Tema 4 Álgebra, Apuntes de Álgebra

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Espacios Vectoriales.

Jaime D´ıaz Dpto. Matem´atica Aplicada I

Octubre 2015

Espacio vectorial

Sea V un conjunto no vac´ıo y

V × V −→+ V

(u, v) → u + v

y

R × V −→∙ V

(λ, v) −→ λv

una

operaci´on interna suma y una operaci´on externa producto por escalar Si se verifican las siguientes propiedades: (^1) u + v = v + u, ∀u, v ∈ V, (^2) (u + v) + w = u + (v + w), ∀u, v, w ∈ V, (^3) ∃θ ∈ V /u + θ = θ + u = u, ∀u ∈ V, (^4) ∀u ∈ V, ∃ − u ∈ V /u + (−u) = −u + u = θ, (^5) λ(u + v) = λu + λv, ∀u, v ∈ V, ∀λ, μ ∈ R, (^6) (λ + μ)u = λu + μu, ∀u ∈ V, ∀λ, μ ∈ R, (^7) λ(μu) = (λμ)u, ∀u ∈ V, ∀λ, μ ∈ R, (^8 1) u = u, ∀u ∈ V, se dice que (V, +, ∙) es un R-espacio vectorial.

El espacio vectorial Rn

Para todo u, v ∈ Rn^ y todo λ, μ ∈ R se verifican las siguientes propiedades: (^1) λ(u + v) = λu + λu (^2) (λ + μ)u = λu + μu (^3) λ(μu) = (λμ)u (^4 1) u = u, con 1 ∈ R

Por verificar estas 8 propiedades, (Rn, +, ∙) es un espacio vectorial sobre el cuerpo conmutativo R.

A los elementos de Rn^ se les llama vectores y a los de R, escalares.

Observaci´on

Por supuesto que existen espacios vectoriales distintos de Rn.

Subespacios vectoriales

Definici´on

Sea V un R-espacio vectorial y S ⊂ V, S 6 = ∅, se dice que S es un subespacio vectorial de V si se verifica que: (^1) x + y ∈ S, ∀x, y ∈ S. (^2) λx ∈ S, ∀x ∈ S, ∀λ ∈ R o, equivalentemente, λx + μy ∈ S, ∀x, y ∈ S, ∀λ, μ ∈ R

Ejemplo

El subconjunto {θ} es un subespacio vectorial de V , se llama subespacio nulo y suele denotarse {θ}. V tambi´en es un subespacio vectorial de V.

Ejemplo

El subconjunto de R^2 , S =

(x, y) ∈ R^2 / 2 x − 3 y = 0

es un subespacio vectorial de R^2. (¡Compru´ebelo!)

Dependencia e independencia lineal

Ejemplo

Dados los vectores de R^2 u=(-1,3) y v=(1,-1), el vector w=2u+3v es una combinaci´on lineal de u y v, obviamente w=(1,3).

Definici´on

Dado un conjunto de vectores A = {v 1 , ∙ ∙ ∙ , vp}, se dice que es linealmente dependiente (o que es un conjunto ligado) cuando alguno de ellos es combinaci´on lineal de los dem´as.

Ejemplo

A = {(1, 2 , 2), (0, 1 , 1), (1, 1 , 1)} es un conjunto linealmente dependiente ya que: (1, 1 , 1) = 1(1, 2 , 2) + (−1)(0, 1 , 1).

Definici´on

Se dice que un conjunto de vectores A es linealmente independiente o libre, cuando no es linealmente dependiente. Es decir, ning´un vector de A es combinaci´on lineal de los dem´as.

Teorema

Para un conjunto de vectores A = {v 1 , ∙ ∙ ∙ , vp}, son equivalentes:

i) El conjunto A es linealmente dependiente. ii) Se pueden encontrar n´umeros reales λ 1 , ∙ ∙ ∙ , λp, no todos nulos, tales que λ 1 v 1 + ∙ ∙ ∙ + λpvp = θ

Teorema

Para un conjunto de vectores A = {v 1 , ∙ ∙ ∙ , vp}, son equivalentes:

i) El conjunto A es linealmente independiente. ii) Siempre que unos n´umeros reales λ 1 , ∙ ∙ ∙ , λp, verifiquen la condici´on λ 1 v 1 + ∙ ∙ ∙ + λpvp = θ han de ser todos nulos.

Algunas proposiciones relacionadas con la independencia o

dependencia lineal de vectores

(^1) Si v 6 = θ entonces el sistema formado ´unicamente por el vector v, es decir, S = {v}, es un sistema l.i. (^2) Si S es l.i., entonces cualquier S′^ tal que S′^ ⊂ S, S′^6 = ∅, es tambi´en l.i. (^3) Si θ ∈ S entonces S es l.d. (^4) Si S es l.d., entonces cualquier S′^ ⊃ S, es tambi´en l.d.

