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Tema 1
Funciones de una variable.
1.1. Concepto de funci´on.
Definici´on 1.1 Se llama funci´on (real de variable real) a toda correspondencia (o regla), f , que a cada n´umero x le asigna un ´unico valor f (x). ♣
Ejemplo 1.1 La regla que a cada n´umero le asigna su cuadrado, f (x) = x^2 , es una funci´on, ya que un n´umero tiene un ´unico cuadrado. Sin embargo, la regla que a cada n´umero le asigna el n´umero del que es cuadrado no es una funci´on, ya que a un n´umero positivo le asocia dos n´umeros (4 es el cuadrado de 2 y -2) En el primer caso, tenemos una ecuaci´on que relaciona un n´umero con su cuadrado y = x^2. En el segundo caso tambi´en se establece una relaci´on entre los n´umeros mediante la ecuaci´on x = y^2 , pero no tenemos una funci´on. Sin embargo, podemos definir como funciones las ra´ıces cuadradas positiva y negativa: la funci´on f (x) = √x y la funci´on f (x) = −√x. ♣
Ejemplo 1.2 La regla que a cada n´umero le asocia este n´umero, f (x) = x, es la funci´on identidad y la regla que asigna a todos los n´umeros un mismo valor fijo c ∈ R, f (x) = c, es la funci´on constante. Obs´ervese que en ambos casos a un n´umero le asociamos s´olo un n´umero (distinto para todos en la primera y el mismo para todos en la segunda). ♣
Ejemplo 1.3 Podemos definir una funci´on mediante varias reglas parciales, por ejemplo, la funci´on valor absoluto es
f (x) = |x| =
x si x ≥ 0 −x si x ≤ 0 Para ello, debemos comprobar que en los puntos comunes las reglas definen el mismo n´umero. ♣
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Definici´on 1.2 Sea f : D ⊆ R −→ R
- El dominio de f , D, son los puntos en los que est´a definida
Dom(f ) = {x ∈ R/∃f (x)}.
- La imagen, rango o recorrido de f son los valores que toma en R
Im(f ) = {y ∈ R/∃x ∈ D con f (x) = y}.
- La gr´afica de f es su representaci´on en el plano formada por el conjunto de puntos
Grf(f ) = {(x, y) ∈ R^2 /x ∈ D , f (x) = y}. ♣
Ejemplo 1.
- La funci´on f (x) = c est´a definida para todo n´umero y s´olo tiene un resultado. Por tanto, su dominio est´a formado por todos los n´umeros reales y su imagen por el n´umero c. Su gr´afica son los puntos del plano que verifican la ecuaci´on y = c: Dom(f ) = R Im(f ) = {c} Grf(f ) = {(x, y) ∈ R^2 /y = c}.
- La funci´on f (x) = x est´a definida para todo n´umero y todo n´umero es un resultado. Por tanto, su dominio y su imagen est´an formados por todos los n´umeros reales. Su gr´afica son los puntos del plano que verifican la ecuaci´on y = x (la bisectriz del primer cuadrante): Dom(f ) = R Im(f ) = R Grf(f ) = {(x, y) ∈ R^2 /y = x}.
- La funci´on f (x) = x^2 est´a definida para todo n´umero y todo n´umero positivo es el cuadrado de alg´un n´umero. Por tanto, su dominio est´a formado por todos los n´umeros reales y su imagen por los n´umeros reales positivos. Su gr´afica son los puntos del plano que verifican la ecuaci´on y = x^2 : Dom(f ) = R Im(f ) = {y ∈ R/y ≥ 0 } Grf(f ) = {(x, y) ∈ R^2 /y = x^2 }.
