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Problemas de Geometr´ıa Diferencial Cl´asica, Grupo “B”
1.- a) Sean p = (p 1 , p 2 ) y q = (q 1 , q 2 ) dos puntos distintos de IR^2. Encontrar la expresi´on de una curva parametrizada, α, cuya traza sea la recta que pasa por p y por q. Para cada valor t 0 del par´ametro, calcular la expresi´on de la recta tangente a α en t 0. b) Sea P(a) la par´abola de ecuaci´on y = ax^2 , esto es, P(a) = {(x, y) ∈ IR^2 ; y = ax^2 }. Encontrar la expresi´on de una curva parametrizada α cuya traza sea P(a). Para cada valor t 0 del par´ametro, calcular la expresi´on de la recta tangente a α en t 0. Dibujar las par´abolas para los valores de a ∈ {− 2 , − 1 , − 12 , 0 , 12 , 1 , 2 }. En la par´abola con a = 1, dibujar las rectas tangentes en t 0 = 1, t 0 = 2.
2.- Sea E(a,b) la elipse de semiejes a y b, esto es, E(a,b) = {(x, y) ∈ IR^2 ; x
2 a^2 +^
y^2 b^2 = 1}. a) Demostrar que α(t) = (a cos t, b sen t) es una curva parametrizada cuya traza es la elipse E(a,b) y encontrar la condici´on necesaria y suficiente para que los n´umeros reales t 0 , t 1 verifiquen α(t 0 ) = α(t 1 ). b) Para cada t 0 ∈ IR calcular la recta rt 0 ≡ {α(t 0 ) + λα′(t 0 ); λ ∈ IR}. Demostrar que si α(t 0 ) = α(t 1 ) entonces α′(t 0 ) = α′(t 1 ), y por tanto, para cada p ∈ E(a,b) podr´ıa definirse la recta tangente en p como cualquiera de las rectas rt 0 , con t 0 ∈ IR tal que α(t 0 ) = p. c) Dibujar las elipses para los valores a = 1, b = 2; a = 1, b = 4; a = 2, b = 1. Dibujar tambi´en en alguna de ellas las rectas tangentes en t = 0, t = π 4 , t = π 2. d) Encontrar una curva parametrizada cuya traza sea la circunferencia de centro p ∈ IR^2 y radio a > 0.
3.- A continuaci´on tienes tres curvas parametrizadas y tres trazas. Suponiendo que cada traza lo es de alguna de las tres curvas, asocia a cada curva su traza dando un razonamiento convincente: a) α(t) = (t − 2sen t, 1 − 2 cos t),
b) β(t) =
e 20 tπ cos t, e 20 tπ sen t
c) γ(t) =
cos t 1+sen 2 t ,^
sen t cos t 1+sen 2 t
-4 -2 2 4
2
4
(1)
-7.5 -5 -2.5 (^) -1 2.5 5 7.
1
2
3
-1 -0.5 0.5 1 -0.
-0. -0.
4.- Encontrar una parametrizaci´on de la cicloide, es decir la curva que describe un punto de una circunferencia que rueda, sin deslizar, sobre una recta.
5.- Lo mismo para las epicicloides e hipocicloides. La epicicloide es la curva que describe un punto de una circunferencia que rueda, sin deslizar, sobre otra circunferencia “por fuera”; la hipocicloide es la curva que describe un punto de una circunferencia que rueda sobre otra circunferencia “por dentro”.
6.-( Se considera la curva parametrizada α: IR → IR^2 , definida por la expresi´on α(t) = sen t, 12 sen 2t
, para todo t ∈ IR. a) Demuestra que es una curva diferenciable y regular pero no simple. b) Demuestra que si la restringimos al intervalo [0, 2 π] es cerrada. c) Escribe la ecuaci´on de la recta tangente en un punto t 0 ∈ [0, 2 π] arbitrario. En- cuentra los puntos donde esta recta es horizontal y los puntos donde es vertical. d) Calcula las rectas tangentes en t 0 = 0 y en t 0 = 2π, y demuestra que ambas coinciden. Calcula la recta tangente en t 0 = π.¿Coincide con la anterior? ¿Tiene sentido hablar de la recta tangente a la traza en (0, 0)? e) Dibuja la traza de la curva α.
