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Cap´ıtulo 1
Matrices y Determinantes.
1.1. Contenidos b´asicos
Matriz num´erica Es un conjunto de elementos(n´umeros, funciones, etc.) distribuidos en filas y columnas. Los elementos de la matriz se representan con la misma letra que la matriz pero en min´uscula, seguido de dos sub´ındices, el primero de los cuales indica a qu´e fila pertenece y el segundo a qu´e columna.
A = (aij )
donde i = 1, 2 ,... , m es el n´umero de filas y j = 1, 2 ,... , n el n´umero de columnas.
Se dice que la matriz A tiene dimensi´on m × n, si los elementos est´an dis- puestos en m filas y n columnas.
La matriz traspuesta es At^ = A∗^ = (aji). Una matriz o su traspuesta, se puede ver como un conjunto de vectores formados por filas o por sus columnas.
La mayor´ıa de las cuestiones que se van a tratar en este curso referentes a matrices y determinantes, consistir´an en calcular el rango de una matriz y en hallar la matriz inversa. Ello es debido a las aplicaciones de este tema en el de sistemas de ecuaciones lineales.
Tipos de matrices
Cuadrada: Matriz de dimensi´on n × n. En lugar de dimensi´on se habla de orden n. Los elementos aii forman la diagonal principal.
- Triangular superior: Todos los elementos que hay por debajo de la diagonal principal son cero.
2 CAP´ITULO 1. MATRI
- Triangular inferior:Todos los elementos que hay por encima de la diagonal principal son cero.
- Identidad : Los elementos de la diagonal principal son 1, y el resto son cero.
Operaciones con matrices
A = (aij ), B = (bij )
Suma (mismo orden): A + B = (aij + bij )
Producto: El n´umero de columnas tiene que coincidir con el de filas de B. El elemento ij de AB es el resultado de multiplicar escalarmente la fila i de A por la columna j de B. No es una operaci´on conmutativa (AB ̸= BA) y tiene elemento inverso (A.A−^1 = Id)
Potencia (s´olo cuadradas) An^ = A....n veces...A
Trasposici´on: La matriz traspuesta de A se obtiene intercambiando sus filas por sus columnas. Se representa por At
Producto externo: kA = C siendo C = (cij ) = (kaij )
El conjunto de matrices de orden m × n, con la suma de matrices y el producto externo, (Mm×n, +, • ) tiene estructura de espacio vectorial sobre el cuerpo (K, +, • ).
Propiedades de la matriz traspuesta
(At)t^ = A
(A + B)t^ = At^ + Bt
(AB)t^ = BtAt
(kA)t^ = kAt
Rango de una matriz Es el n´umero m´aximo de vectores linealmente in- dependientes de los que forman la matriz (bien por filas o por columnas).
Adjuntos de una matriz: Mij es un menor obtenido al eliminar la fila i y la columna j. La matriz formada por todos los adjuntos de los elementos de A multiplicados por (−1)i+j^ , se llama matriz adjunta y se denota por (adj A) = Aa^ = (mij ), con mij = (−1)i+j^ Mij
1.2. Determinantes
Es un n´umero que se asocia a cada matriz cuadrada.
Entre las propiedades m´as importantes podemos destacar:
4 CAP´ITULO 1. MATRI
CUESTIONES
1.- Demostrar:
a) El producto de toda matriz por su traspuesta es una matriz sim´etrica
b) La suma de una matriz cuadrada y de su traspuesta es sim´etrica
c) La diferencia de toda matriz cuadrada con su traspuesta es antisim´etrica
Soluci´on :
a)(AAt)t^ = (At)tAt^ = AAt
b)(A + At)t^ = At^ + (At)t^ = At^ + A = A + At
c) (A − At)t^ = At^ − A = −(A − At)
2.- Demostrar que si A =
entonces (A + A−^1 )^2 n+1^ = 2^2 n+1A.
Soluci´on : A−^1 =
⇒ A = A−^1 ⇒ A + A−^1 = 2A
(A + A−^1 )^2 n+1^ = (2A)^2 n+1^ = 2^2 n+1A^2 n+1.
