Libro Agustin Calculo primitivas, Diapositivas de Cálculo

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Ejercicios resueltos de

C ´

ALCULO

Agust´

ın Valverde Ramos

***** BORRADOR *****

Editado electr´

onicamente por Agust´

ın Valverde

c

Agust´

ın Valverde Ramos

Dpto. de Matem´

atica Aplicada

Escuela T´

ecnica Superior de Ingenier´

ıa Inform´

atica

Universidad de M´

alaga

29071 M´Bvd. Louis Pasteur, s/n (Campus de Teatinos)

alaga

1. Indice general´

El cuerpo de los n´

umeros complejos

Sucesiones y series num´

ericas

Sucesiones y series funcionales

El espacio m´

etrico

R

n .

Curvas parametrizadas

C´

alculo en varias variables

iv

Optimizaci´

on no-lineal

Integraci´

on

Ecuaciones diferenciales ordinarias

v

El cuerpo de los n´

umeros complejos

Problema 1

Hallar el m´

odulo y el argumento de cada uno de los siguientes n´

umeros:

i ;

i ) −

1 ;

i ) 5 ;

7

i ;

i |

Recordemos que el recorrido considerado para la funci´

on arc tg es (

π/

, π/

2); adem´

as, esta funci´

on es

impar y verifica la siguiente igualdad:

arc tg

x

• arc tg

x 1

2 π

i |

=

2

• 4

2

= 5

arg(3 + 4

i ) = arc tg

4 / 3

Utilizamos el apartado anterior:

i ) −

1 | =

i | −

1

=

1 / 5

arg((3 + 4

i ) −

1 ) =

arg(3 + 4

i ) =

arc tg

4 / 3

Resolvemos este apartado de una forma alternativa utilizando la notaci´

on de Euler y la f´

ormula de

Moivre

i ) 5

i ))

5

= (

2(cos

4 π

i sen

4 π

))

5

= 4

2(cos

π

i sen

π

Por tanto,

i ) 5 |

= 4

2 y arg(1 +

i ) 5

=

5 (^4) π

Ejercicios resueltos de C´

alculo.

c

©

Agust´

ın Valverde

El cuerpo de los n´

umeros complejos

Dado que

i |

= 5,

7

i |

=

7

5. Por otra parte, un n´

umero complejo tiene

n

ra´

ıces

n

−

´esimas

distintas cuyos m´

odulos coinciden; si

α

= arc tg

34

es el argumento de 3 + 4

i , entonces los argumentos

de las 7 ra´

ıces septimas son

71 (^) α

72 (^) πk

para

k

Dado que

i | = 5 es un n´

umero real positivo, coincide con su valor absoluto y su argumento es 0.

Ejercicios resueltos de C´

alculo.

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Agust´

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El cuerpo de los n´

umeros complejos

Problema 3

En cada caso, hallar todos los valores de

x

e

y

que satisfacen la relaci´

on dada:

x

iy

xe

iy

;^

x

iy

ye

ix

;

e x

iy

i

i

xe

iy

x

iy

xe

iy

:^

Si

x

= 0, entonces

y

= 0; si

x

= 0, y dado que

xe

iy

x

cos

y

ix

sen

y , debe ocurrir que cos

y

= 1 y,

en tal caso, sen

y

= 0 e

y

x

sen

y

= 0. Por tanto, las soluciones son todos los complejos con parte

imaginaria nula.

x

iy

ye

ix

: Si

y

= 0, entonces

x

= 0; si

y

= 0, y dado que

ye

ix

y

cos

x

iy

sen

x

, debe ocurrir

que sen

x

= 1 y en tal caso cos

x

= 0 y

x

y

cos

x

= 0; finalmente, dado que la igualdad

y

iy

no es

posible para ning´

un

y

= 0, deducimos que la ´

unica soluci´

on es (

Dado que

e iπ

, las soluciones de la ecuaci´

on

e x

iy

1 son:

x

= 0 e

y

π

kπ

Dado que

i

1 − i = i = e

iπ/

2 , las soluciones de la ecuaci´

on

i

i

xe

iy

son:

x

= 1 e

y

2 π

kπ

Ejercicios resueltos de C´

alculo.

