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Tema 4 C´alculo de primitivas
4.1. Conceptos generales.
Una primitiva de una funci´on es otra funci´on que la tiene como derivada y la operaci´on que
permite obtener esta primitiva a partir de la funci´on original recibe el nombre de integraci´on. Se
tiene que cumplir que ambas funciones est´en definida en un mismo intervalo [a, b] ⊆ R y que la
primitiva sea continua en el intervalo cerrado y derivable en el intervalo abierto (a, b).
Definici´on 4.1 Sea f : [a, b] ⊆ R −→ R.
Una primitiva de f es una funci´on F : [a, b] ⊆ R −→ R continua en [a, b] y derivable en (a, b) con F ′(x) = f (x) ∀ x ∈ (a, b). El conjunto de primitivas de f recibe el nombre de integral indefinida de f y se representa por ∫ f (x)dx
Nota Si F (x) es una primitiva de f entonces F (x) + C tambi´en lo es ∀ C ∈ R con
∫ f (x)dx = {F (x) + C/C ∈ R}
Ejemplo 4.
F 1 (x) = x^2 , F 2 (x) = x^2 + 5, F 3 (x) = x^2 − 3 ,... son primitivas de la funci´on f (x) = 2x, ya que
en todos los casos F 1 ′(x) = F 2 ′(x) = F 3 ′(x) = · · · = 2x = f (x).
Por tanto, la integral indefinida de f (x) es ∫ 2 xdx = x^2 + C ♣
De las derivadas de las funciones elementales, al cambiar el punto de vista, se obtienen las inte-
grales de algunas funciones. Estas integrales reciben el nombre de integrales inmediatas y entre
ellas est´an las integrales que aparecen en la tabla 4.1.
Al aplicar la regla de la cadena a estas integrales inmediatas podemos resolver un gran n´umero
de integrales, que por extensi´on tambi´en reciben el nombre de integrales inmediatas.
Ejemplo 4.2 (Integrales inmediatas) ∫ 3 x^2 dx = x^3 + C porque (x^3 + C)′^ = 3x^2 ∫ cos xdx = sen x + C porque (sen x + C)′^ = cos x
2 BLOQUE II: C ALCULO INTEGRAL´
sen^4 xcos xdx = sen^5 x 5
- C porque ( sen^5 x 5
- C)′^ = sen^4 xcos x ∫ earc tg^ x 1 + x^2 dx = earc tg^ x^ + C porque (earc tg^ x^ + C)′^ = earc tg^ x 1 + x^2
Tipo Simples Compuestas
Constante
k dx = k x + C ∀k ∈ R
Potenciales
xpdx = xp+ p + 1
(f (x))p^ · f ′(x)dx = (f (x))p+ p + 1
Logaritmicas
x dx = ln |x| + C
f ′(x) f (x) dx = ln |f (x)| + C
Exponenciales
exdx = ex^ + C
f ′(x)ef^ (x)dx = ef^ (x)^ + C ∫ axdx = ax Lna
+ C
f ′(x)af^ (x)dx = af^ (x) Lna
+ C
Trigonom´etricas I
senxdx = −cosx + C
f ′(x)sen(f (x))dx = −cos(f (x)) + C ∫ cosxdx = senx + C
f ′(x)cos(f (x))dx = sen(f (x)) + C
Trigonom´etricas II
cos^2 x
dx = tagx + C
f ′(x) cos^2 (f (x))
dx = tag(f (x)) + C ∫ 1 sen^2 x dx = −cotagx + C
f ′(x) sen^2 (f (x)) dx = −cotag(f (x)) + C
Inversas de
1 + x^2
dx = arctagx + C
f ′(x) 1 + (f (x)))^2
dx = arctag(f (x)) + C
Trigonom´etricas
√^1