- La funci´on f (x) = x^3 est´a definida para todo n´umero y todo n´umero es el cubo de alg´un n´umero. Por tanto, su dominio y su imagen est´an formado por todos los n´umeros reales. Su gr´afica son los puntos del plano que verifican la ecuaci´on y = x^3 :
Dom(f ) = R Im(f ) = R Grf(f ) = {(x, y) ∈ R^2 /y = x^3 }. ♣
1
c
f HxL=c
2.0^ f^ HxL=x
f Hx 2.0L=x 2
1
f Hx 2 L=x^3
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Ejemplo 1.6 La funci´on f (x) = x^2 es par, f (−x) = (−x)^2 = x^2 = f (x), y la funci´on f (x) = x^3 es impar, f (−x) = (−x)^3 = −x^3 = −f (x)
f Hx 2.0L=x^2
1
f Hx 2 L=x^3
Las funciones f (x) = √x y f (x) = −√x no son ni pares ni impares. ♣
Definici´on 1.6 Sea f : D ⊆ R −→ R
- f es inyectiva si elementos distintos de su dominio tienen siempre im´agenes distintas: x 6 = x′^ con x, x′^ ∈ Dom(f ) =⇒ f (x) 6 = f (x′)
- f es sobreyectiva si el conjunto imagen es todo R: ∀y ∈ R ∃x ∈ Dom(f )/f (x) = y Una funci´on es biyectiva si es simult´aneamente inyectiva y sobreyectiva. ♣
Nota Una funci´on es inyectiva si todo elemento de la imagen tiene un ´unico origen, f es sobreyectiva si todo n´umero es imagen de alg´un elemento del dominio y, por tanto, es biyectiva si todo n´umero es imagen de un ´unico elemento del dominio
Definici´on 1.7 Sea f : D ⊆ R −→ R inyectiva en D (∀y ∈ Im(f ) ∃˙ x ∈ Dom(f )/f (x) = y). La funci´on inversa de f , f −^1 , a cada y ∈ Im(f ) le asocia el ´unico x tal que f (x) = y: f −^1 (y) = x ⇐⇒ f (x) = y ♣
Nota El dominio de f −^1 es la imagen de f , su imagen es el dominio de f y su gr´afica es la imagen sim´etrica respecto a la bisectriz del primer cuadrante de la gr´afica de f.
Ejemplo 1.
y x y x 3
y 3 x
2
4 y x^2
y x
y x
1 2 3 4
1
2
3
4
La funci´on f (x) = √^3 x es la funci´on inversa de f (x) = x^3 en todo su dominio, pero la funci´on f (x) = √x es la funci´on inversa de f (x) = x^2 para x ≥ 0 , de forma que consideramos como dominio s´olo el intervalo [0, +∞). ♣
FUNCIONES DE UNA VARIABLE 5
Definici´on 1.8 Sea f : D ⊆ R −→ R
- f es creciente si ∀x 1 , x 2 ∈ D x 1 < x 2 =⇒ f (x 1 ) ≤ f (x 2 ) (estrictamente si f (x 1 ) < f (x 2 )).
- f es decreciente si ∀x 1 , x 2 ∈ D x 1 < x 2 =⇒ f (x 1 ) ≥ f (x 2 ) (estrictamente si f (x 1 ) > f (x 2 )). f es mon´otona si cumple alguno de los casos anteriores. ♣
Observaci´on: La monoton´ıa es una propiedad global de la funci´on. Esto significa que solo tiene sentido decir que una funci´on es mon´otona en un determinado conjunto y no que es mon´otona en un punto, lo que carece de significado. Cuando decimos que una funci´on es mon´otona en un punto lo que en realidad queremos decir es que es mon´otona en un entorno del punto (conjunto lo suficientemente peque˜no que contiene al punto). De la misma forma, cuando decimos que una funci´on es mon´otona lo que en realidad queremos decir es que es mon´otona en su dominio.
Ejemplo 1.8 La funci´on f (x) = x^3 y la funci´on f (x) = √x son estrictamente crecientes en su dominio. La funci´on f (x) = −√x es estrictamente decreciente. La funci´on f (x) = x^2 no es ni creciente ni decreciente pero es creciente en [0, +∞) y decreciente en (−∞, 0]. ♣
1.2. Funciones elementales.
1.2.1. Funciones lineales.
Una funci´on lineal es una funci´on cuya representaci´on en el plano es una l´ınea recta y se puede escribir como f (x) = mx + b donde m y b son constantes reales. Est´a definida en todo R, su imagen es tambi´en todo R (salvo en el caso m = 0 que es una funci´on constante) y su gr´afica es la recta cuya ecuaci´on es y = m x + b.
