¡Descarga Taller III de Matemáticas I: Ecuaciones de población de microorganismos y animales - Prof. y más Apuntes en PDF de Matemáticas solo en Docsity!
Taller III de Matem´aticas I
1r Grados de Biolog´ıa y Bioqu´ımica
Ejercicio 1. Tenemos una poblaci´on de microorganismos que admite dos variantes: A (pat´ogenos)
y B (no pat´ogenos). En un estudio hemos observado que la evoluci´on de esta poblaci´on sigue la regla
siguiente (que resume la reproducci´on, la mortalidad y las mutaciones): de media, cada d´ıa cada
individuo de tipo A es sustituido por 2.2 individuos de tipo A y 1.8 individuos de tipo B, y cada
individuo de tipo B es sustituido por 0.8 individuos de tipo A y 1.2 individuos de tipo B.
Sean an y bn el n´umero de individuos de tipo A y B que hay el d´ıa n en una poblacion de estos
microorganismos donde, al empezar, hay 1000 individuos del tipo A y ninguno del tipo B.
Encontrad la matriz M tal que
an+
bn+
= M ·
an
bn
(20 puntos)
Soluci´on. Los microorganismos de tipo A en el d´ıa n + 1 ser´an la suma de los microorganismos de
tipo A provenientes de los del tipo A del d´ıa n ( 2. 2 an) m´as los microorganismos de tipo A provenientes
de los del tipo B del d´ıa n ( 0. 8 bn). Es decir,
an+1 = 2. 2 an + 0. 8 bn.
Los microorganismos de tipo B en el d´ıa n + 1 ser´an la suma de los microorganismos de tipo B
provenientes de los del tipo A del d´ıa n ( 1. 8 an) m´as los microorganismos de tipo B provenientes de
los del tipo B del d´ıa n ( 1. 2 bn). Es decir,
bn+1 = 1. 8 an + 1. 2 bn.
Expresando estas ecuaciones de manera matricial:
an+
bn+
an
bn
por lo que M =
Ejercicio 2. Supongamos que estamos estudiando una poblaci´on de unos animales que no llegan a
vivir cuatro a˜nos y realizamos un censo al comienzo de cada verano. En esta poblaci´on distinguimos
entre los animales que han nacido despu´es del censo del verano anterior (los llamaremos alevines), los
animales de un a˜no, los de dos a˜nos y los de tres a˜nos: de cuatro o m´as no hay ninguno. Resulta que
unicamente la fracci´´ on α de los alevines llega a tener un a˜no, ´unicamente un 40% de los animales de
un a˜no llega a tener dos a˜nos y solamente un 50% de los animales de dos a˜nos llega a tener tres a˜nos.
Ning´un animal llega a los cuatro a˜nos. Por otro lado, en promedio, cada animal de un a˜no tiene,
pasado el verano, 10 descendientes; cada animal de dos a˜nos, 37.5 descendientes y cada animal de
tres a˜nos 100 · β descendientes. Todos estos contar´an como alevines el verano siguiente. Los alevines
no tienen descendientes.
Sean xn, yn, zn y tn, respectivamente, el n´umero de alevines, de animales de un a˜no, animales de
dos a˜nos y animales de tres a˜nos que hay en el verano n desde que empezamos a contarlos. Encontrad
la matriz A tal que
xn+
yn+
zn+
tn+
= A ·
xn
yn
zn
tn
(40 puntos)
Soluci´on. El n´umero de animales de un a˜no que habr´a en el a˜no n + 1 corresponder´a al n´umero de
alevines que sobrevivieron el a˜no anterior n. Sabemos que una fracci´on α de alevines sobrevive, por
tanto: yn+1 = αxn. De la misma manera, el n´umero de animales que habr´a de dos a˜nos en el a˜no
n + 1 corresponder´a al n´umero de animales de un a˜no que sobrevivieron el a˜no anterior. Sabemos que
el 40% de los animales de un a˜no llegan a tener dos, por lo tanto: zn+1 = 0. 4 yn. Adem´as, sabiendo
que un 50% de los animales de dos a˜nos llegan a tener tres: tn+1 = 0. 5 zn. Finalmente el n´umero de
alevines que habr´a en el a˜no n + 1 ser´a el n´umero de descendientes que hayan tenido los animales de
un a˜no, dos y tres el a˜no anterior: xn+1 = 10yn + 37. 5 zn + 100 · βtn.
