Tema 2 Álgebra, Apuntes de Álgebra

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Matrices

Jaime D´ıaz

Dpto. Matem´atica Aplicada I

Septiembre 2016

Tipos de Matrices

Definici´on

Se llama matriz real de p filas y n columnas a cualquier agrupaci´on de la

forma

A =

a 11 a 12 · · · a 1 n

a 21 a 22 · · · a 2 n

ap 1 ap 2 · · · apn

donde aij ∈ R para todo i = 1, 2 ,... , p, j = 1, 2 ,... , n.

Diremos que A es una matriz de dimensi´on p × n o de orden p × n.

Definici´on

Denotaremos por M p×n (R) el conjunto de todas las matrices de p filas y

n columnas con elementos en R. En notaci´on reducida, escribiremos

A = (aij ) ∈ Mp×n.

Definici´on

Se llama diagonal principal de una matriz A = (a ij

) ∈ M

p×n al vector de

R

m diag(A) = (a 11 , a 22 ,... , a mm ), donde m = m´ın{p, n}.

Ejemplo

Sea A =

, A ∈ M

3 , 4

. La diagonal principal de A

es (− 1 , 3 ,

Definici´on

Una matriz A ∈ M p×n es diagonal si a ij = 0 para todo i 6 = j.

Ejemplo de matriz diagonal: D =

∈ M

5 , 4

Definici´on

Una matriz A ∈ M p×n es triangular superior si a ij = 0 para todo i > j, es

decir, si los elementos que est´an por debajo de la diagonal principal son

todos cero. Por ejemplo,

A =

Definici´on

Una matriz A ∈ Mp×n es triangular inferior si aij = 0 para todo i < j, es

decir, si los elementos que est´an por encima de la diagonal principal son

todos cero. Por ejemplo,

A =

∈ M

2 , 4

Operaciones con matrices

Producto de una matriz por un escalar

Dada una matriz A = (a ij

) ∈ M

p×n y un escalar λ ∈ R, se define

λA = λ(aij ) = (λaij ), es decir,

λ

a 11 a 12 · · · a 1 n

a 21 a 22 · · · a 2 n

a p 1 a p 2 · · · a pn

λa 11 λa 12 · · · λa 1 n

λa 21 λa 22 · · · λa 2 n

λa p 1 λa p 2 · · · λa pn

Son f´aciles de comprobar las siguientes propiedades:

1. λ(A + B) = λA + λB, ∀A, B ∈ Mp×n, ∀λ ∈ R.
2. (λ + μ)A = λA + μA, ∀A ∈ M p×n , ∀λ, μ ∈ R.
3. (λμ)A = λ(μA), ∀A ∈ Mp×n, ∀λ, μ ∈ R.

Operaciones con matrices

Producto de matrices

Dadas dos matrices A = (aij ) ∈ Mp×n, B = (bij ) ∈ Mn×q, se define su

producto como la matriz AB = (cij ) ∈ Mp×q dada por:

c ij =

n ∑

k=

a ik b kj = a i 1 b 1 j +a i 2 b 2 j +· · ·+a in b nj , ∀i = 1, 2 ,... , p, ∀j = 1, 2 ,... , q.

Observaci´on

Para poder realizar el producto AB es necesario que el n´umero de

columnas de A coincida con el n´umero de filas de B.

Ejemplo





1 2 3

− 5 − 4 − 7

8 − 1 2









2 3

− 3 1

1 1



 (^) =





− 1 8

− 5 − 26

21 25





A B = C

3 × 3 3 × 2 3 × 2 p × n n × q p × q

Ejemplo

Definici´on

Una matriz cuadrada A ∈ Mn×n se dice invertible si existe una matriz

B ∈ M

n×n tal que AB = BA = I n , donde I n es la matriz identidad. En

caso de existir, B se llama matriz inversa de A y se denota por A

− 1

. Las

matrices invertibles tambi´en se llaman regulares o no singulares.

Propiedad

Sean A, B ∈ Mn×n. Si A y B son invertibles entonces AB tambi´en lo es

y adem´as (AB)

− 1 = B

− 1 A

− 1 .

Definici´on

Sean A ∈ M n×n y k ∈ N. Se define A

k por inducci´on del siguiente modo:

A

2 = AA, en general, A

k+ = A

k A, para todo k ≥ 2 , es decir A

k resulta

de multiplicar A por s´ı misma k veces. Por convenio, A

0 = I, A

1 = A.

Propiedad

Si A es diagonal entonces A

k tambi´en es diagonal. Adem´as,

a 11 0 · · · 0

0 a 22

0 0 · · · ann

k

a

k

11

0 a

k

22

0 0 · · · a

k nn

Propiedades de la trasposici´on

1 (A

t )

t = A, ∀A ∈ Mp×n.