m=tangHΘL
b
Θ
Nota La constante m, que recibe el nombre de pendiente de la recta, determina la inclinaci´on de la recta, ya que es la tangente del ´angulo de inclinaci´on de la recta con el eje OX, m = tan(θ). Nota La constante b es el punto de corte de la recta con el eje OY y determina el desplazamiento de la recta con respecto al origen, hacia arriba si es positiva y hacia abajo si es negativa. Nota Cuando la variable pasa de un valor inicial x 0 a un valor x el aumento que experimentan los valores de la funci´on, que denotamos por 4 y, es proporcional al incremento de la variable, que
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grande es m. Cuando nos acercamos a cero los valores de la funci´on xn^ se acercan a cero tanto m´as r´apido cuanto m´as grande es el exponente n y las potencias de exponente negativo x−m^ crecen hacia +∞ tanto m´as r´apido cuanto m´as grande es m.
x^3
x^2
x
0.5 1.0 1.5 2.
1
2
3
4
5
x -^3 x
1.2.3. Funciones polin´omicas y racionales.
Las funciones polin´omicas (o polinomios) est´an definidas en todo R y son funciones de la forma f (x) = a 0 + a 1 x + a 2 x^2 + ··· + anxn
con n natural y a 0 , a 1 ,... , an ∈ R.
Nota Para n = 2, p(x) = ax^2 + bx + c, son par´abolas verticales cuyo v´ertice es V (− 2 ba , p (− 2 ba^ ))^ y puede tener hasta dos puntos de corte con el eje OX que se obtienen mediante la f´ormula
ax^2 + bx + c = 0 =⇒ x = −b^ ±
√b (^2) − 4 ac 2 a
a > 0 V (^) X
fHx YL=ax^2 +bx+c a < (^0) V X
fH YxL=ax^2 +bx+c
a > 0
X
fHxL=ax^3 + Ybx^2 +cx+d a < 0
1
2
f 3 H YxL=ax (^3) +bx (^2) +cx+d
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Las funciones racionales son aquellas que pueden expresarse como cociente de dos funciones polin´omicas, f (x) = P Q^ ((XX)) y su dominio es R menos el conjunto de los ceros o ra´ıces del denominador.
Ejemplo 1.9 Para obtener el dominio de f (x) = (^) x 2 − (^) −^3 x 3 x+ 5 + 2 igualamos a cero el denominador
x^2 − 3 x + 2 = 0 ⇐⇒ x =^3 ±
2
4
Y
Por tanto, su dominio es R − { 1 , 2 } ♣
1.2.4. Funciones exponenciales y logar´ıtmicas.
Las funciones exponenciales, f (x) = ax^ (a > 0) son las funciones en las que al aumentar en una unidad la variable x el aumento que experimentan los valores de la funci´on es proporcional al valor de la funci´on, donde a es el factor de proporcionalidad y siempre es positivo (a > 0):
f (x + 1) = ax+1^ = a · ax^ = a · f (x)
0 <a< 1 a> 1
X
Y 4 x^ ã x^ 2 x
1 x 1 X
Y
Nota Las funciones exponenciales est´an definidas en todo R y sus valores son siempre positivos. Son crecientes para a > 1 y decrecientes para a < 1. Entre ellas destaca f (x) = ex^ = exp(x).
Proposici´on 1.9 Sean a, b > 0 y x, y ∈ R (a) a^0 = 1 (b) ax+y^ = axay^ (c) (ab)x^ = axbx^ (d) (ax)y^ = axy^ ♣
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Seno: se obtiene dividiendo el cateto opuesto entre la hipotenusa sen α = c
′ h Coseno: se obtiene dividiendo el cateto contiguo entre la hipotenusa cos α = ch
Tangente: se obtiene dividiendo el cateto opuesto entre el cateto contiguo y, por tanto, corres- ponde al cociente del seno y el coseno: tan α = c
′ c =
sen α cos α
h
c
c'
Para extender estas funciones al conjunto de los n´umeros reales consideramos la circunferencia de centro el origen y radio 1. Desde el punto de corte de la circunferencia con la parte positiva del eje de abscisas, para cada x y con la misma unidad de longitud que el radio, medimos un arco de longitud |x| sobre la circunferencia, en el sentido contrario a las agujas del reloj si x es positivo y en el sentido de las agujas del reloj si es negativo.