Expresando estas ecuaciones de manera matricial:
xn+
yn+
zn+
tn+
0 10 37. 5 100 · β
α 0 0 0
0 0. 4 0 0
xn
yn
zn
tn
Por lo que: A =
0 10 37. 5 100 · β
α 0 0 0
Ejercicio 3. El ciclo de vida de unas ranas es el siguiente: La puesta de huevos es al principio de la
primavera. A las pocas semanas, por cada 800 huevos puestos, 65,3 se convierten en renacuajos. De
cada 100 renacuajos, a mediados del verano 21,6 se convierten en ranas. El 62% de estas ranas son
hembras y no ponen huevos antes de hibernar. En el segundo a˜no cada hembra pone de media 1256
huevos. En este segundo a˜no se mueren el 35% de las hembras y el 28% de los machos. Suponemos
M =
A pesar de que esa es la soluci´on correcta ya que los huevos eclosionan y se convierten en ranas
en el mismo a˜no, hemos considerado como v´alida tambi´en la siguiente soluci´on que corresponder´ıa al
caso en el que los huevos tardaran un a˜no en eclosionar y los renacuajos otro a˜no m´as en convertirse
en ranas:
Empecemos definiendo todas las variables:
- xn el n´umero de huevos de rana en el a˜no n
- yn el n´umero de renacuajos en el a˜no n
- zn el n´umero de ranas hembras de 1 a˜no en el a˜no n
- tn el n´umero de ranas macho de 1 a˜no en el a˜no n
- un el n´umero de ranas hembras de 2 a˜nos en el a˜no n
- vn el n´umero de ranas macho de 2 a˜nos en el a˜no n
- sn el n´umero de ranas hembras de m´as de 2 a˜nos en el a˜no n
- wn el n´umero de ranas macho de m´as de 2 a˜nos en el a˜no n
Ahora buscamos las relaciones que hay entre las variables:
- El n´umero de huevos que habr´a en el a˜no n + 1 ser´a la suma de huevos que pongan las ranas
hembras de dos a˜nos y los que pongan las ranas de m´as de dos a˜nos: xn+1 = 1256un + 987sn.
- El n´umero de renacuajos el a˜no n + 1 corresponder´a al n´umero de huevos del a˜no anterior que
se conviertan en renacuajos: yn+1 =
- 3 800
xn
- El n´umero de ranas hembras de un a˜no ser´a el n´umero de renacuajos del a˜no anterior que se
conviertan en ranas y adem´as sean hembra: zn+1 =
- 6 100
· 0. 62 yn
- El n´umero de ranas macho de un a˜no ser´a el n´umero de renacuajos del a˜no anterior que se
conviertan en ranas y adem´as sean macho: tn+1 =
- 6 100
· 0. 38 yn
- Dado que suponemos que las muertes de las ranas de dos a˜nos sucenden despu´es de la puesta
de huevos, el n´umero de ranas hembras de dos a˜nos que habr´a en un a˜no ser´a: un+1 = zn
- De manera similar, el n´umero de ranas macho de dos a˜nos en un a˜no ser´a: vn+1 = tn
- El n´umero de ranas hembras de m´as de dos a˜nos ser´an las ranas hembras de dos a˜nos que
pasan a tener tres y las ranas hembras de m´as de dos a˜nos del a˜no anterior que sobreviven:
sn = 0. 65 un + 0. 65 sn
- El n´umero de ranas hembras de m´as de dos a˜nos ser´an las ranas hembras de dos a˜nos que
pasan a tener tres y las ranas hembras de m´as de dos a˜nos del a˜no anterior que sobreviven:
wn = 0. 72 un + 0. 59 wn
Entonces, las ecuaciones que modelan el sistema son:
xn+
yn+
zn+
tn+
un+
vn+
sn+
wn+
= M ·
xn
yn
zn
tn
un
vn
sn
wn
donde,
M =
