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Cap´ıtulo 3: La derivada
´Indice
1 La derivada como velocidad 1
2 Reglas de derivaci´on (incluida la regla de la cadena) 2
3 La derivada como la pendiente de la gr´afica de la funci´on 3
4 Curvas de nivel. Funciones definidas en forma impl´ıcita. Derivada de una funci´on definida de forma impl´ıcita 5
5 Soluci´on aproximada de ecuaciones (m´etodos num´ericos). 8
6 Desarrollo en serie de Taylor. 10 6.1 Ejercicios...................................... 11
Dada una funci´on f : R −→ R, la noci´on de derivada de f en un punto t tiene dos modos b´asicos de ser entendida. La primera corresponde a una visi´on anal´ıtica, y corresponde a entender la derivada como “velocidad”. La segunda corresponde a una visi´on m´as geom´etrica y corresponde a la visi´on de la derivada como pendiente de la recta tangente a la gr´afica de la funci´on, o, lo que es lo mismo, a la visi´on de la derivada como aproximaci´on de f (funci´on, en general, no lineal, cuya gr´afica es una curva no recta) por una funci´on lineal (cuya gr´afica es una recta). Este ´ultimo modo de ver est´a tambi´en relacionado, como veremos, con el desarrollo en serie de Taylor.
1 La derivada como velocidad
Comenzaremos con la definici´on de derivada como una velocidad. En F´ısica se considera, con frecuencia, algo que se mueve recorriendo un espacio e en un tiempo t, a cada instante de tiempo t corresponde un espacio recorrido e, lo que define e como una funci´on de t, e = f (t). El primer concepto de velocidad aparece como el cociente del espacio por el tiempo, es la llamada velocidad media =
espacio tiempo
de modo que, si consideramos la velocidad media del trayecto entre los tiempos t 1 y t 2 > t 1 , esta ser´a velocidad media (entre t 1 y t 2 ) = f (t 2 ) − f (t 1 ) t 2 − t 1
Cuando la gr´afica de la funci´on f que describe el movimiento es una recta (f es una funci´on lineal f (t) = m t + b, vimos que el cociente anterior era independiente de los tiempos t 1 y t 2 elegidos, y coincid´ıa con la pendiente m de la gr´afica de f , de modo que la velocidad media es la ´unica que es necesario definir. Si ahora pretendemos hablar de velocidad instant´anea en un instante t 0 , para funciones m´as generales que las lineales, es l´ogico considerar esta velocidad como el l´ımite (si existe) de velocidades medias entre instantes t 0 y t 0 + ∆t muy pr´oximos a t 0 , esta proximidad cada vez mayor de t 0 + ∆t a t 0 se expresa haciendo tender ∆t a 0. De modo que
velocidad instant´anea (en t 0 ) = lim ∆t→ 0
f (t 0 + ∆t) − f (t 0 ) ∆t
y esta es precisamente la definici´on que daremos de derivada de una funci´on. Con precisi´on: Dada una funci´on f : R −→ R, se define la derivada de f en t 0 como el siguiente l´ımite (si existe):
f ′(t 0 ) = lim ∆t→ 0
f (t 0 + ∆t) − f (t 0 ) ∆t
Esta derivada la denotaremos, indistintamente, por
f ′(t 0 ) o por df dt
(t 0 ).
Si el l´ımite anterior (la derivada de f en t 0 ) existe, se dice que la funci´on f es derivable en t 0 , y, si no existe, se dice que no es derivable.
De las definiciones de derivada y de continuidad se deduce que Una funci´on derivable en t 0 es cont´ınua en t 0.