Ejercicio

Compruebe lo afirmado en cada una de las proposiciones anteriores.

Bases

Definici´on

Sea S un subespacio vectorial de V , un conjunto B = {v 1 , ∙ ∙ ∙ , vp} de vectores de S se dice que es una base de S si se verifica que: i) El conjunto B es linealmente independiente. ii) B es un sistema de generadores de S.

Teorema

Si B = {v 1 , ∙ ∙ ∙ , vp} es una base de S, entonces todo vector v ∈ S se puede expresar de modo ´unico como combinaci´on lineal de v 1 , ∙ ∙ ∙ , vp. A los coeficientes de dicha combinaci´on lineal se les llama coordenadas de v respecto de la base B. ¿C´omo pueden calcularse?

Teorema (de la base)

Todo espacio vectorial, no nulo, tiene al menos una base.

Bases y dimensi´on

Teorema

Si un espacio vectorial tiene una base formada por una cantidad finita de vectores, todas sus bases tienen esa misma cantidad de vectores.

Definici´on

Se llama dimensi´on de un espacio vectorial al n´umero de vectores que forman sus bases. Se nota dim(V ).

Teorema

Si W es un subespacio vectorial de un espacio V se verifica que dim(W ) ≤ dim(V ).

Teorema

La dimensi´on del subespacio nulo es cero, es decir, dim({θ}) = 0.

Observaci´on

Como resultado de los teoremas anteriores se obtiene: (^1) De cualquier sistema de generadores puede obtenerse una base, eliminando ciertos vectores del sistema. (^2) Cualquier conjunto de vectores linealmente independientes puede extenderse hasta formar una base, a˜nadiendo ciertos vectores del espacio vectorial. (^3) Si suponemos que dim(V ) = n, entonces: i) Si u 1 , ∙ ∙ ∙ , ur son linealmente independientes, entonces r ≤ n. ii) Si {u 1 , ∙ ∙ ∙ , ur } es un sistema de generadores de V , entonces n ≤ r. iii) Si u 1 , ∙ ∙ ∙ , ur son linealmente independientes y r = n, entonces forman una base de V. iv) Si A = {u 1 , ∙ ∙ ∙ , ur } es un sistema de generadores de V y r = n, entonces A es una base de V.

Definici´on

Se llama rango de un conjunto de vectores al n´umero de vectores linealmente independientes que contiene. Por tanto, el rango de un conjunto de vectores coincide con la dimensi´on del subespacio que generan.

Observaci´on

En Rn^ estudiar si un conjunto de vectores S es linealmente independiente se reduce a calcular el rango de la matriz A que tiene como filas los vectores de S.

Si s´olo se realizan operaciones elementales por filas en A para determinar una matriz escalonada A 0 y obtener el rango de S, entonces el subespacio generado por S coincide con el subespacio generado por las filas no nulas de A 0.

Subespacios asociados a matrices. N ul A

Proposici´on

Sea A ∈ Mm×n. Si F es el conjunto definido por

F = {x ∈ Rn/ Ax = θ},

entonces F es un subespacio de Rn. Dicho de otro modo, el conjunto soluci´on de un sistema lineal homog´eneo Ax = θ, es un subespacio vectorial de Rn, donde n es el n´umero de columnas de A.

Definici´on

Sea A ∈ Mm×n. El espacio nulo de A, o simplemente Nul de A, est´a dado por N ul A = {x ∈ Rn/ Ax = θ}

Base y dimensi´on de N ul A, Col A y F il A

(^1) dim(Col A) = n´umero de columnas pivote de A. (^2) dim(F il A) = n´umero de filas no nulas de cualquier matriz escalonada equivalente por filas a A. (^3) dim(N ul A) = n´umero de columnas de A que no son pivote.

(^1) Una base de Col A est´a formada por las columnas pivote de A. (^2) Una base de F il A est´a formada por las filas no nulas de cualquier matriz escalonada equivalente por filas a A. (^3) Una base de N ul A se obtiene resolviendo el sistema lineal homog´eneo Ax = θ, y d´andole valores convenientes a las variables libres.

Teorema del rango y consecuencias

Teorema

Sea A ∈ Mm×n, las dimensiones del espacio columnas y del espacio filas de A coinciden. Esta dimensi´on com´un, tambi´en es igual al n´umero de posiciones pivote incluidas en A (el rango de A) y satisfacen la ecuaci´on

rg(A) + dim(N ulA) = n

Sea A ∈ Mn×n, los siguientes enunciados son equivalentes: (^1) A es invertible (^2) Las columnas de A forman una base de Rn (^3) ColA = Rn (^4) dim(ColA) = n (^5) rg(A) = n (^6) N ulA = {θ} (^7) dim(N ulA) = 0