Θ cos x
sen x
Hu,vL x
1
El punto final del arco tiene dos coordenadas, que denotamos por (u, v). Si trazamos la perpen- dicular al eje de abscisas que pasa por el punto final del arco obtenemos un tri´angulo rect´angulo, en el cual un ´angulo correspondiente al primer cuadrante tiene como seno la coordenada v y como coseno la coordenada u. Esta idea permite extender las funciones seno y coseno a cualquier n´umero x definiendo el seno como la coordenada v y el coseno como la coordenada u. De esta forma, su dominio es todo R y su imagen el intervalo [− 1 , 1].
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Nota Cuando x crece y el punto final del arco recorre la circunferencia unidad los valores del seno y coseno oscilan. Como la circunferencia tiene longitud 2π el final del arco pasa por puntos en los que hab´ıa estado antes y hace que los valores del seno y coseno se repitan cada 2π, por lo que son funciones peri´odicas de periodo 2π. Nota El seno es una funci´on impar mientras que el coseno es par. Si desplazamos sus gr´aficas a izquierda y derecha podemos superponer una sobre la otra.
- 2 Π Π 2 ΠΠ 3 2 Π 2 Π 3 Π 4 Π
1
fHxL=senHxL
- 2 Π Π 2 ΠΠ 3 2 Π 2 Π 3 Π 4 Π
1
fHxL=cosHxL
Proposici´on 1.11 Sean a, b > 0 y x, y ∈ R (a) sen(−x) = − sen x (b) cos (−x) = cos x (c) sen(x + π 2 ) = cos x (d) cos (x − π 2 ) = sen x (e) sen(x + y) = sen xcos y + cos x sen y (f) cos (x + y) = cos xcos y − sen x sen y (g) sen(x − y) = sen xcos y − cos x sen y (h) cos (x − y) = cos xcos y + sen x sen y (i) sen^2 x + cos 2 x = 1 (f´ormula fundamental de la trigonometr´ıa)
Medida de ciertos ´angulos y sus senos y cosenos Grados Radianes Seno Coseno Grados Radianes Seno Coseno 0 0 0 1 90 π 2 1 0 30 π 6 12
√ 3 2 180 π^0 −^1 45 π 4 √ 2 2
√ 2 2 270 32 π −^1 60 π 3 √ 3 2 12 360 2 π^0
Nota La construcci´on de las funciones seno y coseno hace que midamos los ´angulos en radianes, de forma que la medida de un ´angulo en radianes es el n´umero de radios que mide el arco (podemos hacerlo ya que la longitud de la circunferencia es proporcional al radio de ´esta). Nota Como la longitud de la circunferencia es 2πr y su ´angulo es de 360o^ para convertir grados a radianes, y viceversa, utilizamos la equivalencia 360 o^ ≡ 2 π radianes
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Π 4
fHxL=arcsen Π 2 HxL
0 22 1
Π 4
Π 2
fHxL= ΠarccosHxL
Π 4
fHxL= Π 2 arctgHxL
Nota Las funciones arcoseno, arcocoseno y arcotangente verifican las ecuaciones impl´ıcitas sen y = x, cos y = x y tan y = x, respectivamente, pero estas ecuaciones no definen las funciones ya que incluyen valores que no corresponden a los dominios considerados. Nota La funci´on arcoseno es estrictamente creciente e impar, la funci´on arcocoseno estrictamente decreciente y la funci´on arcocotangente estrictamente creciente e impar (todas est´an acotadas).