2 (A + B)

t = A

t

• B

t , ∀A, B ∈ Mp×n.

3 (λA)

t = λA

t , ∀A ∈ M p×n , ∀λ ∈ R.

4 (AB)

t = B

t A

t , ∀A ∈ M p×n

, ∀B ∈ M

n×q

(^5) Si A es invertible entonces (A

t )

− 1 = (A

− 1 )

t .

6 (A

t )

k = (A

k )

t , ∀A ∈ Mn×n, ∀k ∈ N.

Definici´on

Una matriz A = (aij ) ∈ Mn es sim´etrica si A

t = A, es decir, si

a ij = a ji , ∀i, j = 1,... , n.

Ejemplo

La matriz A =

es sim´etrica.

Propiedades

1 Si A ∈ M p×n entonces A

t A ∈ M n es sim´etrica.

2 Si A es sim´etrica entonces A

k es sim´etrica para todo k ∈ N.

Definici´on

Sea A = (aij ) ∈ Mn. Se llama traza de A, y se nota tr(A), a la suma de

los elementos de su diagonal principal, es decir,

tr(A) = a 11 + a 22 + · · · + ann

Propiedades

1 tr(A + B) = tr(A) + tr(B), ∀A, B ∈ M n

2 tr(λA) = λ tr(A), ∀A ∈ Mn, ∀λ ∈ R.

3 tr(AB) = tr(BA), ∀A ∈ M p×n

, ∀B ∈ M

n×p

Definici´on

Sea A ∈ Mn una matriz n × n definimos el determinante de A por

recurrencia sobre su orden n.

Si n = 1, |A| = |(a 11 )| = a 11

Si n = 2, |A| =

a 11 a 12

a 21 a 22

= a 11 a 22 − a 12 a 21

Si suponemos que tenemos definido el determinante para matrices

cuadradas de orden n − 1 , entonces:

Si A es una matriz cuadrada de orden n

Se llama menor complementario del elemento aij al determinante de la

matriz cuadrada de orden n − 1 que se obtiene de la A al suprimir la

fila i y la columna j, se suele representar ∆ij.

Se llama adjunto del elemento aij al resultado de multiplicar su menor

complementario por (−1)

i+j se representa por A ij .

Definimos el determinante de A de orden n en funci´on de n determi-

nantes de orden n − 1 como:

|A| = a 11

A

11

• a 12

A

12

• ... + a 1 n

A

1 n

Tambi´en se suele denotar el determinante de A como det(A).

Determinantes

Propiedades

1.- El desarrollo de un determinante puede hacerse por cualquier fila:

|A| = a i 1

A

i 1

• a i 2

A

i 2

• ... + a in

A

in (fila i)

2.- Tambi´en puede hacerse por cualquier columna:

|A| = a 1 j

A

1 j

• a 2 j

A

2 j

• ... + a nj

A

nj (columna j)

3.- det(A

t ) = det(A), ∀A ∈ Mn

4.- Si se multiplican los elementos de una fila (columna) de A por un

escalar λ, el determinante de la matriz as´ı obtenida es igual al producto

del determinante de A por λ.

5.- Al permutar dos filas (columnas) el determinante cambia de signo.

6.- Una matriz con dos filas (columnas) iguales tiene determinante igual a

cero.

Determinantes

Propiedades

7.- Si la fila (columna) i de la matriz A es de la forma a ij = b j

• cj,

entonces el determinante de A es igual a la suma de los determinantes de

las matrices obtenidas al sustituir en A la fila i por (b 1 , · · · , b n ) y

(c 1 , · · · , c n ) respectivamente.

∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣

a 11 a 12 · · · a 1 n

. . .

. . .

. . .

. . .

b 1 + c 1 b 2 + c 2 · · · bn + cn

. . .

. . .

. . .

. . .

a n 1 a n 2 · · · ann

∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣

=

∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣

a 11 a 12 · · · a 1 n

. . .

. . .

. . .

. . .

b 1 b 2 · · · bn

. . .

. . .

. . .

. . .

a n 1 a n 2 · · · ann

∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣

∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣

a 11 a 12 · · · a 1 n

. . .

. . .

. . .

. . .

c 1 c 2 · · · cn

. . .

. . .

. . .

. . .

a n 1 a n 2 · · · ann

∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣

8.- El determinante de la matriz obtenida sumando a una fila (columna)

un m´ultiplo de otra fila (columna) coincide con el de la matriz de partida.

9.- det(AB) = det(A) det(B).(Obviamente, siempre que A, B ∈ Mn)