7.- Sea β: IR → IR^2 la curva parametrizada definida, para todo t ∈ IR, por la expresi´on β(t) = ((1 + cos t) cos t, (1 + cos t)sen t). a) Demuestra que β restringida a [−π, π] es una curva cerrada. ¿Se trata de una curva regular? Considera, para cada t ∈ [−π, π], la recta que pasa por (0, 0) (= β(π) = β(−π)) y β(t). ¿Cu´al es el l´ımite de estas rectas cuando t → π? ¿Y cuando t → −π? Teniendo en cuenta esto, ¿tendr´ıa sentido hablar de la recta tangente a β en (0, 0)? b) Calcula la curvatura con signo de esta curva parametrizada. c) Demuestra que β restringida a [−π, π] es una curva cerrada simple. d) Calcula la longitud de β restringida a [−π, π]. La curva β se denomina cardioide y su traza es:
0.5 1 1.5 2
-0.
1
8.- Demostrar que, dada una recta del plano, existen exactamente tres puntos de la car- dioide con recta tangente paralela a ella. Adem´as, los radios vectores que unen el “v´ertice” con estos puntos forman ´angulos de 120o¯.
11.- Se considera la curva parametrizada α: IR → IR^3 , dada por la expresi´on α(t) = (sen t, 12 sen 2t, t), para todo t ∈ IR. Su imagen est´a dibujada abajo, a la derecha.
a) Calcula la expresi´on general del vector tangente unitario y la expresi´on particular para t = 0 y t = π 2. Dibuja estos vectores.
b) Calcula el triedro de Frenet en t = π 2 y dibuja en la traza de la curva dicho triedro. Dibuja tambi´en los planos normal, osculador y rectificante en este punto.
c) Calcula α′(t) × α′′(t) ¿Es α una curva 2-regular? Si no es 2-regular, encuentra un intervalo maximal que contenga a π 2 donde la curva lo sea y a partir de ahora considera la restricci´on a dicho intervalo.
d) Encuentra la expresi´on general de la curvatura k(t) y de la torsi´on τ (t).
Nota.- La curva α forma parte de una familia de curvas αa(t) = (sen t, 12 sen 2t, at) algunas de las cuales tienes dibujadas m´as abajo;todas ellas son h´elices cuya proyecci´on en el plano horizontal es la figura ocho estudiada en el ejercicio 6.
a=0.
a=0.
a=0.4 a=0.
12.- Sea c una curva parametrizada regular cuyas rectas normales coinciden con las rectas binormales de otra curva c∗(t) = c(t)+λ(t)e 2 (t). Demostrar que, a lo largo de c, la funci´on k k^2 +τ 2 es constante.
13.- Sea c: I → IR^3 una curva parametrizada regular. Se dice c es una curva de Bertrand si existe una curva c∗(t) = c(t) + λ(t)e 2 (t) tal que, para todo t, las rectas normales de c en t y de c∗^ en t coinciden. a) Demostrar que toda curva plana es de Bertrand. b) Sea c una curva parametrizada regular cuya curvatura y torsi´on son distintas de cero en todo punto. Demostrar que c es curva de Bertrand si y s´olo si existen n´umeros reales a, b, con a = 0, tales que ak + bτ = 1.
14.- Se dice que una curva parametrizada regular en IR^3 es una h´elice cil´ındrica, o simple- mente una h´elice, si sus rectas tangentes forman un ´angulo constante con alguna direcci´on fija (llamada eje de la h´elice). a) Suponiendo que la curvatura y la torsi´on de c son distintas de cero en todo punto, demostrar que c es una h´elice si y s´olo si k/τ es constante. b) Demostrar que la curva parametrizada regular definida por c(t) = (at, bt^2 , t^3 ), con a y b constantes, es una h´elice cil´ındrica si y s´olo si 4b^4 = 9a^2 ;¿cu´al es el eje en este caso?