2 Reglas de derivaci´on (incluida la regla de la cadena)
Todas las funciones elementales que estudiamos antes son derivables en todos los puntos en que est´an definidas, y sus derivadas son, como se puede deducir aplicando la definici´on (1), las siguientes: i) c′^ = 0, donde indicamos por c la funci´on constante f (t) = c ∈ R, ii) (ta)′^ = ata−^1 para cualquier a ∈ R, en particular, (
t)′^ = 1/(
t) iii) (et)′^ = et, iii’) (at)′^ = at^ ln a iv) (ln t)′^ =
t
, iv’ (loga t)′^ =
ln a
t
v) (sen t)′^ = cos t, vi) (cos t)′^ = − sen t, vi’) (tg t)′^ =
cos^2 (t) , vi”) (cot t)′^ = −
sen^2 (t)
vii) (sh t)′^ = ch t, viii) (ch t)′^ = sh t. viii’) (th t)′^ =
ch^2 (t)
, viii”) (coth t)′^ = −
sh^2 (t)
Y, adem´as, si f y g son funciones derivables, se verifica que: ix) (f + g)′(t) = f ′(t) + g′(t), x) (f g)′(t) = f (t)g′(t) + f ′(t)g(t), de donde se deduce que
Esto es algo que ya vimos al estudiar la ecuaci´on de una recta y que, ahora, simplemente acabamos de recordar. Vimos que para una recta de ecuaci´on y = m x + n su pendiente es m. Si ahora queremos definir la pendiente de una funci´on f (de la gr´afica de una funci´on f ) vemos en la figura adjunta que no es posible definirla como en el caso de una recta, pues la pendiente en un punto (x, y = f (x)) depende del valor de ∆x, pues se observa que, para esta funci´on de la figura adjunta, ∆y/∆x 6 = δy/δx. La soluci´on, para tener una pendiente bien definida, es tomar el l´ımite de ese cociente cuando ∆x → 0, es decir:
Pendiente (de f en x) = lim ∆x→ 0
∆y ∆x = lim ∆x→ 0
f (x + ∆x) − f (x) ∆x , y es f´acil reconocer en la
´ultima expresi´on la derivada de f en x, f ′(x).
Por otro lado, la recta tangente a la funci´on f en el punto x se define como el l´ımite de la rectas que pasan por (x, f (x)) y (x + ∆x, f (x + ∆x)) cuando ∆x → 0. Vamos a calcular la ecuaci´on de esta recta. Comenzamos considerando la recta que pasa por (x, f (x)) y (x + ∆x, f (x + ∆x)). Si (x, y), son las coordenadas de un punto gen´erico de la recta, su ecuaci´on
es x − x ∆x
y − f (x) f (x + ∆x) − f (x)
, de donde se obtiene y − f (x) = f (x + ∆x) − f (x) ∆x
(x − x),
que podemos poner en la forma est´andar y = mx + n as´ı: y = f (x + ∆x) − f (x) ∆x
x + f (x) − f (x + ∆x) − f (x) ∆x
x. Para obtener la ecuaci´on de la recta tangente, tomamos l´ımites cuando ∆x → 0, y obtenemos y = f ′(x) x +
f (x) − f ′(x) x
ecuaci´on que muestra que f ′(x) es la pendiente de la recta tangente a f (a la gr´afica de f ) en x. Obs´ervese, adem´as, que la recta tangente (2) a la gr´afica de la funci´on f en el punto x es la gr´afica de la funci´on af´ın
y :R −→ R x 7 → y(x) = f ′(x) x + b,
con b = (f (x) − f ′(x) x, que es la funci´on af´ın - de entre las que toman el mismo valor que f en el punto x (y(x) = f (x))- que m´as se aproxima a la funci´on f para valores de x pr´oximos a x, y que tiene por aplicaci´on lineal asociada f ′(x). Con otras palabras: la derivada de una funci´on en un punto es la aplicaci´on lineal asociada a la aplicaci´on af´ın que mejor aproxima la funci´on f en las proximidades de x, es decir a la aproximaci´on af´ın de f en x, que, por abuso de lenguaje, se llama aproximaci´on lineal de f en x. Veamos dos ejemplos de rectas tangentes:
- Recta tangente a la gr´afica de la funci´on y = 4 + sen x en x = π/4. Como la pendiente de esa recta es y′(π/4) = cos π/4 =
2 /2, la ecuaci´on de la recta tangente ser´a de la forma y =
2 / 2 x + n, y esta recta pasa por el punto (π/ 4 , y(π/4)) = (π/ 4 , 4 +
2 /2), luego n = y −
2 / 2 x = (4 +
2 /2)(π/4) = (
2 + 4 − π)/ 4
2 , y la ecuaci´on de la recta tangente que busc´abamos es
y =
x +
2 + 4 − π 4
- Recta tangente a la gr´afica de la funci´on y = 1 + x^2 en x = 0. Calculando como antes, tenemos m = y′(0) = 2x = —en x = 0— = 0, e y(0) = 1, de donde n = y − m x = 1 − 0 = 1, y la ecuaci´on de la recta tangente es y = 1. Si nos interesa la ecuaci´on de la recta normal a la gr´afica de la funci´on f (x) en un punto x, tenemos en cuenta que si m = tg θ es la pendiente de la recta tangente, la pendiente de la normal ser´a tg(θ + π/2) = − cot θ = − 1 /m. El lector puede, como ejercicio, calcular la recta normal a las gr´aficas de las funciones anteriores en los puntos en los que hemos calculado su recta tangente.
