c) Mencionamos al nal del apartado anterior que si A y B conmutan entonces la identidad (A + B)(A − B) = A^2 − B^2 es cierta. Se puede comprobar que lo mismo sucede en los demás casos. Por ejemplo, en el caso de (A+B)^2 , si desarrollamos el paréntesis de la izquierda queda
(A + B)^2 = (A + B)(A + B) = A^2 + AB + BA + B^2
y si A y B conmutasen podríamos agrupar AB + BA = AB + AB = 2AB, de donde obten- dríamos que (A + B)^2 = A^2 + 2AB + B^2.
