Tema 5 estadistica, Apuntes de Estadística

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Puntuaciones típicas 8.1. Puntuaciones directas, diferenciales y tipicas a) Puntuación directa La atribuida directamente a cada objeto al ser sometido a cualquier tipo de prueba. Estas puntuaciones suclen ser designadas en Estadística Descriptiva, por letras mayúsculas latinas bj) Puntuación diferencial Puntuación directa menos la media. Estas puntuaciones suelen ser designadas, en Estadística Descriptiva, por letras minúsculas latinas. 2) Puntuación típica Puntuación diferencial dividida por la desviación típica. Estas puntuaciones suelen ser designadas en Estadística Descriptiva, por la letra minúscula latina EsemPLO 8,1. Sean 6, 4, 2, 3, 8 los valores obtenidos directamente en una prueba por cinco personas. Su media vale 5 y su desviación típica vale 2. Esto su- puesto, veamos cuánto valen las puntuaciones diferenciales y típicas. Puntuaciones directas: Xx 26. 4 02 58 Puntuaciones diferenciales: x, = Y, — Los -3 03 Puntuaciones típicas xi/5.= 1%, Mis, 0,5 0,5 15 0 15 Nótese que ¿ ñ i 1 el Puntuaciones típicas / 135 equivale 4 a+ AX 1 B coná=lyB=- Y Sí equivale a Y com 4=lyg=-É Sr EN 8.2. Propiedades de las puntuaciones tí] a) La media de las puntuaciones típicas vale cero En efecto, = E (X— Ps, = (15) 8 (X, - ) =0 pues según sabemos (ver 5.2.3.0) E (X - ka] hi > Consiguientemento, 55 zfm= (Im) 27, 0 Podiamos, también, haber pensado así 136 / Estadística para Psicólogos Por consiguiente, según 5.2.3.c, EsemPLO 8.2. Comprobemos esta propiedad con los datos del ejemplo 8.1. (0,5) + (0,5) + (1,5) + (0) + (1,5) _0_ 5 0 5) La varianza (y la desviación típica) de las puntuaciones típicas vale uno. En efecto, De lo acabado de ver se deduce que Ez? =2 Podíamos, también, haber pensado a: EsEMPLO 8,3. Comprobemos cesta propiedad com los datos del ejemplo 8.1 A RO e EE . 5 =5 €) Si multiplicamos las puntuaciones típicas por una constante Á y sumamos a esos productos otra constante B, las nuevas puntuaciones tienen como media B y somo desviación típica |] En efecto, acabamos de ver que Ahora bien, las nuevas puntuaciones son 2 + B Puntuaciones típicas 1 137 Por tanto, = B (recordando 52.3.c) [4] recordando 6.3.4.0) EsemeLo 8.4. Transformemos las puntuaciones típicas del ejemplo 8.1 me- diante Y, = 10:, + 20 y comprobemos cómo la media y la desviación típica de las nuevas puntuaciones Y, valen, respectivamente, Y =20, s, = 10, Y, = (101--0,5) + 20 = 2 Yy =(10X0) E 20 = 20 10)(1,5) + 20 = 35 54+15+ 5420435 _ 5 na > a 05207 + (15 —20P + (5 20f + (00 - 20) + (5 — 20) ae 2 Ml 5 0200, 5-10 Basándonos en esta propiedad podemos convertir unas puntuaciones dadas Xo XX con media X y desviación lípica s,, en otras puntuaciones Y), Ya, ..., Y, cuya media Y y cuya desviación típica s, sean dos valores fijados de antemano por nosotros. En efecto, basta con transformar en típicas las puntuacio- nes primitivas, multiplicando, después, dichas puntuaciones típicas por s, y su- mando Y a cada uno de esos productos, donde s, e Y son dos valores elegidos a nuestro arbitrio. Es decir, las nuevas puntuaciones serán: £ + (1-25) 5 Esemro 8.5. Deseamos transformar las puntuaciones 21, Ml, 1, 16, 3£ obte- nidas en un test en otras cuya media sca 100 y cuya desviación típica valga 20. Esto supuesto, ¿en qué puntuaciones se convertirán las puntuaciones dadas? La media de estas puntuaciones vale 16 y la desviación típica vale 10. Por