1.3. Continuidad de funciones de una variable.
Definici´on 1.12 Sean f : [a, b] ⊆ R −→ R, x 0 ∈ [a, b]. f es continua en x 0 si x^ l´→ımx 0 f^ (x) =^ f^ (x^0 ) donde el l´ımite de f (x) cuando x tiende a x 0 es l si ∀≤ > 0 ∃δ > 0 /x ∈ [a, b] y 0 < |x − x 0 | < δ =⇒ |f (x) − l| < ≤. f es continua en [a, b] si es continua en todos los puntos de (a, b), en a el l´ımite por la derecha es f (a) y en b el l´ımite por la izquierda es f (b). ♣
Nota Una funci´on es discontinua en un punto si no es continua en el punto pero es continua en un entorno del punto (en este curso no estamos interesados en los distintos tipos de discontinuidad).
1 2 3 4
2
4
6
8
1 2 3 4
1
2
3
4
Funciones discontinuas en un punto
Nota Las funciones elementales que hemos visto en la secci´on anterior son continuas en sus dominios. Nota El producto de un n´umero por una funci´on continua, la suma de funciones continuas, el pro- ducto de funciones continuas y la composici´on de funciones continuas son funciones continuas. Sin
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embargo, el cociente de funciones continuas s´olo es una funci´on continua en los puntos en los que no se anula el denominador.
Proposici´on 1.13 (Teoremas cl´asicos) Sea f : [a, b] ⊆ R −→ R continua en [a, b] entonces
(Teorema de Bolzano). Si f (a) y f (b) tienen distinto signo existe c ∈ (a, b) con f (c) = 0. (Teorema de los valores intermedios o de Darboux) Si c 1 , c 2 ∈ [a, b] con c 1 < c 2 y f (c 1 ) 6 = f (c 2 ), f alcanza cualquier valor entre f (c 1 ) y f (c 2 ). (Teorema de Weierstrass) f tiene un m´aximo y un m´ınimo absoluto en alg´un punto de [a, b] (ver la secci´on 1.5).
1.4. Derivada de funciones de una variable.
1.4.1. La derivada como tasa de variaci´on
El valor de la derivada en un punto marca el ritmo del cambio que experimenta el valor de una variable, y, cuando se produce un cambio infinitesimal en el valor de la variable de la que depende, x. Para analizar c´omo responde la variable a este cambio consideramos una funci´on que las relaciona, y = f (x) y partimos de un valor x 0 para la variable independiente, al que le corresponde un valor f (x 0 ). Si tomamos otro valor x 1 , al que le corresponde un valor f (x 1 ), el incremento de la variable independiente es 4 x = x 1 − x 0 y el incremento de la variable dependiente 4 y = f (x 1 ) − f (x 0 ) (normalmente el valor x 1 se escribe como x 1 = x 0 + 4 x).
P
Q
Dy Dx x 0 x 0 +Dx
fH x 0 L
fH x 0 +DxL
La tasa media de variaci´on de y con respecto a x nos indica la variaci´on relativa de una variable con respecto a la otra:
4 y 4 x =^
f (x 1 ) − f (x 0 ) x 1 − x 0 =^
f (x 0 + 4 x) − f (x 0 ) 4 x.
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Ejemplo 1.10 Coste medio y coste marginal. Supongamos que el coste de producir x unidades de un determinado producto viene dado por
C(x) = x^2 + 3x + 100,
medida en ciertas unidades monetarias, y que estamos produciendo cien unidades del producto, cuyo coste de producci´on es de C(100) = 10, 400 u.m.. Si vamos a producir doscientas unidades del producto, con un coste de C(200) = 40, 700 u.m., el coste medio de las cien nuevas unidades que producimos es
4 y 4 x =^
C(200) − C(100)
Cuando se producen muchas unidades del producto podemos considerar que un incremento de una unidad es un incremento peque˜no y podemos escribir
C′(x 0 ) = 4 l´ımx→ 0 C(x^0 +^44 xx)^ −^ C(x^0 )≈ C(x^0 + 1) 1 −^ C(x^0 )= C(x 0 + 1) − C(x 0 ),
con lo que la derivada en x 0 (tasa instant´anea de variaci´on del coste con respecto al n´umero de unidades producidas) es aproximadamente el coste adicional de producir una unidad m´as de producto cuando ya se han producido x 0 unidades del mismo (coste marginal). En nuestro caso estamos produciendo 100 unidades del producto, con un coste de producci´on de C(100) = 10, 400 u.m., por lo que podemos suponer que un incremento de una unidad es un incremento peque˜no. Como la derivada de la funci´on en x 0 = 100 es
C′(100) = 4 l´ımx→ 0 C(100 +^44 xx)^ −^ C(100)= 203
el coste adicional que hay que soportar para producir la unidad ciento uno ser´ıa aproximadamente de 203 u.m.. Al ser el incremento real del coste C(101) − C(100) = 10, 604 − 10 ,400 = 204 u.m. se puede considerar que es una aproximaci´on bastante buena. ♣
Nota La derivada marca el ritmo del cambio que experimenta la variable dependiente cuando se produce un cambio en la variable independiente y cuanto mayor es el valor de la derivada mayor es el cambio que experimenta la variable dependiente. Si la derivada es positiva a un aumento de la variable independiente le corresponde un aumento de la variable dependiente y si es negativa a un aumento de la variable independiente le corresponde una disminuci´on de la variable dependiente.