1 − x^2
dx = arcsenx + C
√ f^ ′(x) 1 − (f (x)))^2
dx = arcsen(f (x)) + C
Cuadro 4.1: Integrales Inmediatas
Proposici´on 4.2 Sean f, g : [a, b] ⊆ R −→ R, se verifican las siguientes propiedades: ∫ k f (x)dx = k
f (x)dx ∫ f (x) + g(x)dx =
f (x)dx +
g(x)dx
Ejemplo 4. ∫ (5x^3 + 3 sen x)dx = 5
x^3 dx + 3
sen xdx = 5 x^4 4
- 3(−cosx) + C = 5 x^4 4 − 3 cos x + C
4 BLOQUE II: C ALCULO INTEGRAL´
Tipo Trigonom´etricas I
sen (ln x) x dx =
sen (ln x)
x dx = −cos (ln x) + C
x^2 cos (x^3 )dx =
3 x^2 cos (x^3 )dx =
sen (x^3 ) + C
Tipo Trigonom´etricas II
x cos 2 (x^2 + 1)
dx =
2 x cos 2 (x^2 + 1)
dx =
tan (x^2 + 1) + C
x sen^2 (ln x) dx =
x sen^2 (ln x) dx = − cot (ln x) + C
Tipo Inversas de Trigonom´etricas
ex 1 + e^2 x^ dx =
ex 1 + (ex)^2 dx = arc tg (ex) + C
x 1 + x^4 dx =
x 1 + (x^2 )^2 dx =
2 x 1 + (x^2 )^2 dx =
arc tg (x^2 ) + C
C ALCULO DE PRIMITIVAS´ 5
4.2. M´etodo de descomposici´on.
El m´etodo de descomposici´on consiste en descomponer lo m´as posible el integrando aplicando
la propiedad distributiva ∫ [αf (x) + βg(x)] dx = α
f (x)dx + β
g(x)dx
para sustituir la expresi´on de la funci´on por otra equivalente, bien sumando y restando una cantidad o
bien multiplicando y dividiendo por un mismo n´umero. El objetivo es obtener una integral inmediata
o una integral que se obtenga de una inmediata aplicando la regla de la cadena.
Ejemplo 4.4 (M´etodo de descomposici´on) ∫ (3x + 5)^2 dx =
3(3x + 5)^2 dx =
(3x + 5)^3 3
(3x + 5)^3 9
+ C
(x^2 + 3)^2 dx =
(x^4 + 6x^2 + 9)dx =
x^4 dx + 6
x^2 dx +
9 dx = x^5 5
x^3
x^2 )dx =
x^2 dx + 2
x−^3 dx −
x (^23) dx = x^3 3
x−^2 − 2
x^53 5 3
x^3 3
x^2
x^5 5
+ C
5 x + 3 dx =
5 x + 3 dx =
ln | 5 x + 3| + C ♣
4.3. M´etodo de sustituci´on o de cambio de variable
Se trata de sustituir la variable x por otra variable t relacionadas mediante una funci´on biyectiva
y derivable que transforme el integrando en otro m´as sencillo. Se termina el proceso al hallar la
integral en t y deshacer el cambio de variable. Se aplica de forma directa o indirecta
Forma directa t = g(x) =⇒
f (g(x))g′(x) dx =
f (t) dt
Forma indirecta x = h(t) =⇒
f (x) dx =
f (h(t))h′(t) dt
Cuando tenemos en el integrando una funci´on y su derivada lo aplicamos directamente. En par-
ticular, se puede aplicar a las integrales inmediatas para mayor claridad en los ajustes.
Ejemplo 4.5 (Integrales inmediatas por sustituci´on)
x(x^2 + 5)^25 dx =
t = (x^2 + 5) dt = 2x dx
t^25 dt 2
t^25 dt =
t^26 26
t^26 52
(x^2 + 5)^26 52
+ C
e^3 xdx cos 2 e^3 x^
t = e^3 x dt = 3e^3 x^ dx
∫ (^) dt 3 cos 2 t
dt cos 2 t
tg t =
tg e^3 x^ + C ♣
C ALCULO DE PRIMITIVAS´ 7
¿C ´OMO ELEGIR u y v?