consi- guiente, -2 y, + (100% 16) =2x, 1 68 TS TN 140 / Estadistica para Psicólogos Más aún. En el caso de una sola característica, serían ya comparables dos pun- tuaciones directas y diferenciales, pues ambas vendrían expresadas en una misma unidad de medida. Sin embargo, aun en este caso, las puntuaciones típicas son más comparables entre sí que las directas y diferenciales. Supongamos que dos es. tudiantes, M y N, pertenecientes a dos grupos distintos realizan una misma prueba Es claro que las puntuaciones típicas del primer grupo y las del segundo tienen una misma media (igual a cero) y una misma desviación típica (igual a uno). Por esta ra- zón, las puntuaciones típicas de M y N, referidas a una misma media y a una misma desviación tipica, son más comparables entre sí que sus puntuaciones directas, referidas probablemente a distintas medias y a distintas desviaciones típicas, y que sus puntuaciones diferenciales, referidas probablemente a distintas desviaciones típicas. Por consiguiente, en general, dos puntuaciones típicas admiten una com- parabilidad mayor que las directas y diferenciales. Con todo, csta mayor comparabilidad no implica que dos o más personas, pertenecientes a dos o más grupos distintos, sean iguales bajo cualquier aspecto por el mero hecho de haber obtenido las mismas puntuaciones típicas. Vamos a lihitarnos a un par de casos elementales. a) Dos grupos distintos realizan una misma prueba y obtienen la misma me- dia y la misma desviación típica. Pues bien, si dos personas, una del primero y otra del segundo, obtienen la misma puntuación típica, obtendrán la misma puntuación directa (es decir, dentro de lo posible, manifestarán en el mismo grado la caracte- rística de que se trata), pero no dejarán necesariamente por debajo de sí el mismo porcentaje. Reciprocamente, si dos personas, una de cada grupo, dejan por debajo de sí el mismo porcentaje, no obtendrán necesariamente la misma puntuación directa (es decir, no manifestarán la característica en el mismo grado) ni, en conse- cuencia, obtendrán necesariamente la misma puntuación típica. Consideremos, por ejemplo, los dos grupos siguientes que, realizando una misma prueba, X, al. canzan la misma media y la misma desviación típica, pero tales que el primero muestra una clara asimetría positiva y el segundo una clara asimetría negatí Grupo 1.2 Grupo 2. . on nl mx? Lon ax nx 5 10 50 250 4 40 160 640 4 20 80 3% 3 30 90 2% 3 30 9% 20 2 20 40 80 2 40 80 160 1 10 10 10 100 300 1.000 100 300 1.000 2=3 5 =1 Dos personas, 4, (del grupo 1.0) y A, (del grupo 2.5), con la misma puntuación tí- pica 0,5, obtendrán la misma puntuación directa: X, = Y, =3 + (1X0,5) = 3,5. Puntuaciones tipicas / 141 Pero, A, dejará por debajo de si el 70 por 100 de los casos y A) sólo e 60 por 100. Es decir, a iguales puntuaciones tipicas (y directas) corresponden distintos por- centajes. 40 | 30 | 20 10 10 20 | 30 | 30 A su vez, 4, con z, =0,5, y A, con z, = 0,75, obtendrán puntuaciones directas distintas X, = 3 + (1)(0,5) = 3,5, X, = 3 + (1)(0,75) = 3,75, pero dejarán por debajo de sí el 70 por 100 en ambos casos. Es decir, a iguales porcentajes corresponden puntuaciones típicas (y directas) distintas. ] b) Dos grupos distintos realizan una misma prueba y alcanzan diversa media y/o diversa desviación típica. Pues bien, si dos personas, una del grupo primero y otra del segundo, obtienen la misma puntuación lípica, oblendrán, en general, distintas