4 Curvas de nivel. Funciones definidas en forma impl´ıcita.
Derivada de una funci´on definida de forma impl´ıcita
Un caso especialmente importante de antiimagen de un punto por una funci´on es el de las curvas, superficies o hipersuperficies de nivel.
Si f (x, y) = x − y, las curvas de nivel de f son, para cada c ∈ R, el conjunto de puntos de R^2 que verifican x − y = c, es decir, las rectas y = x − c (ver figura de abajo a la derecha).
La regla de la cadena (estudiada como regla (xiii) de derivaci´on en estos apuntes) sirve tambi´en para calcular la derivada de una funci´on definida de forma impl´ıcita. Como acabamos de indicar, una funci´on y(x) puede definirse impl´ıcitamente como aquella que es soluci´on de una ecuaci´on de la forma f (x, y) = 0, siendo f una funci´on de dos variables (es decir, f : R^2 −→ R), as´ı, por ejemplo, f (x, y) = sen(xy) − x define una funci´on y(x) = (1/x) arsen x. Podemos calcular su derivada derivando la funci´on (1/x) arsen x respecto de x, o, tambi´en, usando la regla de la cadena del siguiente modo: Si y(x) es soluci´on de f (x, y) = 0, se tiene que f (y(x), x) = 0, luego
d(f (y(x), x) x
y, de aqu´ı. se despeja y′(x), lo que resulta m´as simple, en muchos casos, que obtener la expresi´on de la funci´on y(x) y derivar. La regla de la cadena se usa para el c´alculo de
d(f (y(x), x) x
Ve´amoslo en el ejemplo anterior. Si sen(xy) − x = 0, derivando aplicando la regla de la cadena al primer sumando:
cos(xy)(y + xy′) − 1 = 0, de donde y′^ =
x
cos(xy) − y
Otro ejemplo: Calcular la derivada de la funci´on y(x) que verifica la ecuaci´on y^5 + xy + x^2 = 3. Derivando aplicando la regla de la cadena,
