CALCULO MULTIVARIADO
TAREA 2 -DERIVADAS DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES
PRESENTADO POR:
GRUPO COLABORATIVO
203057_27
ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA
PROGRAMA DE INGENIERÍA EN TELECOMUNICACIONES
UNAD2020
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calculo multivariado fase 2, Ejercicios de Cálculo Avanzado
ejercicios TAREA 2 -DERIVADAS DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES
Tipo: Ejercicios
2019/2020
1 / 12
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CALCULO MULTIVARIADO
TAREA 2 -DERIVADAS DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES
PRESENTADO POR:
GRUPO COLABORATIVO
203057_
ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA
PROGRAMA DE INGENIERÍA EN TELECOMUNICACIONES
UNAD 2020
Grupo de ejercicios 1 – Derivadas Parciales.
Si w=f ( x , y , z) es una función diferenciable, use la regla de la cadena para
calcular
2
w
∂u
2
2
w
∂ v
2
Donde x , y , z son:
e. x (u , v )=cos ( u+ av ) , y ( u , v )=sen ( u−av ) , z ( u , v )=
au+av
2
w
∂u
2
u
(
∂ w
∂ u
)
∂ w
∂u
∂( f (x , y , z))
∂ u
∂ f
∂ x
∂ x
∂ u
∂ f
∂ y
∂ y
∂ u
∂ f
∂ z
∂ z
∂ u
∂ x
∂ u
∂(cos ( u+av ) )
∂ u
=−sen ( u+ av ) ( 1 ) =−sen (u+ av )
∂ y
∂u
∂(sen ( u−av ) )
∂u
=cos
u−av
=cos
u−av
∂ z
∂u
au+av )
∂u
a
au+av
∂ w
∂u
∂( f ( x , y , z))
∂ u
∂ f
∂ x
.(−sen ( u+av ))+
∂ f
∂ y
. cos ( u−av ) +
∂ f
∂ z
a
2 √au+ av
2
w
∂u
2
d
du
(
∂ f
∂ x
.(−sen
u+av
∂ f
∂ y
. cos
u−av
∂ f
∂ z
a
au+av
)
(
∂ f
∂ x
.(−sen ( u+av ) )
)
'
df
dx
df
dx
df
dx
(
∂ f
∂ y
. cos
u−av
)
'
df
dy
(−sen
u−av
+cos
u−av
d
du
(
df
dy
)
df
dy
(−sen ( u−av ) ) +cos ( u−av ).
[
d
2
f
dxdy
(−sen (u+ av ) ) +
d
2
f
d y
2
( cos ( u+av ) ) +
d
2
f
dzdy
(
a
au+av
)
]
(
∂ f
∂ z
a
au+av
)
'
df
dz (
−a
2
4 ( a
u+v
3 / 2
)
a
au+av
d
du
(
df
dz
)
∂ f
∂ z
−a
2
4 ( a ( u+v ) )
3
2
a
au+av
∂ f
∂ x ∂ z
.(−asen
u+av
∂ f
∂ y ∂ z
. (−a cos
u−av
∂ f
∂ z
2
a
au+ av
2
w
∂ v
2
∂ f
∂ x
(−a
2
cos
av +u
)−asen
u+av
∂ f
∂ x
2
(−asen
u+ av
∂ f
∂ y ∂ x
(−a cos
u−av
∂ f
∂ z ∂ x
a
au+av
Grupo de ejercicios 2 – Derivadas Direccionales.
Consultar en el entorno de conocimiento el siguiente recurso:
García, H. (2014). Cálculo de varias variables. México: Larousse - Grupo
Editorial Patria. (pp. 89-92).
En los siguientes ejercicios use la derivada direccional de la función f ( x , y )
para hallar unas ecuaciones paramétricas de la recta L, tangente a la
gráfica de f ( x , y ) en el punto ( p , f ( p) ), tal que la proyección de L sobre el
plano xy tenga a ⃗v como vector director.
e. f ( x , y )= √
2 x
3
y+ 4
en p=(− 3 ,− 5 ) , en ladirección de ⃗v=− 3 i+ j.
Encuentro la Derivada direccional:
Primero derivamos respecto a x y luego respecto a y
df
dx
d √ 2 x
3
y+ 4
dx
6 x
2
y
2 √ 2 x
3
y+ 4
3 x
2
y
√ 2 x
3
y + 4
df
dy
d √
2 x
3
y + 4
dy
2 x
3
√
2 x
3
y + 4
x
3
√
2 x
3
y + 4
Ahora reemplazamos los puntos p=(− 3 ,− 5 ) en las ecuaciones:
x=
3 x
2
y
√
2 x
3
y+ 4
2
3
y=
x
3
√ 2 x
3
y + 4
√
3
Con los resultados anteriores tenemos que i=−8.2 y j=−1.6 →(−8.2 ,−1.6)
Ahora vamos a encontrar |v| con ⃗v=− 3 i+ j.
|v|=
√
2
2
Entonces el vector unitario es:
U =
i. j
¿ v∨¿=
(
)
Realizamos el producto punto con el vector U y el vector encontrado
anteriormente.