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1.4.2. La funci´on derivada y las reglas de derivaci´on
Definici´on 1.15 Sean f : [a, b] ⊆ R −→ R. Si f es derivable en (a, b) la funci´on derivada de f asocia a cada x su derivada f ′^ : x ∈ (a, b) −→ f ′(x) ∈ R. ♣
Nota Las distintas notaciones que se usan para la funci´on derivada de una funci´on y = f (x) son:
y′^ o f ′(x), cuyo valor en un punto x 0 se escribe como y′(x 0 ) o f ′(x 0 ); dy dx o^
df dx, cuyo valor en un punto^ x^0 se escribe como^
dy dx
x 0
o (^) dxdf
x 0 Para obtener el valor de la derivada de una funci´on en un punto sin tener que aplicar la definici´on, que a veces es bastante complicado, se pueden combinar las reglas de derivaci´on y las derivadas de las funciones elementales.
Proposici´on 1.16 (Reglas de derivaci´on) Sean f, g : [a, b] ⊆ R −→ R derivables en x ∈ (a, b).
- Regla del m´ultiplo constante (k ∈ R): (kf )′(x) = kf ′(x).
- Regla de la suma: (f + g)′^ (x) = f ′(x) + g′(x).
- Regla del producto: (f · g)′^ (x) = f ′(x)g(x) + f (x)g′(x).
- Regla del cociente:
(f g
(x) = f^
′(x)g(x) − f (x)g′(x) g^2 (x) siempre y cuando^ g(x)^6 = 0.^ ♣
Derivadas de las funciones elementales f (x) f ′(x) f (x) f ′(x) xa^ axa−^1 x > 0 a ∈ R k 0 x ∈ R k ∈ R ex^ ex^ x ∈ R ax^ ax^ ln a x ∈ R a > 0 ln x (^1) x x > 0 loga x (^) x ln^1 a x > 0 a > 0 sen x cos x x ∈ R arc sen x √ 1 1 − x 2 − 1 ≤ x ≤ 1 cos x − sen x x ∈ R arc cos x √ 1 − −^1 x 2 − 1 ≤ x ≤ 1 tan x 1 + tan^2 x x 6 = π 2 ± nπ (n ∈ N) arctan x (^) 1 +^1 x 2 x ∈ R
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Ejemplo 1.13 La funci´on y = arctan x es la inversa de la funci´on x = tan y, por tanto, la derivada de la funci´on y = arctan x es dy dx =^
dx dy
= (^) 1 + tan^12 y = (^) 1 + tan (^2) (arctan^1 x) = (^) 1 +^1 x 2. ♣
Ejemplo 1.14 (Derivaci´on logar´ıtmica) Como ejemplo vamos a ver la derivada de y(x) = u(x)v(x):
En primer lugar tomamos logaritmos ln y(x) = ln u(x)v(x)^ = v(x) ln u(x)
A continuaci´on derivamos esta expresi´on y′(x) y(x) =^ v
′(x) ln u(x) + v(x)u′(x) u(x) Luego despejamos y′(x) y sustituimos y(x) por su valor
y′(x) =
v′(x) ln u(x) + v(x)u
′(x) u(x)
y(x) =
v′(x) ln u(x) + v(x)u
′(x) u(x)
u(x)v(x) Esta derivada se puede expresar como la “derivada respecto de u” por la derivada de u m´as la “derivada respecto de v” por la derivada de v:
y′(x) = (v(x)u(x)v(x)−^1 )^ u′(x) + (u(x)v(x)^ ln[u(x)])^ v′(x) ♣
1.4.3. Consecuencias de la derivabilidad
Proposici´on 1.19 Sean f : [a, b] ⊆ R −→ R y x 0 ∈ (a, b). Si f es derivable en x 0 entonces f es continua en x 0.