5 y^4 y′^ + y + xy′^ + 2x = 0 de donde y′^ = − 2 x − y 5 y^4 + x
5 Soluci´on aproximada de ecuaciones (m´etodos num´ericos).
Vamos a ver dos m´etodos iterativos de encontrar soluciones aproximadas de ecuaciones de la forma f (x) = 0 (3)
y de estimar el error cuando f admite hasta la segunda derivada cont´ınua. La primera observaci´on que hay que hacer es que la ecuaci´on (3) puede no tener ninguna soluci´on, o tener infinitas. Los m´etodos que vamos a ver dan buen resultado cuando buscamos soluciones de (3) para x variando en un intervalo en el que f es mon´otona (es decir, creciente o decreciente) y que toma valores de signo opuesto en los extremos del intervalo. En este caso se puede asegurar (el lector puede convencerse f´acilmente dibujando una funci´on arbitraria que cumpla estas condiciones) que existe una soluci´on ´unica de (3), y los m´etodos que vamos a ver permiten encontrarla con tanta precisi´on como se quiera. Supongamos, por tanto, que f : [a, b] −→ R es una funci´on que admite segunda derivada en todo punto y tal que f (a) f (b) < 0. M´etodo de regula falsi. Tomamos la funci´on L 0 (x) = mx + n cuya gr´afica es el segmento de recta que une (a, f (a)) con (b, f (b)), por lo tanto, cuyos coeficientes m y n satisfacen el sistema de ecuaciones
f (b) = mb + n f (a) = ma + n
que, resolvi´endolas, dan lugar a la siguiente expresi´on de L 0 (x):
L 0 (x) = f (b) − f (a) b − a
x + bf (a) − af (b) b − a
y la soluci´on de L 0 (x) = 0, que es
x 0 = af (b) − bf (a) f (b) − f (a)
es una primera aproximaci´on a la soluci´on ζ de la ecuaci´on (3). El error que se comete al tomar x 0 como soluci´on, es decir, el valor del m´odulo de la diferencia |x 0 −ζ|, se puede acotar por arriba y la cota que se obtiene es
|x 0 − ζ| ≤
M
2 m
|x 0 − a||x 0 − b|,
siendo M = sup{|f ′′(x)|; x ∈]a, b[} y m = inf{|f ′(x)|; x ∈]a, b[}. Una vez obtenida esta primera aproximaci´on, se consideran los intervalos los valores f (a), f (x 0 ) y f (b). Si f (a) y f (x 0 ) tienen signo opuesto, se repite el proceso anterior en el intervalo [a, x 0 ] para obtener una nueva aproximaci´on x 1. Si f (a) y f (x 0 ) tienen el mismo signo, entonces f (x 0 ) y f (b) tienen signo opuesto, y se repite el proceso anterior en el intervalo [x 0 , b] para obtener una nueva aproximaci´on x 1 (este es el caso en el ejemplo gr´afico que se muestra en la figura adjunta). As´ı se sigue hasta que se obtenga una cota superior del error del orden que interese.
Como ejemplo, vamos a calcular una soluci´on aproximada de la ecuaci´on x^2 = 5 usando el m´√ etodo de Newton (que es lo mismo que encontrar un valor decimal aproximado para 5). Nuestra funci´on es f (x) = x^2 − 5. Su derivada es f ′(x) = 2x. Comenzamos tomando a = 2. Entonces
x 0 = 2 − f ′(2) f (2)
x 1 = 2′ 25 −
f ′(2′25) f (2′25)
(2′25)^2 − 5
En el intervalo [1′ 5 , 2 ′5] se verifica que |f ′(x)| = 2|x| ≥ 2(1′5)^2 , f (2) = − 1 ≤ 0 ′ 5 2 2(
′5) (^2) y
|f ′(x) − f ′(y)| = 2|x − y| ≤ 2 ≤ (1′5)^2 , luego el error cometido al tomar el punto x 0 es menor que 0′5 y el error cometido al tomar el punto x 1 es menor que 0, 25. En realidad el error es mucho menor, como se puede comprobar mirando la expresi´on de
5 en una calculadora.
6 Desarrollo en serie de Taylor.
El desarrollo de Taylor permite aproximar una funci´on derivable por un polinomio, con una aproximaci´on mayor cuanto mayor se el grado del polinomio. La propiedad que permite esta aproximaci´on es la siguiente: Sea f una funci´on derivable hasta el orden n + 1 en un intervalo ]a − ε, a + ε[. Para todo x en ese intervalo se verifica que
f (x) = f (a) + f ′(a)(x − a) +
f ′′(a)(x − a)^2 +
f ′′′(a)(x − a)^3 + ...
