¡Descarga Tema 5. MATRICES Y DETERMINANTES y más Apuntes en PDF de Administración de Empresas solo en Docsity!
Tema 5. MATRICES Y DETERMINANTES
Resumen.
5.1. CONCEPTO DE MATRIZ
Una matriz A de orden mxn es una agrupación de mxn elementos (números reales), dispuestos en m filas y n columnas.
Clasificación de Matrices
- Rectangular (A (^) mxn / m F 0 B 9n ) 1.) (^) Fila (1 xn ) 2.) Columna ( mx 1)
- Cuadrada (A (^) nxn): Diagonal principal (a 11 , a 22 ,...,ann ), Traza =
2.1) Triangular: Los elementos a un lado de la diagonal principal son todos nulos. 2.1.1) Triangular superior: a (^) ij = 0 para todo i > j. 2.1.2) Triangular inferior: a (^) ij = 0 para todo i < j.
2.2) Diagonal: a (^) ij = 0 para todo i F 0 B 9j. 2.2.1) Escalar: aij (i = j) = k
2.2.2) Unidad: aij (i = j) = 1. MATRIZ IDENTIDAD
2.3) Simétrica: aij = aji y Antisimétrica: aij = - aji
Nula: a (^) ij = 0
Equidimensionales: 2 matrices A y B con el mismo orden o dimensión
4.1) Iguales: a (^) ij = b (^) ij F 0 2 2i, j F 0 C EF 0 C 2 Operaciones con Matrices
F 0 8 1SUMA (sólo matrices equidimensionales): A (^) mxn + B (^) mxn = C (^) mxn F 0 D Ea (^) ij + b (^) ij = cij
F 0 8 2PRODUCTO DE UNA MATRIZ POR UN ESCALAR: B (^) mxn = hA (^) mxn F 0 D Ehaij = b (^) ij
F 0 8 3PRODUCTO DE MATRICES: A (^) mxn Bnxp = C (^) mxp F 0 D E F 0 8 4POTENCIA (cuando A es cuadrada): A^1 = A, A 2 =AA,..., A n^ = AA...A (n veces)
Traspuesta de una Matriz
A’ ( ó A t ) es la matriz traspuesta de A, obtenida cambiando las filas de A por sus columnas:
5.2. DETERMINANTES
El Determinante de una matriz cuadrada A, F 0 F 4A F 0 F 4, es un número asociado a dicha matriz.
Cálculo de Determinantes
- (Sarrus)
- Desarrollo de un determinante por los elementos de una línea: El valor de un determinante es igual a la suma de los productos de los elementos de una línea cualquiera por los adjuntos correspondientes:
- Por los elementos de la fila i :
- Por los elementos de la columna j :
- Método de Gauss-Jordan: Basándose en las propiedades de los determinantes, éste se reduce al de una matriz triangular, cuyo determinante es igual al producto de los elementos de su diagonal principal.
Propiedades de los Determinantes
- Si los elementos de una fila o columna son todos nulos, el determinante es nulo.
Si L (^) i = 0 F 0 D EF 0 F 4A F 0 F 4= 0
- Si se multiplican o dividen por un número cada uno de los elementos de una línea (fila o columna), el determinante queda multiplicado o dividido por ese número.
Si hLi F 0 D Eh F 0 F 4A F 0 F 4
Si se cambian entre sí 2 líneas paralelas, el determinante cambia de signo, pero conserva su valor absoluto.
Si 2 líneas paralelas son iguales ó proporcionales, el determinante es nulo. También si una de ellas es combinación lineal de las demás.
Un determinante no varía si se cambian sus filas por sus columnas F 0 D E La matriz A y su traspuesta A’, tienen el mismo determinante.
Si a una línea se le suma o resta otra/s línea/s paralela/s multiplicada/ s por un número k , el determinante no varía.
El determinante del producto de un escalar por una matriz A (^) n es igual al escalar elevado a n por el determinante de la matriz cuadrada.
F 0 F 4hA F 0 F 4= hn^ F 0 F 4A F 0 F 4
- F 0 F 4AB F 0 F 4= F 0 F 4A F 0 F 4F 0 F 4B F 0 F 4
5.3. MATRIZ INVERSA DE UNA MATRIZ CUADRADA
Sólo las matrices cuadradas pueden tener inversa, pero no todas las matrices cuadradas tienen inversa.
Matriz inversa de A (^) n = A -1^ / AA-1^ = I F 0 D E
Procedimiento de cálculo:
- Cálculo del F 0 F 4A F 0 F 4. Si es nulo, no existe inversa.
- MATRIZ REGULAR O INVERTIBLE: F 0 F 4A F 0 F 4F 0 B 90.