puntuaciones directas (es decir, manifestarán la característica en distinto grado) y dejarán por debajo de sí distintos porcentajes. Si dos personas, una del primer grupo y otra del segundo, obtienen la misma puntuación dirccta, (mani- fiestan la caraclerística en el mismo grado), obtendrán, en general, distintas pun- tuaciones típicas y dejarán por debajo de si distintos porcentajes. Consideremos, por ejemplo, los dos grupos siguientes que, realizando una misma prueba, X, al- canzan distinta media y distinta desviación típica, pero tales que el primero mues- tra una clara asimetría positiva y cl segundo una clara asimetría negativa Grupo 1.» Grupo 2.2 mo rx, mx? Xx, nx? 10 50 250 5 10 40 400 4.000 4 20 80 320 8 30 240 190 3 30 90 270 6 20 20 70 2 40 $80 160 4 10 40 160 100 300 1.000 100 800 6.800 => 5.1 £.= 142 | Estadistica para Psicólogos E 1] Ñ 20 10 1 20 30 20 Ll, y ñ ñ ñ ñ 3 4 5 4 6 B 10 _ Dos personas, 4, (del grupo 1.2) y 4, (del grupo 2.), con la misma puntuación tipica 0,5, obtendrán distintas puntuaciones directas: Y, = 3 + (11(0,5) = 3,5 X, = 8 + (2)10,5) = 9 y dejarán por debajo de sí distintos porcentajes: 70 por 100 y $0 por 100 respectivamente, Es decir, a iguales puntuaciones típicas cortespon- den distintas puntuaciones directas y distintos porcentajes. Dos personas, 4, (del grupo 1.7) y A, ídel grupo 2.9) con la misma puntuación $ directa 4,5, obtendrán distintas puntuaciones típicas: z, = = — 1,75 y dejarán por debajo de sí distintos porcentajes: 90 por 100 y 7,5 por 100 respectivamente, Es decir, a iguales puntuaciones directas corresponden distintas puntuaciones típicas y distintos porcentajes. _. Dos personas, A, (del grupo 1.5) y 4, (del grupo 2.") que dejan por debajo de si el mismo porcentaje (30 por 100), obtendrán distintas puntuaciones directas: Xx X, =7, y distintas prntuaciones típicas: 7, = 22532 _ 0,75, 0,5. Es decir, a iguales porcentajes, corresponden distintas pun- tuaciones dircctas y distintas puntuaciones típicas. 3.5. Nota Acabamos de considerar dos criterios indicadores de la posición relativa de una persona respecto a un grupo de referencia: 4) Posición relativa como distancia de esa persona a la media del grupo (medida en nnidades típicas); 6) Posición relativa como porcentaje de personas del grupo que deja por debajo de sí esa persona He- Inos visto que dos personas, pertenecientes a dos grupos distintos, cuya posición rela- tiva es idéntica según uno de los dos criterios, no lo es necesariamente según el otro Sin embargo, si las distribuciones de frecuencias de ambos grupos son iguales. ll i Al ñ E ; Puntuaciones tipicas / 143 a posición relativa idéntica de dos personas segúm uno de los dos criterios, corres- ponde posición relativa idéntica de las mismas “según el otro criterio. Y a posición distinta, según uno, corresponde posición relativa distinta según el otro Ahora bien, las distribuciones de frecuencias en Psicología suelen ser nor males o aproximadamente normales con bastame frecuencia. En otras palsbras. dos grupos distintos sometidos a la misma o distiula prueba suelen distribuirse de la misma manera, de acuerdo con la distribución normal, de la gue hablaremos en seguida. Por consiguiente, con gran frecuencia, dos personas con la misma puntua- ción pica dejarán por debajo de si, aproximadamente, cl mismo porcentaje. M aún, conociendo esa puntuación típica, podremos determinar cuál es el porcentaj que queda por debajo 8.6. Combinación