Tema 8 Álgebra, Apuntes de Álgebra

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Formas Cuadr´aticas

Noviembre/Diciembre 2016

Formas cuadr´aticas

Definici´on

Sean V un espacio vectorial de dimensi´on n y B una base V. Si (x 1 , · · · , xn) = [x]tB y aij ∈ R, con 1 ≤ i, j ≤ n, se denomina forma cuadr´atica sobre V a toda funci´on polin´omica Q : V −→ R de la forma:

Q(x) =

∑^ n

i=

 

∑^ n

j=

aij xj

  (^) xi = (x 1 , x 2 , · · · , xn)

  

a 11 a 12 · · · a 1 n a 21 a 22 · · · a 2 n .. .

.. .

... .. . an 1 an 2 · · · ann

  

  

x 1 x 2 .. . xn

  

La escritura de Q en la forma Q(x) = [x]tB A[x]B se denomina expresi´on matricial de la forma cuadr´atica. Adem´as siempre se puede escribir mediante una matriz sim´etrica ya que:

aij xixj + ajixj xi =

aij + aji 2

xixj +

aij + aji 2

xj xi

Clasificaci´on de una forma cuadr´atica

Definici´on

Se dice que una forma cuadr´atica Q es a) definida positiva si Q(x) > 0 para todo x 6 = 0 b) definida negativa si Q(x) < 0 para todo x 6 = 0 c) indefinida si Q(x) toma valores tanto positivos como negativos. d) semidefinida positiva si Q(x) ≥ 0 para todo x e) semidefinida negativa si Q(x) ≤ 0 para todo x

Teorema

Sean B y B 1 dos bases de V , P la matriz de paso de B 1 a B (luego [x]B = P [x]B 1 ) y A la matriz sim´etrica de Q respecto de la base B. Entonces, la matriz de Q en la base B 1 , A 1 , se obtiene como

A 1 = P tAP ya que

Q(x) = [x]tB A[x]B = (P [x]B 1 )t^ AP [x]B 1 = [x]tB 1 P tAP [x]B 1

Compruebe que A 1 tambi´en es sim´etrica.

Definici´on

Dos matrices sim´etricas se dice que son congruentes cuando son matrices asociadas a la misma forma cuadr´atica en bases distintas.

Es decir, A y A 1 sim´etricas son congruentes, si existe P invertible tal que

A 1 = P tAP.

Diagonalizaci´on de una forma cuadr´atica

Sea B una base de V y Q(x) = [x]tB A[x]B la expresi´on matricial de una forma cuadr´atica sobre V. Puesto que A es sim´etrica, existe una base B 1 tal que la matriz P de cambio de base de B 1 a B es ortogonal y D = P −^1 AP = P tAP , con D diagonal es decir, que D y A son congruentes (adem´as de semejantes). Luego en B 1 , se tiene que

Q(x) = [x]tB 1 P tAP [x]B 1 = [x]tB 1 D[x]B 1 = λ 1 y^21 + · · · + λny^2 n

es decir, la forma cuadr´atica se expresar´a como una suma de cuadrados, donde (y 1 , · · · , yn) = [x]tB 1 y λ 1 , · · · , λn son los valores propios de A.

Q(X) = (x, y)

x y

= (x 1 , y 1 )

x 1 y 1

Por lo tanto, D y A son congruentes y hay una base en la que Q(X) = (2 +

2)x^21 + (2 −

2)y 12

Diagonalizaci´on de una forma cuadr´atica

Te´oricamente, la diagonalizaci´on ortogonal de A puede emplearse para hallar D, pero en la pr´actica puede ser dif´ıcil o imposible llevarla a cabo pues supone encontrar las ra´ıces de un polinomio.

En realidad nos basta con hallar matrices diagonales que sean congruentes a A, y no es necesario que tambi´en sean semejantes.

Afortunadamente, es posible disponer de otros m´etodos m´as sencillos pero igualmente eficaces para obtener una matriz diagonal D mediante congruencias. Por esta v´ıa P no es una matriz ortogonal y los elementos de la diagonal de D no son los autovalores de A.

Aplicaremos operaciones elementales, por fila y por columna para hallar las matrices D y P.