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El cuerpo de los n´

umeros complejos

Problema 4

Resolver las ecuaciones siguientes:

x 2

ix

x 4

x

2

• 1 = 0

x 3 − x 2 − x −

ix

i ) y

i ) x

iy

x 2

ix

x

− i ± √ − 1 −

Por tanto, las dos soluciones de la ecuaci´

on son

x

1

=

21 ( √

i y x 2 = −

21 (^) ( √

i .

Esta es una ecuaci´

on

bicuadrada

x 4

x 2

• 1 = 0

x

2

=

i √

Por tanto, las dos soluciones de la ecuaci´

on en

x

2

son:

y 1

=

i √

3. = cos

π

i sen

π

y 2

=

i √

3. = cos

π

i sen

π

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El cuerpo de los n´

umeros complejos

Problema 5

Hallar todas las ra´

ıces cuartas de

i

en la forma “

a

bi

” sin hacer intervenir ninguna funci´

on

trigonom´

etrica.

Las cuatro ra´

ıces cuartas de

i

son:

z k

= exp

π

2 · 4 + 2 π

k

)

,

k

z 1

= cos

8 π

i sen

8 π ;

z 2

= cos

5 (^8) π

i sen

5 π 8

;

z 3

= cos

9 π 8

i sen

9 (^8) π

;

z 4

= cos

13

π

8

i sen

13

π

8

Las siguientes igualdades permiten el c´

alculo exacto de estas ra´

ıces:

cos

8 π

= cos

21

4 π

21

( 1 + cos

4 π )

2+

√

2

2

sen

8 π

= sen

21

4 π

21

( 1

−

cos

4 π )

2 −

√

2

2

Por tanto, las ra´

ıces son:

z 1

= cos

8 π

i sen

8 π

2+

√

2

2

i √

2 −

√

2

2

z 2

= cos

5 π 8

i sen

5 π 8

2+

√

2

2

i √

2 − √

2

2

z 3

= cos

9 π 8

i sen

9 π 8

2+

√

2

2

i √

2 −

√

2

2

z 4

= cos

13

π

8

i sen

13

π

8

2+

√

2

2

i √

2 −

√

2

2

z 1

z

2

i

Re

Im

z 3 z 4 π 8

Ejercicios resueltos de C´

alculo.

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El cuerpo de los n´

umeros complejos

Problema 6

Expresar los n´

umeros complejos siguientes en la forma “

a

bi

i ) 2 ;

/i

i ) ;

i )(

i ) ;

i ) / (

i ) ;

i 5

i 16

21 (1 +

i )(1 +

i − 8 )

i ) 2

= 1 + 2

i −

i .

i^1

i i 2

i .

i

i

i .

i )(

i ) = 6

i 2

i

= 18 +

i .

i

i

i )(1 + 2

i ) =

51 (^) ( −

i ).

i 5

i 16

2 i

• (

8

=

i

i )(1 +

i −

8 ) =

i )(1 + 1) = 1 +

i .

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El cuerpo de los n´

umeros complejos

Problema 8

Representar el conjunto de todos los complejos

z

que satisfacen cada una de las condiciones

siguientes:

z

• 3

z

z

−

z

i | ≤ |

z

i | ;

z | ≤ |

z

Las representaci´

on de los lugares geom´

etricos determinados por las inecuaciones es la siguiente:

Im

Re

Im

Im

Re

Re

3/

2/

1/

1

| 2 z

• 3

| <

1

| z

• 1

| <

| z

−

1 |

| z | ≥ |

2 z

−

1 |

Im

Re

| z

i | ≥ |

z

−

i |

z

• 3

z

23 ∣ ∣

<

21 (^) : interior de la circunferencia de radio

1 / 2

y centro en (

(^3) / 2 , 0).