Para la elecci´on de u utilizaremos la regla mnemot´ecnica “ALPES” que nos dice que la prioridad es:
u −→
A: funciones Arcos (arcoseno, arcocoseno, arcotangente) L: funciones Logar´ıtmicas (loga, Ln, log) P: funciones Polinomios E: funciones Exponenciales (ex, ax) S: funciones Seno, coseno Por tanto dv ser´ıa el resto del integrando
Integraci´on por partes reiterada
Hay ocasiones que es necesario aplicar el m´etodo de integraci´on por partes m´as de una vez. Veamos
un ejemplo:
∫ x^2 sen xdx =
u = x^2 du = 2xdx dv = sen xdx v = −cos x
= −x^2 cos x + 2
xcos xdx = (∗)
La integral resultante se resuelve integrando de nuevo por partes ∫ xcos xdx =
u = x du = dx dv = cos xdx v = sen x
= x sen x −
sen xdx
(∗) = −x^2 cos x + 2
[
x sen x −
sen xdx
]
= −x^2 cos x + 2x sen x + 2cos x + C ♣
Integraci´on por partes de tipo c´ıclico
A veces cuando se aplica el m´etodo de integraci´on por partes de forma reiterada nos puede salir la
integral de la que part´ıamos, en este caso decimos que la integral es de tipo c´ıclico. ∫ excos xdx =
u = ex^ du = exdx dv = cos xdx v = sen x
= ex^ sen x −
ex^ sen xdx
Al aplicar la integraci´on por partes a la integral resultante obtenemos la integral de partida: ∫ ex^ sen xdx =
u = ex^ du = exdx dv = sen xdx v = −cos x
= −excos x +
excos xdx
Esto nos permite obtener una ecuaci´on: ∫ excos xdx = ex^ sen x −
[
−excos x +
excos xdx
]
= ex^ sen x + excos x −
excos xdx
Si llamamos I a la integral original podemos despejar la integral buscada
8 BLOQUE II: C ALCULO INTEGRAL´
Si I=
excos xdx =⇒ I = ex^ sen x + excos x − I =⇒ 2I = ex^ sen x + excos x
=⇒ I =
ex^ sen x + excos x 2
Por tanto
excos xdx = ex^ sen x + excos x 2
+ C ♣
4.5. Integraci´on de funciones racionales.
Definici´on 4.3 Decimos que una funci´on es racional si es cociente de polinomios, es decir,
f (x) = P (x) Q(x) con P (x) y Q(x) polinomios.
Para resolver la integral de un funci´on racional utilizaremos el m´etodo de descomposici´on en
fracciones simples. Este m´etodo consiste en descomponer el cociente de polinomios en fracciones
cuya resoluci´on es inmediata, que reciben el nombre de fracciones simples.
