Tema 6 Álgebra, Apuntes de Álgebra

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Espacios eucl´ıdeos

Jaime D´ıaz Dpto. Matem´atica Aplicada I

Octubre 2016

Producto escalar de dos vectores de Rn

Si u, v ∈ Rn, el producto escalar se define como

〈u, v〉 = utv

De manera detallada...

u 1 u 2 · · · un

v 1

v 2

vn

 =^ u^1 v^1 +^ u^2 v^2 +^ · · ·^ +^ unvn.

1 × n n × 1 1 × 1

N´otese que

utu = u^21 + · · · + u^2 n ≥ 0

Norma o ”longitud”de un vector de Rn

Definici´on

La norma de u ∈ Rn^ es el n´umero no negativo

‖u‖ =

〈u, u〉.

A ‖ · ‖ se le llama norma cuadr´atica.

Teorema

Sean u, v ∈ Rn^ y sea λ ∈ R. Entonces, la norma ‖ · ‖ cumple las siguientes propiedades. (^1) ‖u‖ = 0 si y s´olo si u = 0Rn. (^2) ‖λu‖ = |λ| ‖u‖ (^3) ‖u + v‖ ≤ ‖u‖ + ‖v‖

La tercera propiedad se llama desigualdad triangular.

Distancia entre dos vectores de Rn

Definici´on

La distancia d(u, v) entre dos vectores u y v es la norma de su diferencia, es decir d(u, v) = ‖u − v‖.

A d se le suele llamar distancia en media cuadr´atica y es muy utilizada en C´alculo y Estad´ıstica. Las expresiones detalladas de la norma y la distancia cuadr´atica son respectivamente

‖(u 1 , · · · , un)t‖ =

u^21 + · · · + u^2 n.

d((u 1 , · · · , un)t, (v 1 , · · · , vn)t) = √ (u 1 − v 1 )^2 + · · · + (un − vn)^2

Resultados propios de un espacio eucl´ıdeo

Ley del paralelogramo

Teorema

La suma de los cuadrados de las longitudes de los cuatro lados de un paralelogramo cualquiera, es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de las dos diagonales.

La ley del paralelogramo en el espacio eucl´ıdeo Rn^ se establece en t´erminos de la norma eucl´ıdea.

Teorema

Sean u, v ∈ Rn. Entonces

2 ‖u‖^2 + 2‖v‖^2 = ‖u + v‖^2 + ‖u − v‖^2

Este resultado s´olo puede establecerse si la norma empleada proviene de un producto escalar, tal como ocurre con la norma cuadr´atica ‖ · ‖.

• Ilustraci´on gr´afica en R

Complemento ortogonal

Definici´on

Sea S un subconjunto no vac´ıo de Rn^ y u ∈ Rn, u 6 = 0Rn^. Si 〈u, v〉 = 0 para todo v ∈ S, decimos que el vector u es ortogonal al subconjunto S y se nota u ⊥ S. El conjunto de todos los vectores u ∈ Rn^ que son ortogonales a S se llama complemento ortogonal de S y se denota por S⊥. En otras palabras, S⊥^ = {u ∈ Rn/u ⊥ S}

El s´ımbolo S⊥^ se lee ”S ortogonal”.

Teorema

Sea F un subespacio de Rn^ y S un subconjunto no vac´ıo de Rn. (^1) S⊥^ es un subespacio de Rn. (^2) u ∈ F ⊥^ si y s´olo si u es ortogonal a un sistema de generadores de F. (^3) S⊥^ = Gen(S)⊥.

Sea U un subespacio de Rn. Si {u 1 , · · · , ur} es una base de U , entonces:

x ∈ U ⊥^ ⇔

x ⊥ u 1 · · · x ⊥ ur

< x, u 1 >= 0 · · · < x, ur >= 0

con lo que se obtienen unas ecuaciones cartesianas de U ⊥. Adem´as n = dim(U ) + dim(U ⊥)

Teorema

Si las filas de una matriz A forman una base del subespacio U , entonces Ax = 0 son unas ecuaciones cartesianas de U ⊥^ y rec´ıprocamente, los coeficientes de unas cartesianas de U componen los vectores de una base de U ⊥.

Ejercicio

Hallar el complemento ortogonal (en t´erminos de una base) del sistema S = {u, v}, formado por los vectores u = (2, 0 , 1 , −5)t^ y v = (0, 1 , − 2 , 1)t.

Sistemas ortogonales

Definici´on

Los vectores v 1 ,...,vp de Rn, se dice que forman un sistema o conjunto ortogonal, si 〈vi, vj 〉 = 0 para i 6 = j, y adem´as ‖vj ‖ 6 = 0, j = 1, · · · , p.