de puntuaciones Para combinar en una sola puntuación total, las puntuaciones de varias pruebas, conviene operar con puntuaciones lípicas. Es decir, reducir las unidades de las distintas pruebas a una unidad comán. Esto es conveniente aun en el caso en que las pruebas sean muy semejantes (por cjemplo, varias notas de ana misma asig- natura combinadas para dar la nota final de curso) ya que superar la media en una misma distancia significa más cuando la desviación típica es pequeña que cuando es grande, De aquí la necesidad de operar con puntuaciones típicas, de tener en cuenta la desviación típica de cada prueba. Esempro 8.6. Sean tres pruebas Í, II, LU y dos alumnos 4 y B. Sean X, = 45, 5 =25 Lu = 60, sy =4; Xm = 60, Sy =6. Sean finalmente las puntuaciones siguientes las obtenidas por A y B en las tres pruebas: DIRECTAS DIFERENCIALES TIPICAS 1 1 M TOTAL Lo 1H 15M TOTAL 1 1 IM TOTAI A 4 64 66 170 -5 4 6 5 1 1 0,5 B 50 56 54 160 5-4 6 5 1 -i 0,5 El alumno A tiene una puntuación total (a partir de las directas y difo s) mayor que B. Sin embargo, el alumno E tiene una puntuación total (a partir de las típicas) mayor que A. El alunmo 3 está por encima de la media en una sola prueba, pero donde la variabilidad es muy pequeña. En cambio, el alumno A está por encima de la medía en dos pruebas, pero donde la variabilidad es muy grande. En conjunto, el alumno 8 debería ser preferido al A, pues su puntuación típica total cs mayor que la de A. s tipicas | 146 / Estadistica para Psicólogos Puntuaciones iípicas | 147 y su representación gráfica es la siguiente 8.8.4. Uso de la tabla de las áreas bajo la curva normal A (Apéndice ¡H1) ofrece con cada puntuación Úpica la proporción ¡camos por 100) o área situadas bajo dicha puntuación, La tab: (porcentaje si ls mulGpl Yo á suponiendo, natu almeate, que la distribución de frecuencias es normal. . EsEMPLO 8.7. ¿Qué porcentaje de observaciones queda por debajo de la pun- tuación directa X = 23, valiendo 30 la media y 4 la desviación tipica? Transformemos esa puntuación directa en típica 2-3 4 1,75 Soon == —1,75 le corresponde us porcentaje igual a 4,01. Por Lanto, En la tabla, : , — 1,75 (es decir de la directa Y = 23) por debajo de la puntuación típica Entre tres desviaciones típicas por la izquierda y tres por la derecha (es decir ¿ queda el 4,01 por 100 de las observaciones. entre la puntuación típica —3 y la puntuación típica 3) se encuentra el 99,74 por 100 del área total contenida bajo la curva normal 3.8.3. Relación entre las áreas bajo la curva normal y propercianes o probabilidades En la figura adjunta el área A representa la probabilidad de obiener una pus- tuación igual o menor que z,. Interpretada esta probabilidad como proporción, el área anterior representa la proporción de observaciones con puntuaciones igua- les o menores que z,, en el supuesto, claro está, de que dichas observaciones se distribuyan normalmente 15 ¿Qué porcentaje de observaciones queda por encima de la pun- EsemPLO 8.8 por enci 54, valiendo 48 la media y 5 la desviación típica? tuación directa Y Por ahora, serán equivalentes para nosotros probábilidad y proporción. En el iomo 2 discutiremos más detalladamente esta equivalencia. Naturalmente, las áreas representadas serán porcentajes si multíplicamos las proporciones por cien 148 / Estadistica para Psicólogos Transformemos esa puntuación directa en típica ce 18 1 En la tabla, a z = 1,2 le corresponde un porcentaje jgual a 