Antes de ver este m´etodo vamos a ver las integrales de los distintos tipos de fracciones simples
que vamos a manejar:
- Fracciones simples cuyo denominador tiene una ra´ız simple: ∫ A x − a dx = A ln|x − a| + C
- Fracciones simples cuyo denominador tiene una ra´ız m´ultiple: ∫ A (x − a)n^ dx =
A
(−n + 1)(x − a)n−^1
- Fracciones simples cuyo denominador es un polinomio de segundo grado irreducible que se
puede escribir como a 2 [(x − α)^2 + β^2 ] cuando sus ra´ıces complejas son α ± βi:
⋆ El numerador es la derivada del denominador ∫ (a 2 x^2 + a 1 x + a 0 )′ a 2 x^2 + a 1 x + a 0 dx = ln|a 2 x^2 + a 1 x + a 0 | + C
⋆ El numerador es una constante: ∫ A a 2 x^2 + a 1 x + a 0 dx =
A
a 2 [(x − α)^2 + β^2 ] dx =
A
a 2 β arc tg
x − α β
+ C
⋆ Cuando el numerador es un polinomio de primer grado la fracci´on simple se descompone en
la suma de dos fracciones de los tipos anteriores
M x + N a 2 x^2 + a 1 x + a 0
(a 2 x^2 + a 1 x + a 0 )′ a 2 x^2 + a 1 x + a 0
A
a 2 x^2 + a 1 x + a 0
10 BLOQUE II: C ALCULO INTEGRAL´
Al igual que sucede con las integrales de tipo logar´ıtmico o arcotangente, algunas funciones
racionales se pueden integrar comprobando si pertenecen a la forma compuesta de alguna integral
inmediata:
Ejemplo 4.12 (Integrales racionales inmediatas) ∫ 2 x + 1 (x^2 + x + 1)^3 dx = −
2(x^2 + x + 1)^2
+ C
x^3 + 1 x^4 + 4x + 7 dx =
4 x^3 + 4 x^4 + 4x + 7 dx =
ln |x^4 + 4x + 7| + C ∫ 2 x 1 + x^4 dx =
2 x 1 + (x^2 )^2 dx = arc tg x^2 + C ♣
Para el resto de integrales de tipo racional usaremos el m´etodo de descomposici´on en fracciones
simples.
M´etodo de descomposici´on en fracciones simples
Caso 1 grado(P (x)) < grado(Q(x))
Determinamos las fracciones simples en las que descomponemos el cociente de polinomios. Para
ello, calculamos las ra´ıces del denominador y lo descomponemos en factores. De esta forma:
♢ A cada ra´ız simple, a, le corresponde un factor (x − a) que da lugar a una fracci´on A x − a
♢ A cada ra´ız m´ultiple, a de multiplicidad m, le corresponde un factor (x − a)m^ que da lugar a m fracciones A 1 x − a
A 2
(x − a)^2
Am (x − a)m^
♢ A cada par de ra´ıces complejas conjugadas le corresponde un polinomio irreducible de segundo grado a 2 x^2 + a 1 x + a 0 que da lugar a una fracci´on M x + N a 2 x^2 + a 1 x + a 0
Descomponemos el cociente de polinomios como la suma de estas fracciones simples y obtenemos
las correspondientes constantes identificando ambos numeradores.
P (x) Q(x)
A
x − a
A′ 1
x − a′^
A′ 2
(x − a′)^2
Integramos las fracciones en las que hemos descompuesto el denominador y calculamos su suma.
C ALCULO DE PRIMITIVAS´ 11
Ejemplo 4.13 (^) ∫ 3 x + 5 x^3 − x^2 − x + 1 dx
Calculamos las raices del denominador x^3 − x^2 − x + 1 = 0
La descomposici´on del denominador en factores es:
x^3 − x^2 − x + 1 = (x + 1)(x − 1)^2
Por tanto la suma de fracciones simples correspondiente es: 3 x + 5 x^3 − x^2 − x + 1
A
x + 1
B
x − 1
C
(x − 1)^2
Operando:
3 x + 5 x^3 − x^2 − x + 1
A(x − 1)^2 + B(x − 1)(x + 1) + C(x + 1) (x + 1) (x − 1)^2
El valor de las constantes se determina identificando los numeradores, para lo que damos valores
a las variables:
3 x + 5 = A(x − 1)^2 + B(x − 1)(x + 1) + C(x + 1) =⇒
x = 1 → 8 = 2C x = − 1 → 2 = 4A x = 0 → 5 = A − B + C
A =
B = −
C = 4
Al calcular la integral de cada fracci´on simple obtenemos la integral buscada:
3 x + 5 x^3 − x^2 − x + 1 dx =
2 x + 1 dx +
−^12
x − 1 dx +
(x − 1)^2 dx
Por tanto ∫ 3 x + 5 x^3 − x^2 − x + 1 dx =
ln |x + 1| −
ln |x − 1 | −
x − 1
+ C ♣
C ALCULO DE PRIMITIVAS´ 13
Para resolver estas integrales se efect´uan cambios de variable que dependen de las funciones que
aparece dentro de la integral.