15.- Demostrar que si todas las rectas tangentes a una curva parametrizada regular pasan por un punto fijo, su traza est´a contenida en una recta.
16.- Demostrar que si todas las rectas normales principales de una curva parametrizada 2-regular pasan por un punto fijo, su traza est´a contenida en una circunferencia.
17.- Demostrar que si todos los planos osculadores de una curva parametrizada 2-regular tienen un punto com´un, la curva es plana.
18.- Sea c∗^ la proyecci´on ortogonal de una h´elice c sobre un plano perpendicular al eje de la h´elice. Demostrar que e∗ 2 es paralelo a e 2 y que k∗^ = k cosec 2 (α), donde α es el ´angulo (constante) entre e 1 y el eje de la h´elice.
19.- Demostrar que si c es una curva parametrizada regular cuya traza est´a contenida en una esfera de radio r, entonces la curvatura k de c satisface k ≥ 1 /r.
20.- Parametrizaci´on del elipsoide de tres ejes. Sean a, b, c n´umeros reales positivos. El elipsoide de semiejes a, b, c es el subconjunto de IR^3 dado por
E(a,b,c) =
(x, y, z) ∈ IR^3 ;
x^2 a^2
y^2 b^2
z^2 c^2
Demuestra que E(a,b,c) es una superficie regular. Construye una carta de E(a,b,c) bas´andote en la parametrizaci´on geogr´afica de la esfera y en que la aplicaci´on ϕ : IR^3 → IR^3 dada por ϕ(x, y, z) = (ax, by, cz) es un difeomorfismo tal que ϕ(S^2 ) = E(a,b,c).
21.- Utiliza la carta geogr´afica de la esfera para calcular el plano tangente y comprobar que en cada punto es ortogonal al vector posici´on. ¿Tienen los elipsoides tambi´en esta propiedad?
26.- Calcula los coeficientes de la primera forma fundamental de S^2 con respecto a la carta estereogr´afica X (ejercicio anterior) y util´ızalos para calcular la longitud de las curvas CR: [0, 2 π] → S^2 , definidas por CR(t) = X(R cos t, R sen t). Estas curvas son las im´agenes por X de circunferencias ¿De qu´e curvas se trata? Dibuja la curva CR con R = 12.
27.- Dibuja la imagen por la parametrizaci´on estereogr´afica de una recta que pase por el origen de IR^2. ¿Qu´e longitud tiene esta curva? Utiliza la primera forma fundamental para calcular esta longitud y comprobar as´ı si la respuesta es correcta.
28.- Por construcci´on, la imagen por X (Ejercicio 25 ) de una recta es la intersecci´on, con la esfera, del plano determinado por dicha recta y el polo norte. Dados p y q en IR^2 , dibuja la imagen de la recta que pasa por p en la direcci´on del vector q. Suponiendo que p y q son ortogonales y que q tiene m´odulo 1, calcula la longitud de la curva c(t) = X(p + tq), t ∈ IR.
29.- Siendo X la parametrizaci´on estereogr´afica de la esfera, demuestra que, para todo q ∈ IR^2 , la aplicaci´on dXq conserva los ´angulos.
30.- a) ¿Es el conjunto {(x, y, z) ∈ IR^3 ; z = 0, y x^2 + y^2 < 1 } una superficie regular? b) ¿Es el conjunto {(x, y, z) ∈ IR^3 ; z = 0, y x^2 + y^2 ≤ 1 } una superficie regular?
31.- Se considera la parametrizaci´on X: ]0, 2 π[×] − 12 , 12 [→ C del cilindro recto C de altura 1 y radio 1, dada por la expresi´on
X(u, v) = (cos u, sen u, v).
Calcula el ´area de C.