(
)
Ahora un vector director de la recta puede estar formado por las componentes
de un vector unitario y la derivada direccional:
(
)
Y teniendo el punto
p , f ( p)
(− 3 ,− 5 ) , f (− 3 ,− 5 )
podemos encontrar la ecuación
paramétrica de la recta.
f (− 3 ,− 5 )= √
3
Punto: (-3, -5, 16.55)
Vector director:
(
)
Ahora con el vector director y el punto vamos a reemplazar en la ecuación de
la recta:
( x , y , z)=(3,2,1)+α
(
)
Ecuaciones paramétricas:
x= 3 + α
f
z
x
0
, y
0
, z
0
Reemplazando en la ecuación del plano
x−x
0
y− y
0
z−ln ( 2 )
x−x
0
y− y
0
+ln ( 2 )−f ( x , y )= 0
f ( x , y )=
x−x
0
y− y
0
+ln ( 2 )
f ( x , y ) ≈ L ( x , y )
L ( x , y )=f
x
0
, y
0
- f
x
x
0
, y
0
, z
0
x− x
0
- f
y
x
0
, y
0
, z
0
y− y
0
L ( x , y )=ln( 0 + 0 + 2 ) +
( x− 0 ) +
( y − 0 )
L ( x , y )=ln( 2 ) +
x +
y
Se encuentra el error calculando E:
E ( x , y ) =
( (
x−x
0
2
f
xx
c
1
, c
2
x−x
0
y− y
0
f
xy
c
1
,c
2
y − y
0
2
f
yy
c
1
, c
2
) )
f
xx
( x , y )=
( x + y + 2 )
2
f
yy
( x , y )=
( x+ y+ 2 )
2
f
xy
( x , y )=
( x + y + 2 )
2
luego:
f
xx
f
yy
f
xy
El error queda de la siguiente manera:
E ( x , y ) =
[
2
2
]
|E|=
|E|=0.
Grupo de ejercicios 4 – Máximos y Mínimos.
Consultar en el entorno de conocimiento el siguiente recurso:
García, H. (2014). Cálculo de varias variables. México: Larousse - Grupo
Editorial Patria. (pp. 92-99).
Identificar los extremos de la función en el conjunto
K
e. f
x , y
=x
4
- y
4
− 52 y−x , K
es la región encerrada por la curva 8 x
3
= y
las rectas y= 10 x + 100 , y=− 10 x− 200.
Derivadas parciales iguales a 0:
f
x , y
=x
4
- y
4
− 52 y−x
f
x
' ( x , y )= 0
4 x
3
x=
3
f
y
' ( x , y )= 0
4 y
3
y=
3
Entonces el punto más bajo de la superficie o el mínimo relativo es:
minimo=
(
3
3
)
Utilice el método de los multiplicadores de Lagrange para encontrar
los extremos con restricciones de la función dada.
e. f ( x , y )= 8 xyz, sujeta 9 x
2
- 36 y
2
- 4 z
2
f ( x , y )= 8 xyz
f ( x )= λ g
x
8 yz=λ 18 x x=
8 yz
18 λ
x =
4 yz
9 λ
f ( y ) =λ g
y
8 xz=λ 72 y y =
8 x z
72 λ
y=
xz
9 λ
f ( z )= λ g
z
8 xy= λ 8 z z=
8 xy
8 λ
z=
xy
λ
g(x , y , z)= 0 9 x
2
- 36 y
2
- 4 z
2
9 x
2
- 36 y
2
- 4 z
2
g(x )= 0
g ( x )= 9 x
2
- 36 y
2
- 4 z
2
Vamos a reemplazar y en
x
x=
4 yz
9 λ
x=
xz
9 λ
z
9 λ
x=
4 x z
2
9 λ
9 λ
x=
4 x z
2
81 λ
2
x
x
4 z
2
81 λ
2
4 z
2
81 λ
2
z
2
81 λ
2
Vamos a reemplazar z
en
y
y=
xz
9 λ
y=
x
xy
λ
9 λ
y=
x
2
y
λ
9 λ
y=
x
2
y
9 λ
2
y
y
x
2
9 λ
2
x
2
9 λ
2
x
2
= 9 λ
2
Vamos a reemplazar x
en
z.
z=
xy
λ
z=
4 yz
9 λ
y
λ
z=
4 y
2
z
9 λ
λ
z=
4 y
2
z
9 λ
2
z
z
4 y
2
z
9 λ
2
4 y
2
9 λ
2
y
2
9 λ
2
Ahora se reemplazan los valores anteriores en:
9 x
2
- 36 y
2
- 4 z
2
9 x
2
- 36 y
2
- 4 z
2
9 ( 9 λ
2
9 λ
2
4 z
81 λ
2
81 λ
2
- 81 λ
2
- 81 λ
2
243 λ
2
λ
2
√
λ
2
√
λ=
z
2
81 λ
2
z
2
(
)
2
z
2
(
)
z
2
√
z
2
z=√ 3
x
2
= 9 λ
2
x
2
(
)
2
x
2
x
2
x
2
√
x
2
√
x=
y
2
9 λ
2
y
2
(
)
2
y
2
y
2
y
2
√
y
2
√
y=
f
(
)
= 8 xyz