Trigonometría:
Fórmulas
Relaciones entre las razones trigonométricas de un ángulo:
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 2 ∝ + 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠 2 ∝ = 1
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑐𝑐2 ∝ = 1 + 𝑡𝑡𝑡𝑡2∝
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠𝑐𝑐2 ∝ = 1 + 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑡𝑡𝑡𝑡2∝
𝑡𝑡𝑡𝑡 ∝ =
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 ∝
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠 ∝ 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑐𝑐 ∝ =
1
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠 ∝
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠𝑐𝑐 ∝ =
1
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 ∝
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑡𝑡𝑡𝑡 ∝ =
1
𝑡𝑡𝑡𝑡 ∝
Relación entre las razones trigonométricas de un ángulo y otros
relacionados con él.
Ángulos complementarios:
Ángulos suplementarios:
Ángulos opuestos
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 �
𝜋𝜋
2−𝛼𝛼�=cos 𝛼𝛼
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠 �𝜋𝜋
2
−𝛼𝛼�=sen 𝛼𝛼 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 (𝜋𝜋−𝛼𝛼)=sen 𝛼𝛼
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠 (𝜋𝜋−𝛼𝛼)=−cos 𝛼𝛼 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 (−𝛼𝛼)=−sen 𝛼𝛼
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠 (−𝛼𝛼)=cos 𝛼𝛼
Ángulos que se diferencian en 𝜋𝜋
2
radianes:
Ángulos que se diferencian en π
radianes:
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 �∝+
𝜋𝜋
2�=cos 𝛼𝛼
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠�∝+𝜋𝜋
2
�=−sen 𝛼𝛼 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 (𝛼𝛼+𝜋𝜋)=−sen 𝛼𝛼
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠 (𝛼𝛼+𝜋𝜋)=−cos 𝛼𝛼
Razones trigonométricas del ángulo suma y del ángulo diferencia de otros
dos.
Ángulo suma:
Ángulo diferencia:
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 (𝛼𝛼+𝛽𝛽)=sen 𝛼𝛼cos 𝛽𝛽+cos 𝛼𝛼 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝛽𝛽
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠 (𝛼𝛼+𝛽𝛽)=cos 𝛼𝛼cos 𝛽𝛽−sen 𝛼𝛼 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝛽𝛽
𝑡𝑡𝑡𝑡 (𝛼𝛼+𝛽𝛽)=tg 𝛼𝛼+𝑡𝑡𝑡𝑡 𝛽𝛽
1−𝑡𝑡𝑡𝑡 ∝𝑡𝑡𝑡𝑡𝛽𝛽
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 (𝛼𝛼−𝛽𝛽)=sen 𝛼𝛼c os 𝛽𝛽−cos 𝛼𝛼 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝛽𝛽
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠 (𝛼𝛼−𝛽𝛽)=c os 𝛼𝛼cos 𝛽𝛽+sen 𝛼𝛼 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝛽𝛽
𝑡𝑡𝑡𝑡 (𝛼𝛼−𝛽𝛽)=tg 𝛼𝛼−𝑡𝑡𝑡𝑡 𝛽𝛽
1 + 𝑡𝑡𝑡𝑡 ∝𝑡𝑡𝑡𝑡𝛽𝛽
Razones trigonométricas del ángulo doble y del ángulo mitad de otro.
Ángulo doble:
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 2 ∝=2sen 𝛼𝛼cos ∝
cos 2∝=𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠
2
∝− 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠
2
∝
𝑡𝑡𝑡𝑡 2 ∝=
2tg 𝛼𝛼
1−𝑡𝑡𝑡𝑡
2
∝
Ángulo mitad:
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 ∝
2= ± �1−cos ∝
2 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠 ∝
2= ± �1 + cos ∝
2 𝑡𝑡𝑡𝑡 ∝
2= ± �1−cos ∝
1 + cos ∝
Fórmulas de transformación de sumas en productos.
sen 𝛼𝛼+ sen 𝛽𝛽= 2𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠
∝+𝛽𝛽
2𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠
∝−𝛽𝛽
2
sen 𝛼𝛼− sen 𝛽𝛽= 2𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠∝+𝛽𝛽
2𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠∝−𝛽𝛽
2
cos 𝛼𝛼+ cos 𝛽𝛽= 2𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠
∝+𝛽𝛽
2𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠
∝−𝛽𝛽
2
cos 𝛼𝛼− cos 𝛽𝛽=−2𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠∝+𝛽𝛽
2𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠∝−𝛽𝛽
2
Teorema del coseno.
• Si a, b, c son los lados de un triángulo
cualquiera y Â
es el ángulo opuesto al
lado a, entonces:
Teorema de los senos.
• Si a, b, c son los lados de un triángulo
cualquiera y 𝐴𝐴,𝐵𝐵
�,𝐶𝐶, son sus respectivos
ángulos opuestos, entonces:
𝑎𝑎2= 𝑏𝑏2+𝑐𝑐2−2𝑏𝑏𝑐𝑐 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝐴𝐴 𝑎𝑎
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝐴𝐴 =𝑏𝑏
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝐵𝐵
� =𝑐𝑐
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝐶𝐶
Teorema de las tangentes.
• Si a y b son dos lados de un triángulo
cualquiera y 𝐴𝐴
� 𝑦𝑦 𝐵𝐵
�,
son sus respectivos
ángulos opuestos, entonces:
𝑎𝑎+𝑏𝑏
𝑎𝑎−𝑏𝑏=𝑡𝑡𝑡𝑡𝐴𝐴+𝐵𝐵
�
2
𝑡𝑡𝑡𝑡𝐴𝐴−𝐵𝐵
�
2
© FRANCISCO JAVIER MARTÍN VACA 2007