Recordemos que los n´

umeros complejos que verifican

z |

=

r

son los situados en la circunferencia de

radio

r

centrada en el origen; los que verifican

z |

< r

corresponden al interior de esta circunferencia.

En general, los n´

umeros

z

que verifican

z

z 0 |

=

r

son los situados en la circunferencia de radio

r

y

centro en

z 0 .

Ejercicios resueltos de C´

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El cuerpo de los n´

umeros complejos

Considerando

z

x

iy

| , tenemos z

z

x

2 + y 2 < (

x

2

y 2

x

2

• 2

x

< x

2

−

x

x <

x <

Considerando

z

x

iy

, tenemos | z

i | ≥ |

z

i | ⇐⇒

x

2

• (

y

−

2

≥

x

2

• (

y

2

y 2

• 2

y

≥ y 2 − 2 y

y

y

Considerando

z

x

yi

, tenemos:

z | ≥ |

z

x 2 + y 2 ≥

x

2

• 4

y 2

y 2 + ( x −

2

Es decir, la soluci´

on es el interior de la circunferencia de radio

1 / 3

y centro en (

2 / 3 ,

Ejercicios resueltos de C´

alculo.

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El cuerpo de los n´

umeros complejos

Para evaluar la funci´

on tgh dividimos las expresiones anteriores y simplificamos simplificamos el re-

sultado:

tgh(

x

iy

senh(

x

iy

cosh(

x

iy

senh

x

cos

y

i cosh

x

sen

y

cosh

x

cos

y

i senh

x

sen

y

(senh

x

cos

y

i cosh

x

sen

y )(cosh

x

cos

y

i senh

x

sen

y )

(cosh

x

cos

y

i senh

x

sen

y )(cosh

x

cos

y

i senh

x

sen

y )

senh

x

cosh

x

cos

2

y

• senh

x

cosh

x

sen

2

y

i (cosh

2

x

sen

y

cos

y

senh

2

x

sen

y

cos

y )

cosh

2

x

cos

2

y

• senh

2

x

sen

2

y

senh

x

cosh

x

i sen

y

cos

y

cosh

2 x

cos

2 y

• senh

2

x

sen

2

y

21

senh 2

x

i 21

sen 2

y

cosh

2 x

cos

2 y

• senh

2

x

sen

2

y

• cosh

2

x

sen

2 y

cosh

2

x

sen

2

y

senh 2

x

i sen 2

y

2(cosh

2

x

sen

2

y )

tgh(2 +

i 4 π

) =

senh 4 +

i sen

2 π

2(cosh

2

2

−

sen

2

4 π )

senh 4 +

i

2(cosh

2

2

−

21 (^) )

senh 4 +

i

2 cosh

2 2

senh 4 +

i

cosh 4

= tgh 4 +

i

cosh 4

′ 999329 +

i 0 ′ 036619

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El cuerpo de los n´

umeros complejos

Problema 10

Resolver la ecuaci´

on

sen

z

Empezamos utilizando la definici´

on de la funci´

on seno

2 = sen

z

i ( e iz

e −

iz

) =^

e 2 iz

e iz

i

De aqui obtenemos:

e 2 iz

e iz

i^

. Esta es una ecuaci´

on de segundo grado en

e iz

y sus soluciones son

e iz

i

±

i (

Entonces, las soluciones de la ecuaci´

on propuesta verifican:

z

i^1

log

i (

i log

i (

i (log

i

• log(

i ( i ( (^) π 2

nπ

) + log(

2 π

nπ

i log(

Es decir, para cada

n

Z

tenemos dos soluciones:

z 1 n

2 π

nπ

i log(2 +

z 2 n

2 π

nπ

i log(

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