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superficies cuadraticas, rectas y planos, vectores, funciones vectoriales
Tipo: Ejercicios
1 / 30
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En el presente informe se dará solución a ejercicios de funciones de varias variables, límites
y continuidad, vectores, geometría del espacio y superficies cuadráticas, buscando dar a
entender el tema de manera gráfica por medio de GeoGebra y desglosando en un paso a paso
la solución de cada ejercicio, para este caso varios ejemplos por cada ítem.
Hallar las componentes y la longitud del vector 𝑣 que tiene punto
inicial 𝑝 y punto final 𝑞
Calcular el punto medio del segmento de recta 𝑝𝑞̅̅̅
Encontrar un vector unitario en la dirección de 𝑣
Realizar la gráfica de los tres objetos anteriores por medio de la herramienta
GeoGebra.
Ejercicio B.
p:
y q: (− 16 , 23 , − 4 )
Longitud.
1
1
2
2
2
2
3
3
2
2
2
2
2
2
2
Punto Medio (M)
𝟏
𝟐
𝟏
𝟐
𝟏
𝟐
Vector unitario
Grupo de ejercicios 1 – Vectores:
Desarrolle para cada uno de los siguientes ejercicios:
inicial 𝑝 y punto final 𝑞
herramienta GeoGebra
c. p: ( 7 , 0 , 4 ) y q: (− 2 , 2 , 5 )
Hallamos la distancia mediante la formula
1
1
2
2
2
2
3
3
2
Reemplazamos valores
Grupo de ejercicios 1 – Vectores:
Desarrolle para cada uno de los siguientes ejercicios:
inicial 𝑝 y punto final 𝑞
herramienta GeoGebra
Hallo el vector restando punto final e inicial
v = (− 5 , 16 , 0 ) − ( 12 , 3 , 8 ) = (− 17 , 13 , − 8 )
|v| = √(− 17 )
2
2
2
Hallamos el unitario
u⃗ =
Punto medio
Obtenga una ecuación de la recta que satisfaga las condiciones
indicadas. Haga un análisis de los resultados obtenidos gráficamente con
ayuda de GeoGebra:
a: perpendicular al plano 3 𝑥 + 𝑦 + 2 𝑧 = 7 y pasa por el punto (
1
3
hallar el vector
Pasa por el punto (− 1 ,
5
2
, 3 ) y es paralela a los planos 𝑧 = 𝑥 + 2 𝑦 , 2 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 1.
5
2
15
2
Obtenga una ecuación de la recta que satisfaga las condiciones indicadas. Haga un análisis
de los resultados obtenidos gráficamente con ayuda de GeoGebra:
Ejercicio C.
Pasa por el punto (− 5 , 4 , − 1 ) y es paralela al eje Y
Utilizamos la formula 𝑟 = 𝑝 + 𝑡𝑣 donde 𝑝 es el vector de un punto 𝑡; un punto 𝑡
multiplicado por un vector posición.
Escogemos el vector 𝑣 = ( 0 , 1 , 0 )
Quedando
Multiplicamos término a término resultando
Con esto hallamos las ecuaciones paramétricas donde podemos reemplazar t por cualquier
valor
Pantallazo GeoGebra
e. Pasa por el punto (2,−2, 3), y es paralelo al plano que pasa por los
puntos (1,−2,4) y (−3, 2,0)
Si la recta debe ser paralela al plano, debemos hallar un vector sobre el plano, como nos
dan dos puntos hallamos con esos puntos un vector
Identifique el tipo de superficie de las siguientes ecuaciones, escriba una parametrización y
realice la gráfica con ayuda de GeoGebra; Observación: Es necesario realizar el proceso de
complementación de cuadrados:
Ejercicio B.
𝟐
𝟐
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
𝟐
𝟐
Ilustración 1. Paraboloide elíptico.
Ilustración 2. Paraboloide
2
2
2
Grafica GeoGebra
Grupo de ejercicios 3 – Superficies Cuadráticas
e. 4 𝑥
2
2
2
De geogebra debemos llegar a un cono
Vamos a completar cuadrados
2
2
2
Ahora
2
2
2
Ahora saco del paréntesis lo que no necesito
2
2
2
Las constantes al otro lado del igual
2
2
2
Ahora
2
2
2
2
2
2
Se asemeja a la ecuación del cono del principio que nos dio geogebra
Grupo de ejercicio 4- Funciones Vectoriales.
En los siguientes ejercicios, para la función vectorial dada 𝑅(𝑡) escriba
sus vectores normales unitarios, la ecuación de la recta tangente en el
punto 𝑃 y su curvatura. Dibuje la curva trazada por la función vectorial
y la recta tangente con ayuda de Geogebra.
2
3
− 1
Se debe derivar
𝑉
2
2
3
Hallar la magnitud
2
2
2
2
2
Grupo de ejercicios 4 – Funciones vectoriales:
En los siguientes ejercicios, para la función vectorial dada 𝑅(𝑡) escriba
sus vectores normales unitarios, la ecuación de la recta tangente en el
punto 𝑃 y su curvatura. Dibuje la curva trazada por la función vectorial
y la recta tangente con ayuda de Geogebra.
Ejercicio B.
Fórmula para hallar la curvatura.
′
′′
′
𝟑
′
𝑖 − 𝑗 − cos(𝑡)𝑘
′′
(𝑡) = −𝑐𝑜𝑠(𝑡)𝑖 + sen(𝑡)𝑘
′
′′
′
′′
2
2
(𝑡))𝑗 + cos (𝑡)𝑘
𝑖 + 𝑗 + cos (𝑡)𝑘
Hallamos la magnitud de
′
𝑖 − 𝑗 − cos(𝑡)𝑘
′
2
2
−cos (𝑡)
2
′
sin
2
𝑡 + 1 + cos
2
′
Al igual hallamos la magnitud de
′
′′
(𝑡) = −𝑠𝑒𝑛(𝑡)𝑖 + 𝑗 + cos (𝑡)𝑘
′
′′
2
2
cos (𝑡)
2
′
′′
sin
2
𝑡 + 1 + cos
2
′
′′
Reemplazamos en la formula
′
′′
′
𝟑
𝟑
Recta tangente
Buscamos el parámetro que genera el punto, solo debemos igualar una de sus componentes