Ejercicio

Probar que el sistema de vectores S = {u, v, w}, donde u = (3, 1 , 1)t, v = (− 1 , 2 , 1)t, w = (− 1 , − 4 , 7)t, es un conjunto ortogonal.

Teorema

Si S = {v 1 , ..., vp} ⊂ Rn^ es un conjunto ortogonal de vectores (y por tanto no nulos), entonces S es l.i., es decir, S es una base de Gen(S).

Ejercicio

Los tres vectores del Ejercicio anterior forman una base de R^3. ¿Por qu´e?

Bases ortogonales

Definici´on

Una base ortogonal de un subespacio F de Rn^ es una base de F que adicionalmente es un conjunto ortogonal de vectores.

Teorema

Sea B = {v 1 , ..., vp} una base ortogonal del subespacio F de Rn. Entonces, todo vector v ∈ F tiene una ´unica representaci´on como combinaci´on lineal de los vectores v 1 ,...,vp, sea ´esta v = λ 1 v 1 + · · · + λpvp, en la cual los escalares λi, i = 1, ..., p, se pueden calcular como

λi = 〈v, vi〉 〈vi, vi〉

y se llaman coeficientes de Fourier de v respecto de B.

Ejercicio

Sea X = (2, 4 , 3)t. Hallar las coordenadas de X en la base del ejercicio de la diapositiva anterior.

Ejemplos de bases ortonormales

Ejemplo

La base can´onica de Rn^ es ortonormal.

Ejemplo

Sean u = (3, 1 , 1)t, v = (− 1 , 2 , 1)t, w = (− 1 , − 4 , 7)t^ una base ortogonal. Entonces (^1) u 1 = (3,^1 ,^ 1)

t √ 11 (^2) u 2 = (−^1 ,^2 ,^ 1)

t √ 6 (^3) u 3 = (−^1 ,^ −^4 ,^ 7)

t √ 66 es una base ortonormal de R^3.

¿C´omo hallar bases ortogonales?

Teorema (de ortogonalizaci´on de Gram-Schmidt)

Sea {u 1 , u 2 , ..., un} una base de Rn, si hacemos:

v 1 = u 1 v 2 = u 2 − 〈〈uv^2 , v^1 〉 1 , v 1 〉^

v 1

v 3 = u 3 −

〈u 3 , v 1 〉 〈v 1 , v 1 〉 v^1 −

〈u 3 , v 2 〉 〈v 2 , v 2 〉 v^2 .. . vn = un − 〈un, v^1 〉 〈v 1 , v 1 〉

v 1 − 〈un, v^2 〉 〈v 2 , v 2 〉

v 2 ... − 〈un, vn−^1 〉 〈vn− 1 , vn− 1 〉

vn− 1

entonces {v 1 , v 2 ,... , vn} es tambi´en una base de Rn, pero adem´as es ortogonal.

Proyecci´on ortogonal: C´alculo de u 2

Recordamos que u 2 es la proyecci´on de x sobre U ⊥. Ya conocido u 1 , para calcular u 2 se utiliza la siguiente expresi´on: u 2 = x − u 1.

Ejercicio

Sea S = {x 1 , x 2 }, con x 1 = (1, 2 , 3)t, x 2 = (0, 2 , 1)t, y u = (− 1 , 1 , 0)t. (^1) Probar que {x 1 , x 2 } es l.i. (^2) Hallar una base ortogonal para F = Gen(S). (^3) Hallar P royS u y P royS⊥ u.

Ejercicio

Sea S = {x 1 , x 2 }, con x 1 = (1, 2 , 3)t, x 2 = (0, 2 , 1)t, y u = (− 1 , 1 , 0)t. (^1) Probar que {x 1 , x 2 } es l.i. Est´an escalonados. (^2) Hallar una base ortogonal para F = Gen(S). v 1 = (1, 2 , 3) v 2 = (0, 2 , 1) −

〈(1, 2 , 3), (1, 2 , 3)〉 (1,^2 ,^ 3) =

2 ,^1 ,^

(^3) Hallar P royS u y P royS⊥ u. P royS u = 〈(〈−(1^1 , 2 ,^1 ,3),0),(1,(1, 2 ,^2 ,3),3)〉〉 (1, 2 , 3) + 〈(− 1 , 1 ,0),( − 21 , 1 , − 21 )〉 〈( − 21 , 1 , − 21 ),( − 21 , 1 , − 21 )〉

2 ,^1 ,^

− 1 2

7 ,^

8 7 ,^

− 2 7

P royS⊥ u = (− 1 , 1 , 0) −

, −^2

, −^1

y por supuesto: 〈( − 3 7 ,^

7 ,^

7 ,^

7 ,^