32.- Se describe geom´etricamente la cinta de M¨obius M como “la superficie que se obtiene al hacer girar un segmento de recta alrededor de un eje, al tiempo que dicho segmento gira 180 o¯ en torno a su punto medio mientras describe el primer giro en torno al eje”. Si se toma como eje de giro el eje Oz y un segmento de longitud 1, con centro a una distancia 1 del eje, se puede tomar, para M , la carta
Y (u, v) =
cos u + v cos
u 2
cos u, sen u + v cos
u 2
sen u, v sen
u 2
con (u, v) ∈]0, 2 π[ × ] − 12 , 12 [.
a) ¿Qu´e parte de la cinta de M¨obius queda sin recubrir por la carta Y? b) Se consideran, en el rect´angulo ]0, 2 π[ × ] − 12 , 12 [ las rectas u = π 2 , u = π, u = 32 π , v = − 1 /4, v = 0, v = 1/4. Dibuja las im´agenes de estas rectas, por la parametrizaci´on Y , en la cinta de M¨obius. c) Calcula los coeficientes guv y gvv de la primera forma fundamental de la cinta de M¨obius, en la carta Y. El coeficiente guu tiene la expresi´on
guu = (1 + v cos(
u 2
))^2 +
v^2 4
d) Escribe la integral que habr´ıa que calcular para obtener el ´area de la cinta de M¨obius.
Calculando la integral anterior, por m´etodos num´ericos, se obtiene un valor apro- ximado de 6.353271. A la vista de estos resultados, ¿puede ser esta cinta de M¨obius la misma que la del modelo en papel? e) Calcula la expresi´on del vector unitario normal a M en los puntos de la forma Y (u, 0) y util´ızala para demostrar que M no es orientable.
33.- Sea f (x, y, z) = z^2. Demostrar que 0 no es un valor regular de f y que, a´un as´ı, f −^1 (0) es una superficie regular.
34.- Sea S una superficie que viene dada como el grafo de una funci´on diferenciable;esto es, S queda definida por la ecuaci´on z = h(x, y), donde h: U → IR es C∞. Puede entonces considerarse la carta X: U → IR^3 dada por X(u, v) = (u, v, h(u, v)). Es f´acil comprobar que q ∈ U es un punto cr´ıtico de h si y s´olo si el plano tangente a S en p = X(q) es horizontal. A partir de ahora supondremos que q ∈ U es un punto cr´ıtico de h y que en S se ha considerado la orientaci´on determinada por la carta X. a) Calcula las expresiones del operador de Weingarten en p (o sea, −d N˜p) y de la segunda forma fundamental en p. (Ayuda: Las derivadas que tienes que calcular son del
tipo F ′(0) con F (t) = √f^ (t) a(t) donde a es una funci´on que cumple a(0) = 1 y a′(0) = 0;por
lo tanto se tiene que F ′(0) = f ′(0).) b) Encuentra la condici´on necesaria y suficiente para que p sea el´ıptico y para que p sea hiperb´olico.
35.- a) Demuestra que en el paraboloide de ecuaci´on z = x^2 + y^2 el punto p = (0, 0 , 0) es un punto el´ıptico.
b) Calcula las curvaturas principales, las direcciones principales y las asint´oticas en p. c) Demuestra que todos los puntos de S est´an a un mismo lado del plano af´ın tangente a S en p.
36.- a) Demuestra que en el paraboloide hiperb´olico de ecuaci´on z = x^2 − y^2 el punto p = (0, 0 , 0) es un punto hiperb´olico.
b) Calcula las curvaturas principales, direcciones principales y direcciones asint´oticas en este punto. Dibuja las direcciones principales y las direcciones asint´oticas.
c) Demuestra que en cualquier entorno de p hay puntos de la superficie a ambos lados del plano af´ın tangente a S en p.
37.- Sea S una superficie que viene dada como la gr´afica de una funci´on diferenciable;esto es, z = h(x, y). Demuestra que entonces la curvatura de Gauss tiene la expresi´on
hxxhyy − h^2 xy (1 + h^2 x + h^2 y )^2
38.- En las condiciones del problema 34 , a) Demuestra que, si p es un punto el´ıptico, existe un entorno de p en S tal que todos sus puntos est´an al mismo lado del plano tangente a S en p;esto es, existe un entorno
utilizando esta parametrizaci´on coincide con el que se obtiene utilizando la f´ormula del ejercicio 37.