Soluci´on

Si X = (x, y, z), se tiene que A =

, es la matriz de Q en la

base can´onica. Para obtener una matriz congruente con A que sea diagonal, seguimos el proceso de (A|I) → (D|P ).

(A|I) =

 F 2 A − 1

2 F^

A 1 −−−−−−−→

CA 2 − 12 C 1 A

 C 2 I − 12 C 1 I

F 3 A + 2F 2 A

C 3 A + 2CA 2

CI 3 + 2CI 2

 = (D|P )

Tenemos entonces la matriz diagonal D y la matriz de paso P de la base

B 1 = {(1, 0 , 0),

2 ,^1 ,^0

a la can´onica, que verifica P tAP = D. Por tanto, si (x 1 , y 1 , z 1 ) = [X]B 1 , se verifica que

Q(X) = 2x^21 −

y^21 + 5z 12.

Clasificaci´on de una forma cuadr´atica

Teorema de clasificaci´on

a) Q es definida positiva ⇐⇒ σ(Q) = (n, 0). b) Q es definida negativa ⇐⇒ σ(Q) = (0, n). c) Q es indefinida ⇐⇒ σ(Q) = (p, q) con 0 < p, q. d) Q es semidefinida positiva ⇐⇒ σ(Q) = (p, 0) con 0 < p < n. e) Q es semidefinida negativa ⇐⇒ σ(Q) = (0, q) con 0 < q < n.

Ejemplos

En todos los casos que siguen Q(x, y, z) es una forma cuadr´atica en R^3 , en cuya expresi´on s´olo aparecen cuadrados. (^1) Q(x, y, z) = 4x^2 + 2y^2 + 8z^2 es definida positiva (^2) Q(x, y, z) = −x^2 − 4 y^2 − 5 z^2 es definida negativa (^3) Q(x, y, z) = x^2 + 4y^2 − 4 z^2 es indefinida. (^4) Q(x, y, z) = x^2 + y^2 es semidefinida positiva (^5) Q(x, y, z) = − 5 x^2 es semidefinida negativa

Ejercicios

Clasifique las formas cuadr´aticas Q(x) = xtAx, tales que A es congruente a D.

D 1 =

 D 2 =

D 3 =

 D 4 =

D 5 =

 D 6 =

D 7 =

 D 8 =

Problema 1

Sea Q(x, y, z) = 2x^2 + y^2 + 4z^2 − 4 xy + 10yz.

(^1) Halle A ∈ M 3 , sim´etrica y tal que

Q(x, y, z) = (x, y, z)A

x y z

 (^) , (x, y, z) ∈ R^3.

(^2) Halle P, D ∈ M 3 , tales que P es invertible, D es diagonal y P tAP = D. (^3) Si Q′^ es la forma cuadr´atica asociada a D, repres´entela en t´erminos de las variables x, y y z. (^4) Clasifique a Q y calcule su signatura.

Problema 3

Sea Q(x, y, z) = x^2 + 3y^2 + z^2 + 6xy − 2 yz − 6 xz.

(^1) Halle A ∈ M 3 , sim´etrica y tal que

Q(x, y, z) = (x, y, z)A

x y z

 (^) , (x, y, z) ∈ R^3.

(^2) Halle P, D ∈ M 3 , tales que P es invertible, D es diagonal y P tAP = D. (^3) Si Q′^ es la forma cuadr´atica asociada a D, repres´entela en t´erminos de las variables x, y y z. (^4) Clasifique a Q y calcule su signatura.

Problema 4

Clasifique las siguientes formas cuadr´aticas y halle la matriz sim´etrica D tal que Q′(x) = xtDx. Calcule la signatura σ. (^1) Q′(x, y, z, t) = 2x^2 + 3z^2 + t^2 (^2) Q′(x, y, z) = − 4 x^2 − 6 y^2 − 5 z^2 (^3) Q′(x, y, z, t, w) = x^2 − w^2 (^4) Q′(x, y) = 4x^2 + 8y^2 (^5) Q′(x, y, z, t) = 5x^2 + 5y^2 + 4z^2 + 50t^2 (^6) Q′(x, y, z) = −x^2 − 9 y^2 − 8 z^2 (^7) Q′(x, y, z) = −y^2 (^8) Q′(x, y, z) = 5y^2 + z^2

Note que todas se representan como suma de cuadrados y por tanto su clasificaci´on es inmediata.