... +
n!
f (n)(a)(x − a)n^ +
(n + 1)!
f (n+1)(c)(x − a)n+1, (6)
donde c ∈ [a, x] si a < x y c ∈ [x, a] si x < a. La f´ormula (6) se llama f´ormula de Taylor, el polinomio
Pn(f, a) = f (a) + f ′(a)(x − a) +
f ′′(a)(x − a)^2 +
f ′′′(a)(x − a)^3 + ... +
n!
f (n)(a)
se llama polinomio de Taylor de orden n o desarrollo de Taylor hasta el orden n de la funci´on f en a o alrededor de a. El ´ultimo sumando
Rn(x) =
(n + 1)!
f (n+1)(c)(x − a)n+
mide el error que se comete cuando se aproxima la funci´on f (x) por Pn(f, a)(x). Obs´ervese que, para todo n´umero natural p ≤ n, como c est´a entre a y x,
xlim→a
f (x) − Pn(f, a)(x) (x − a)p^ = lim x→a
Rn(x) (x − a)p^ = lim x→a
f (n+1)(c) (n + 1)!
(x − a)n+ (x − a)p^
por lo que se dice que Rn es un t´ermino de orden superior a n. Un t´ermino de orden superior a n (en a), o infinit´esimo de orden n en a, es una funci´on O(n) que verifica
lim x→a
O(n)(x) (x − a)p^
= 0 para todo p ≤ n,
por eso se escribe el desarrollo de Taylor a menudo en la forma
f (x) = f (a)+f ′(a)(x−a)+
f ′′(a)(x−a)^2 +
f ′′′(a)(x−a)^3 +...+
n!
f (n)(a)(x−a)n^ +O(n).
Veamos algunos ejemplos: Desarrollo de Taylor de ex^ alrededor de x = 0:
ex^ = 1 + x +
x^2 +
x^3 + ... +
n!
xn^ + O(n),
y es de aqu´ı de donde se deduce que
e = 1 +
∑^ ∞
n=
n!
Una vez que tenemos el desarrollo de Taylor de ex, nos podemos preguntar: ¿hasta qu´e orden del desarrollo de Taylor hemos de tomar para calcular ex^ con un error menor que 0′ 01 cuando x ∈ [0, 0 ′1]?. Para responderla usaremos (6), que nos dice que el error que se comete al tomar el desarrollo hasta el orden n viene dado por Rn. La pregunta anterior se traduce, por lo tanto, en: ¿cual es el valor m´ınimo de n para que |Rn(x)| < 0 ′01 cuando x ∈ [0, 0 ′1]?. Para f (x) = ex,
|Rn(x)| =
(n + 1)! ec|xn+1| ≤
(n + 1)! e^0 ′ 1 (0′1)n+1^ <
(n + 1)! 2(0′1)n+
que es = 0′01 si n = 1, luego basta con tomar n = 1, es decir, en el intervalo [0, 0 ′1], ex^ ∼ 1+x con un error menor de una cent´esima. Desarrollo de Taylor de sen x en x = 0:
sen x = x −
x^3 +
x^5 −
x^7 +
x^9 + ... + (−1)m−^1
(2m − 1)! x^2 m−^1 + O(2m − 1).
¿Hasta qu´e orden 2m−1 del desarrollo de Taylor de sen x hemos de tomar para calcular sen x con un error menor que 0′01 cuando x ∈ [− 1 , 1]?. Argumentando como antes, buscamos un m que verifique
|R 2 m− 1 (x)| =
(2m)!
| sen c||x^2 m| ≤
(2m)!
que es menor que 0′01 cuando (2m)! > 100, lo que ocurre a partir de 2m ≥ 5, es decir, para 2 m − 1 ≥ 4, es decir, para el desarrollo de Taylor de orden 2m − 1 = 5.
6.1 Ejercicios
- Calcular la derivada de la funci´on y(x) que verifica la ecuaci´on sen(y^5 )+ln(xy)+x^2 = 3
- Calcular la derivada de la funci´on y(x) que verifica la ecuaci´on (sen y)^5 +ln(x)y+x^2 −y = 0
- Escribe el desarrollo de Taylor alrededor de x = 2/3, hasta el t´ermino de orden 4, de la funci´on y = cos 3x − 2.
- Escribe el desarrollo de Taylor alrededor de x = π/2, hasta el t´ermino de orden 4, de la funci´on y = ln(sen(x)).