Su objetivo es transformar la integral en una integral racional a la que aplicar el m´etodo de descom-
posici´on en fracciones simples. Los casos que vamos a tratar no son excluyentes, por lo que a veces
es posible realizar m´as de un cambio.
Definici´on 4.5 Una funci´on en seno y coseno es impar en seno si al sustituir sen x por − sen x la
funci´on cambia de signo, es decir:
R(− sen x, cos x) = −R(sen x, cos x)
An´alogamente, ser´a impar en coseno si al sustituir cos x por −cos x la funci´on s´olo cambia de signo,
es decir:
R(sen x, −cos x) = −R(sen x, cos x)
Ser´a par en seno y coseno si al sustituir simult´aneamente sen x por − sen x y cos x por −cos x la
funci´on no cambia, es decir:
R(− sen x, −cos x) = R(sen x, cos x)
IMPAR EN COSENO
Si la funci´on es impar en coseno realizamos el cambio: senx = t =⇒
cosx =
1 − t^2
dx = dt √ 1 − t^2
Ejemplo 4.
cos 3 x sen^2 x
dx =
1 − t^2 )^3 t^2
dt √ 1 − t^2
1 − t^2 )^2 t^2
dt = =
(1 − t^2 ) t^2
dt =
t^2 dt −
dt = −
t − t= −
sen x − sen x + C
IMPAR EN SENO
Si la funci´on es impar en seno realizamos el cambio: cosx = t =⇒
senx =
1 − t^2
dx = −dt √ 1 − t^2
Ejemplo 4.
sen x cos 3 x
dx =
1 − t^2 t^3
−dt √ 1 − t^2
t^3
dt = −
t−^3 dt = − t−^2 − 2
2 t^2
2 cos 2 x
+ C
14 BLOQUE II: C ALCULO INTEGRAL´
PAR EN SENO y COSENO
Si la funci´on es par en seno y coseno realizamos el cambio: tagx = t =⇒
senx = t √ 1 + t^2 cosx =
1 + t^2 dx =
dt 1 + t^2
Ejemplo 4.
sen^2 xdx cos^6 x
t √ 1 + t^2
1 + t^2
dt 1 + t^2
∫ t
2 1 + t^2 1 (1 + t^2 )^3
dt 1 + t^2
(t^2 + t^4 )dt = t^3 3
t^5 5
(tagx)^5 5
(tagx)^3 3
+ C
CASO GENERAL
Si no funciona alguno de los cambios anteriores realizamos el cambio: tag
(x 2
= t =⇒
senx = 2 t 1 + t^2
cosx = 1 − t^2 1 + t^2 dx = 2 dt 1 + t^2
Ejemplo 4.
dx 1 + cos x + sen x
1 − t^2 1 + t^2
2 t 1 + t^2
2 dt 1 + t^2
1 + t dt = Ln|1+t|+C =
=Ln|1 + tag
(x 2
| + C
Resumimos los casos anteriores en la siguiente tabla:
Tipo Cambio de variable seno ´o coseno Diferencial de x Impar en seno cos x = t sen x =
1 − t^2 dx = √−dt 1 − t^2 Impar en coseno sen x = t cos x =
1 − t^2 dx = √dt 1 − t^2
Par en seno y coseno tg x = t
senx =
t √ 1 + t^2
cosx =
1 + t^2
dx = dt 1 + t^2
Caso general tg
(x 2
= t
senx = 2 t 1 + t^2
cosx = 1 − t^2 1 + t^2
dx = 2 dt 1 + t^2
Cuadro 4.2: Integrales trigonom´etricas
16 BLOQUE II: C ALCULO INTEGRAL´
4.7. Integraci´on de funciones irracionales.
Una funci´on irracional es aquella en la cual aparecen funciones en las que la variable est´a dentro
del signo radical.
