Sistemas de Ecuaciones Lineales
Jes´us Ill´an-Jaime D´ıaz
Dpto. Matem´atica Aplicada I
Septiembre-Octubre 2016
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Asignatura: álgebra, Profesor: , Carrera: Ingeniería Técnica Industrial Especialidad en Electricidad, Universidad: UVIGO
Tipo: Apuntes
2017/2018
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Sistemas de Ecuaciones Lineales
Jes´us Ill´an-Jaime D´ıaz
Dpto. Matem´atica Aplicada I
Septiembre-Octubre 2016
Ecuaci´on Lineal
Definici´on
Sean a 1 , ..., an, b ∈ R. Con estos coeficientes construimos una ecuaci´on
lineal:
a 1 x 1 + a 2 x 2 + · · · + anxn = b, (1)
donde xi, i = 1, ..., n son variables encadenadas entre s´ı por la condici´on
(1).
Podemos despejar una variable cualquiera si su coeficiente es 6 = 0, por
ejemplo, si a 1 6 = 0, podemos despejar x 1.
x 1 =
b − a 2 x 2 − a 3 x 3 − · · · − anxn
a 1
La ecuaci´on (1) tiene n − 1 grados de libertad porque pueden
seleccionarse valores, de manera arbitraria, para n − 1 variables.
Sistemas de ecuaciones lineales
Definici´on
Un sistema de ecuaciones lineales es una colecci´on de una o varias
ecuaciones lineales con variables comunes.
a 11 x 1 + · · · + a 1 nxn = b 1
· · · · · · · · ·
am 1 x 1 + · · · + amnxn = bm
Observaci´on
N´otese que en el sistema est´an presentes:
(^1) Coeficientes a ij
(^2) Inc´ognitas xi
(^3) T´erminos independientes b j
Definici´on
Si todos los bj = 0 se dice que es un sistema homog´eneo.
Sistemas de ecuaciones lineales. Representaci´on matricial
Definici´on
Ax = b
Matriz de coeficientes: A =
a 11 · · · a 1 n
· · · · · · · · ·
am 1 · · · amn
Vector de t´erminos independientes b =
b 1
. . .
bm
Vector de inc´ognitas x =
x 1
. . .
xn
Definici´on
Matriz ampliada (A|b)
Problema: A y b son datos. La inc´ognita es x.
S.E.L. Representaci´on matricial. Sistemas
Ejemplo
x − 10 y + z − 6 t = 7
−x + 2y + z + 5t = 1
y + t = 3
Matriz de coeficientes: A =
(^). Vector de t´erminos
independientes b =
(^). Vector de inc´ognitas x =
x
y
z
t
. Matriz
ampliada (A|b) =
Sistemas compatibles y determinados. Sistemas equivalentes
Definici´on
Llamaremos soluci´on del sistema a cada asignaci´on de valores de las
inc´ognitas {x 1 = k 1 , · · · , xn = kn} que sea soluci´on com´un a todas las
ecuaciones del sistema, es decir: que verifique todas las igualdades
simult´aneamente.
Definici´on
(^1) El conjunto soluci´on de un sistema lineal puede ser vac´ıo, es decir, no
hay soluci´on. En tal caso decimos que el sistema es incompatible.
(^2) Si el sistema lineal tiene soluci´on decimos que es compatible.
a) Si la soluci´on existe y es ´unica decimos que est´a determinado.
b) Si la soluci´on existe y NO es ´unica decimos que est´a indeterminado.
Definici´on
Si dos sistemas lineales tienen el mismo conjunto soluci´on decimos que son
equivalentes.
¿C´omo estudiar los sistemas de ecuaciones?
Dado Ax = b, escalonamos la matriz ampliada (A|b).
Ax = b es compatible ⇔ la columna b de (A|b) NO es pivote.
Si Ax = b es compatible:
Es determinado ⇔ la ´unica columna de (A|b) que no es pivote es b.
Si es indeterminado, estudiamos que variables son b´asicas (les
corresponde una columna pivote) y cu´ales son libres.
Observaci´on
Cualquier sistema homog´eneo Ax = 0 es compatible, ya que la columna de
la derecha de (A|0) siempre es nula y por tanto, nunca es pivote.
Ejemplo 1
Dado Ax = b, responded: ¿Es compatible? Si la respuesta anterior es
afirmativa: ¿Est´a determinado? ¿Cu´al es la soluci´on?
(A|b) =
Ejemplo 3
Dado Ax = b, responded: ¿Es compatible? Si la respuesta anterior es
afirmativa: ¿Est´a determinado? ¿Cu´al es la soluci´on?
(A|b) ∼
¿Qu´e indican las filas nulas?
Ejemplo 4
Dado Ax = b, responded: ¿Es compatible? Si la respuesta anterior es
afirmativa: ¿Est´a determinado? ¿Cu´al es la soluci´on?
(A|b) ∼
Ejemplo 6
Dado Ax = b, responded: ¿Es compatible? Si la respuesta anterior es
afirmativa: ¿Est´a determinado? ¿Cu´al es la soluci´on?
(A|b) ∼
Ejemplo 7
Dado Ax = b, responded: ¿Es compatible? Si la respuesta anterior es
afirmativa: ¿Est´a determinado? ¿Cu´al es la soluci´on?
(A|b) ∼
Ejemplo 9
Dado Ax = b, responded: ¿Es compatible? Si la respuesta anterior es
afirmativa: ¿Est´a determinado? ¿Cu´al es la soluci´on?
(A|b) ∼
¿M´as ecuaciones que inc´ognitas? Un sistema con estas caracter´ısticas
recibe el nombre de sistema sobredeterminado.