Nota El rec´ıproco no es cierto, ya que f puede ser continua en x 0 sin que exista su derivada.
Ejemplo 1.15 La funci´on f (x) = √^3 x es continua en R y no es derivable en cero, ya que la tangente es vertical y el valor de su derivada en cero es infinito, de forma que la derivada no est´a definida
f ′(0) = 4 l´ımx→ 0 f^ (0 +^44 xx)^ −^ f^ (0)= 4 l´ımx→ 0
√ (^34) x 4 x =^ ∞.
- 1.5 - 1.0 - 0.5 0.5 1.0 1.
fH 1.5xL= 3 x
Esto muestra que una funci´on continua que tenga tangente vertical no es derivable, ya que el cambio de valor de la funci´on es demasiado brusco. ♣
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Ejemplo 1.16 La funci´on valor absoluto, f (x) = |x|, es continua en todo R pero no es derivable en cero, ya que si calculamos su derivada como f (x) = x para x ≥ 0 y f (x) = −x para x ≤ 0 hay que distinguir entre el l´ımite por la izquierda y el l´ımite por la derecha y ambos son distintos:
f ′(0) = 4 l´ımx→ 0 f^ (0 +^44 xx)^ −^ f^ (0)= 4 l´ımx→ 0 |4 4 xx| =
4 l´xım→ 0 −^ −4^4 xx^ =^ −^1 4 l´xım→ 0 +^44 xx^ = 1
f 2.0HxL=ÈxÈ
Esto muestra que una funci´on continua que presente “picos” no es derivable, ya que aunque el cambio de valor de la funci´on no sea brusco, s´ı lo es el cambio de direcci´on. Obs´ervese que podemos definir la derivada por la derecha y la derivada por la izquierda de una funci´on en un punto considerando los l´ımites laterales (cuando tienen sentido). En este ejemplo, la derivada en cero por la izquierda ser´ıa -1 y por la derecha 1. ♣
Proposici´on 1.20 Sea f : [a, b] ⊆ R −→ R continua en [a, b] y derivable en (a, b) entonces
f es creciente en (a, b) si y s´olo si f ′(x) ≥ 0 ∀x ∈ (a, b). f es decreciente en (a, b) si y s´olo si f ′(x) ≤ 0 ∀x ∈ (a, b). ♣
Ejemplo 1.17 Si la oferta y demanda de un bien dependen de su precio seg´un las funciones O(p) y D(p) cuando el precio del bien se incrementa en una unidad la derivada de la primera funci´on representa el aumento de la oferta y la derivada de la segunda la disminuci´on de la demanda. Como la oferta aumenta si el precio del bien aumenta la gr´afica de la oferta tiene pendiente positiva, O′(p) > 0 , y, por el contrario, como la demanda disminuye si el precio aumenta, la gr´afica de la demanda tiene pendiente negativa, D′(p) < 0. ♣
Proposici´on 1.21 (Teoremas cl´asicos) f : [a, b] ⊆ R −→ R continua en [a, b] y derivable en (a, b)
(Teorema de Rolle) Si f (a) = f (b) existe c ∈ (a, b) con f ′(c) = 0. (Teorema del valor medio o de los incrementos finitos) Existe c ∈ (a, b) con f ′(c) = f^ (b) b−−fa^ (a). (Teorema de los valores intermedios para derivadas) Si c 1 , c 2 ∈ (a, b) con f ′(c 1 ) 6 = f ′(c 2 ) la derivada alcanza cualquier valor entre f ′(c 1 ) y f ′(c 2 ). ♣