44.- Demuestra que una condici´on necesaria para que una superficie regular sea minimal es que todos sus puntos sean hiperb´olicos o llanos.
45.- Se considera la superficie de revoluci´on, S, generada por la curva α(v) = (r(v), 0 , v), al girar alrededor del eje Oz, siendo r(v) > 0. a) Encuentra la ecuaci´on diferencial que debe satisfacer la funci´on r para que la superficie sea minimal. b) Comprueba que la soluci´on general de esa ecuaci´on es r(v) = (^) c^11 cosh(c 1 (v + c 2 )). c) La superficie de revoluci´on resultante, (para c 1 = 1, c 2 = 0) se denomina catenoide y la tienes dibujada m´as abajo. Calcula sus curvaturas principales.
46.- La superficie de Enneper puede ser parametrizada como
X(u, v) = (u −
u^3 3
v^3 3
Sin necesidad de calcular expl´ıcitamente todos los valores, demuestra que guv = 0, guu = gvv , Luv = 0, Lvv = −Luu y que, por tanto, es una superficie minimal.
47.- La superficie de Scherk puede ser parametrizada por
Y (u, v) = (u, v, ln cos v − ln cos u)),
con (u, v) ∈] − π 2 , π 2 [×] − π 2 , π 2 [. Demuestra que se trata de una superficie minimal.
0
1
2
0
1
0 10
0
10
0
5
-1 (^0) 1
0
1
0
2
0
1
48.- Demostrar que en un punto hiperb´olico las direcciones principales son bisectrices de los ´angulos formados por las direcciones asint´oticas.
49.- Demostrar que si una superficie regular es tangente a un plano a lo largo de una curva, entonces los puntos de esta curva son parab´olicos o planos.
50.- Sea C una curva regular contenida en una superficie regular S con curvatura de Gauss K > 0. Demostrar que la curvatura k de C en un punto p satisface
k ≥ min(|k 1 |, |k 2 |),
donde k 1 y k 2 son las curvaturas principales de S en p.
51.- Sea S una superficie regular cuyas curvaturas principales k 1 , k 2 satisfacen la condici´on |k 1 | ≤ 1, |k 2 | ≤ 1 en todos los puntos. ¿Es cierto que la curvatura k de una curva de S satisface tambi´en que k ≤ 1?
52.- Sup´ongase que los planos osculadores de una l´ınea de curvatura C ⊂ S, que no es tangente en ning´un punto a una direcci´on asint´otica, forman un ´angulo constante con los planos tangentes a S a lo largo de C. Demostrar que C es una curva plana. [Demostrar las otras dos “variantes”: Si C es plana y el ´angulo citado es constante, entonces C es l´ınea de curvatura, y si C es l´ınea de curvatura plana, entonces ese ´angulo es constante.]
53.- Sean S 1 y S 2 superficies que se cortan a lo largo de una curva regular C, entonces la curvatura k de C en p ∈ C est´a dada por
k^2 sen 2 θ = λ^21 + λ^22 − 2 λ 1 λ 2 cos θ,
donde λ 1 y λ 2 son las curvaturas normales en p, a lo largo de la recta tangente a C, de S 1 y S 2 , respectivamente, y θ es el ´angulo que forman los vectores normales a S 1 y S 2 en p.
54.- Demostrar que toda superficie compacta tiene alg´un punto el´ıptico.
55.- Demostrar que si todas las rectas normales a una superficie conexa pasan por un punto, la superficie est´a contenida en una esfera (superficie esf´erica).
56.- Calcular las l´ıneas asint´oticas y las l´ıneas de curvatura del helicoide, cuya parametri- zaci´on est´a dada por X(u, v) = (v cos u, v sen u, u),
para (u, v) ∈ IR^2.
57.- Se consideran la catenoide y el helicoide, con las parametrizaciones siguientes: a) Catenoide: para (u, v) ∈ U 1 =]0, 2 π[×IR,
X(u, v) = (cosh v cos u, cosh v sen u, v).
b) Helicoide: para (u, t) ∈ U 2 =]0, 2 π[×IR,
Y (u, t) = (t cos u, t sen u, u).
