Tarea 2: Derivadas de funciones de varias variables.
Cálculo Multivariado
Por:
- Gerardo Carvajal Ortiz, CODIGO: 80,098,628
Grupo:203057_101
Tutor:
Bilson Hernán Castro
Universidad Nacional Abierta y a Distancia
Abril de 2022
1
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Tarea 2: Derivadas calculo multivariado, Ejercicios de Matemáticas
La actividad consiste en el desarrollo de 5 ejercicios, de los cuales se abordaron los ejercicios C. Con el objetivo de realizar ejercicios relacionados con derivadas de funciones en varias variables.
Tipo: Ejercicios
2021/2022
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Tarea 2: Derivadas de funciones de varias variables.
Cálculo Multivariado
Por:
- Gerardo Carvajal Ortiz, CODIGO: 80,098,
Grupo:203057_
Tutor:
Bilson Hernán Castro
Universidad Nacional Abierta y a Distancia
Abril de 2022
Introducción
La actividad consiste en el desarrollo de 5 ejercicios, de los cuales se abordaron los
ejercicios C. Con el objetivo de realizar ejercicios relacionados con derivadas de funciones
en varias variables.
c) La temperatura en un punto (x,y,z) está dada por
T ( x , y )=
y
x
2
- y
2
Encuentre la dirección de mayor incremento de calor desde el punto P(6,8)
Iniciamos calculando el gradiente de T, derivando parcialmente respecto a cada variable.
∂T
En el P(6,8), la dirección de máximo incremento de calor está dada por:
∇ T (−1,1 , − 1 )=(
i,
j )
La tasa de crecimiento está dada por:
‖ ∇T (6,8)‖=
2
2
Tipo de ejercicios 3 – Ecuación del plano tangente y diferenciación
Halle la ecuación del plano tangente
x
2
- y
2
- z
2
Iniciamos calculando el gradiente de T, derivando parcialmente respecto a cada variable.
f ( x , y , z )= x
2
- y
2
- z
2
∇ f =¿ ( 2 x ) i + ( 2 y ) j +( 2 z ) k >¿
Ahora se calcula el gradiente en el punto (3,4,2)
∇ f (3,4,2)=¿ 6,8 , 4 >¿
De esta manera en vector normal será:
N=(6,8,4)
Ahora, se sustituye el vector normal y el Po en la ecuación del plano:
( x − 3 , y − 4 , z − 2 ). ( 6 , 8,4 )= 0
Producto escalar igual a cero.
Dividimos entre 2:
3 x − 9 + 4 y − 16 + 2 z − 4 = 0
Finalmente, la ecuación del plano es:
3 x + 4 y + 2 z = 29
Tipo de ejercicios 4 – Máximos y mínimos
f
x , y
= x
4
− 2 a
2
x
2
- y
4
con a diferente de cero
Inicialmente calcularemos los puntos críticos, derivando parcialmente respecto a x y y.
fx = 4 x
3
− 4 a
2
x
fxx = 12 x
2
− 4 a
2
fy = 4 y
3
fyy = 12 y
2
Ahora igualamos a cero para determinar los valores de x y y:
fx = 4 x
3
− 4 a
2
x = 0
4 x ( x
2
− a
2
4 x ( x − a )( x + a )= 0
De esta manera, se tiene que los valores de x para que su derivada sea cero son:
x = 0
x = a
x =− a
Ahora con dos, se encuentran los puntos de y que corresponden:
Donde l es el largo, a es el ancho y l es la longitud.
D =
√
l
2
- a
2
- h
2
Función de Lagrange:
L ( l , a , h , δ )= l ∗ a ∗ h + δ ∗( l
2
- a
2
- h
2
Ahora se deriva respecto a las 4 variables
d L ( l , a , h , δ )
dl
= ah + 2 lδ = 0 ah =− 2 lδ
d L ( l , a , h , δ )
da
= lh + 2 aδ = 0
lh =− 2 aδ
d L ( l , a , h , δ )
dh
= al + 2 hδ = 0 al =− 2 hδ
d L ( l , a , h , δ )
dδ
= l
2
- a
2
- h
2
Sumamos (1) y (2)
h ( a + l )=− 2 δ ( l + a )
h =− 2 δ
Dividimos (1) entre lo obtenido:
ah
h
− 2 lδ
− 2 δ
a = l
Dividimos (1) entre (3):
ah
al
− 2 lδ
− 2 hδ
h
l
l
h
√ h
2
=√ l
2
h = l
Se reemplazan en (4)
l
2
- l
2
- l
2
3 l
2
l
2
l =5.
De esta manera, se tiene que los valores que maximizan el volumen y cumplen la
restricción son:
l =5.
a =5.
h =5.