88,49. Por tanto, por encima de la puntuación típica 7 = 1,2 (es decir, de la directa Y = 54) queda el (100 — 88,49) por 100 = 11,51 por 100 de las observaciones ElEMPLO 8.9. ¿Qué porcentaje de observaciones queda por encima de la pun- tuación directa X = 9 y, simultáncamente, por debajo de la puntuación directa, X = 31, valiendo 25 la media y 8 la desviación típica? Transformemos esas puntuaciones dircctas en típicas. =-2, 2 = AB _0535 En la tabla, a = == —2 le corresponde un porcentaje jgual a 2,28 y a un porcentaje igual a 77,34. Por tanto, por encima de la puntuación típic (es decir, de la directa Y = 9) y, simultáneamente, por debajo de la puntuación tipica = =-0,75 (es decir, de la puntuación directa X = 31) queda el (77,34 — -- 2,28) por 100 == 75,06 por 100 de las observaciones. EsemPLO 8.10. - ¡Qué puntuación directa deja por debajo de sí el 64 por 100 de las observaciones, valiendo 30 la media y 5 la desviación tipica? En la tabla, el porcentaje más próximo al 64 por 100 es el 64,06 por 100 y a este porcentaje le corresponde la puntuación típica z = 0,36. Por tanto: 0,36 = 2 5 X= (510,36) + 30 = 1,8 4 30 = 31,8 Puntuaciones típicas | 149 EseurLo 8.11. ¿Qué puntuación directa deja por encima de sí el 61 por 100 de las observaciones, valiendo 40 la media y 6 la desviación típica? Dejar por encima de si el 61 por 100 de las observaciones equivale a dejar por debajo de sí el 39 por 100 de las mismas. En la tabla, el porcentaje más próximo al 39 por 100 es el 38,97 por 100 y a este porcentaje le corresponde la puntuación típica == —0,28, Por tanto, E 028 = 5 X= (6)(-0,28) + 40 = 40 — 1,68 = 38,32 EsmeLo 8.12. Calculemos dos puntuaciones directas, X, y X,, tales que la pri- mera deje por debajo de si un 10 por 100 de las observaciones y la segunda deje por encima de sí otro 10 por 100 de los casos, valiendo 40 la media y 7 la desviación típica. En la tabla, el porcentaje más próximo al 10 por 100 es el 10,03 por 100 y a este porcentaje le corresponde la puntuación tipica z = -- 1,28. Por otra parte, dejar por encima el 10 por 100 equivale a dejar por debajo el 90 por 100. En la tabla el porcentaje más próximo al 90 por 100 es el 89,97 por 100 y a este porcentaje le corres- ponde la puntuación típica z = 1,28. Por tanto, Xy = (7-1,28) + 40 = 40 — 8,96 = 31,04 y X= (711,28) + 40 = 40 + 8,96 = 48,96 8.9. Puntuaciones T Las puntuaciones típicas ofrecen un doble inconveniente. En primer lugar, unas son positivas y otras negativas (circunstancia que puede ocasionar errores en los cálculos). En segundo lugar, casi todas las observaciones suelen quedar contenidas dentro de tres desviaciones típicas a la derecha de la media (igual a cero) y otras tres desviaciones típicas a la izquierda de la misma. Es decir, sólo tendremos 7 puntuaciones enteras posibles (—3, —2, —1, 0, 1, 2, 3); todas las demás serán decimales (con los consiguientes inconvenientes para el cálculo). Para evitar los decimales (o, al menos, bastantes de ellos) multiplicamos las pun- tuaciones típicas por una constante apropiada. Para evitar los valores negativos, sumamos a los productos obtenidos otra constante adecuada. En particular, suelen ser usadas, respectivamente, 10 y 50. En otras ocasiones, 100 y 500 u otras cons- tantes que nos sirvan para conseguir el fin pretendido. Dentro de este contexto, llamaremos puntuaciones T a las obtenidas mediante la constante multiplicadora 10 y la constante aditiva 50, pero tras previa norma-