Sabemos que A^2 = AA = Id; A^3 = A^2 A = A etc. (observar potencias pares e impares). Luego A^2 n^ = I; A^2 n+1^ = A
Sustituyendo tendremos
(A + A−^1 )^2 n+1^ = 2^2 n+1A
3.- Resolver el siguiente sistema matricial indicando las condiciones que se deben dar para poder despejar X e Y :
ABX + Y = C
3 X + Y = A + B
Soluci´on :
Y = A + B − 3 X;
ABX + A + B − 3 X = C
(AB − 3 In)X = C − (A + B)
X = (AB − 3 In)−^1 [C − (A + B)]
Y = A + B − 3(AB − 3 In)−^1 [C − (A + B)]
Condiciones que se han de cumplir para poder realizar todas las operaciones matriciales anteriores:
1.2. DETERMINANTES
a) Las matrices A, B, C, X e Y deben ser del mismo orden, ya que deben sumarse.
b)Los ´ordenes de A, B, y X deben permitir el producto.
c) (AB − 3 In) ha de ser regular (para que tenga inversa).
d) AB ha de ser cuadrada. Por tanto, por a) todas las matrices deben ser cuadradas.
4.- Hallar los valores de x para los que se cumple:
x a b c d x x a b c x x x a b x x x x a x x x x x
Soluci´on : Resolviendo el determinate (haciendo ceros restando a cada co- lumna la siguiente):
x a b c d x x a b c x x x a b x x x x a x x x x x
x − a a − b b − c c − d d 0 x − a a − b b − c c 0 0 x − a a − b b 0 0 0 x − a a 0 0 0 0 x x
= (x − a)
x − a a − b b − c c 0 x − a a − b b 0 0 x − a a 0 0 0 x
(x − a)^2
x − a a − b b 0 x − a a 0 0 x
= (x − a)^3 x − a a 0 x
= (x − a)^4 x.
Por lo tanto, la soluci´on a la ecuaci´on es x = 0 y x = a.
5.- Demostrar que (kA)−^1 = (^1) k A−^1
Soluci´on : Por definici´on de matriz inversa (kA)(kA)−^1 = In, entonces dividiendo por k nos queda:
A(kA)−^1 =
k In
A−^1 A(kA)−^1 =
k
A−^1 In,
de donde se extrae que:
(kA)−^1 =
k
A−^1
1.2. DETERMINANTES
montaje al d´ıa. Enunciar el problema y calcular de modo matricial (matrices inversas ) las piezas de joyer´ıa que se hacen al d´ıa.
SOLUCIONES CUESTIONES
1.-AB =
(^) y BA =
2.- Si existiese la matriz A deber´ıa ser la inversa de la matriz
pero A−^1 no existe porque el determinante de la matriz anterior es cero.
3.- A = A^2 ⇒ |A| = |A^2 | = |A||A| = |A|^2 ⇒ |A|^2 − |A| = 0 ⇒
|A|(|A| − 1) = 0 ⇒ |A| = 0 o |A| = 1
4.- Tomamos el menor de orden 2 (el determinate):
4 a
Si a ̸= 4 este menor no se anula y el Rg(A)=2.
Si a = 4 el rango es 1.
5.- El determinante de A es |A| = − 5 a^2 : Por lo tanto, si a ̸= 0 la matriz A es invertible.
SOLUCIONES PROBLEMAS.
1.- Construimos la matriz de transici´on A(recogiendo los cambios que se han producido durante el per´ıodo. Los elementos aij de esta matriz representan el tanto por uno de clientes de la empresa j pasan a la empresa i:
A =
Por columnas la suma de los elementos debe ser 1 (el total del mercado).
Las cuotas de mercado actuales se obtienen multiplicando la matriz de tran- sici´on por el vector de cuotas iniciales:
La empresa A tendr´a, trascurrido 1 a˜no, el 65 por ciento del mercado que ya ten´ıa (30 por ciento), m´as el 5 por ciento que ten´ıa la empresa B hace un a˜no (45 por ciento), m´as el 10 por ciento que ten´ıa la empresa C (25 por ciento). Por lo tanto, el n´umero de clientes que tendr´a la empresa A al cabo de un a˜no ser´a:
8 CAP´ITULO 1. MATRI
CA = 0′ 65 , 0 ′3 + 0′ 05 , 0 ′45 + 0′ 1 , 0 ′25 = 0′ 2425 ,
es decir la empresa A tendr´a el 24’25 por ciento del mercado. An´alogamente se har´ıa para B y C.
Nota: Otra forma de resolver el problema es considerando que la matriz de transici´on B se construya con los elementos bij que representen el tanto por uno de clientes de la empresa i que se pasan a la empresa j (es decir, la traspuesta de A):
B =
Las filas deben sumar 1 y las cuotas de mercado actuales se hallan multipli- cando por la matriz de cuotas iniciales:
2.- Se trata de resolver Ax = b donde A =
y b =
siendo
x =
x 1 x 2
donde x 1 es el n´umero de collares y x 2 el n´umero de pendientes.
La soluci´on vendr´a dada por x = A−^1 b =