A modo de ejemplo:
∫ √ x x( 3
x −
x) dx ´o
1 − x 1 + x
dx x Para resolver estas integrales se efect´uan cambios de variable. El cambio de variable que hay
que realizar depende de la funci´on que aparece dentro del radical y su objetivo es transformar la
integral en una integral racional a la que aplicar el m´etodo de descomposici´on en fracciones simples.
La mayor´ıa de estos cambios son indirectos y, una vez determinado el caso a considerar, se despeja la
variable original, se calcula su diferencial y tras resolver la integral resultante se deshace el cambio.
Tipo I: Raices de potencias
Son integrales del tipo: (^) ∫ R
q^ √ 1
xp^1 ,... ,
qn^ √
xpn
dx
Para resolverlas utilizamos el cambio de variables:
x = tq^ con q = m.c.m(q 1 ,... , qn)
Ejemplo 4.
x x( 3
x −
x) dx =
x = t^6 dx = 6t^5 dt
t^6 6 t^5 dt t^6 ( 3
t^6 −
t^6 )
t^3 6 t^5 dt t^6 (t^2 − t^3 )
6 dt 1 − t
= −6 ln | 1 − t| = −6 ln | 1 − 6
x| + C
Tipo II: Raices de fracciones
Son integrales del tipo: ∫ R
q^1
ax + b
cx + d
)p^1 ,... ,
qn
ax + b
cx + d
)pn
dx
Para resolverlas utilizamos el cambio de variables:
ax + b cx + d = tq^ con q = m.c.m(q 1 ,... , qn)
C ALCULO DE PRIMITIVAS´ 17
Ejemplo 4.
1 − x 1 + x
dx x Como aparece la ra´ız cuadrada de la fracci´on 1 − x 1 + x , el cambio a realizar es 1 − x 1 + x = t^2. Este cambio es indirecto y tenemos que calcular la variable x y determinar su diferencial: 1 − x 1 + x = t^2 =⇒ x = 1 − t^2 1 + t^2 =⇒ dx = − 4 t dt (1 + t^2 )^2
Por tanto:
1 − x 1 + x
dx x
t^2
− 4 t (1 + t^2 )^2 1 − t^2 1 + t^2
dt = − 4
t^2 (1 − t^2 )(1 + t^2 ) dt = · · ·
Una vez resuelta esta integral, para deshacer el cambio se despeja t en el cambio de variable y,
por tanto, se toma t =
1 − x 1 + x
Tipo III:
a^2 − b^2 x^2 dx
Para resolver
a^2 − b^2 x^2 dx hacemos el cambio:
x = a b
sen t ; dx = a b
cos t
Con este cambio se consigue eliminar la raiz ya que:
∫ (^) √ a^2 − b^2 x^2 dx=
x = a b sen t
dx = a b cos tdt
a^2 − b^2 a^2 b^2 sen^2 t
(a b cos t
dt = a^2 b
1 − sen^2 t cos tdt =
a^2 b
cos 2 tdt = a^2 b
1 + cos 2 t 2 dt = a^2 2 b
(1 + cos 2 t)dt = a^2 2 b t + a^2 4 b sen 2t = (∗)
Deshacemos el cambio de variable tomando t = arc sen
bx a
y lo sustituimos en (∗). Por tanto
∫ (^) √ a^2 − b^2 x^2 dx = a^2 2 b arc sen
bx a
a^2 4 b sen
2 arc sen
bx a
+ C
Observaci´on: Esta integral tambi´en se podr´ıa haber resuelto con el cambio:
x = a b cos t ; dx = − a b sen t
Y a la hora de deshacer el cambio se tiene:
x = a b cos t =⇒ t = arc cos
bx a
