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Cap´ıtulo 5
Derivadas parciais
5.1. Derivadas parciais
Un conxunto A ⊂ Rn^ ´e aberto (A = Ao) se todos os seus puntos est´an ”dentro” do conxunto, ´e dicir, os puntos do ”bordo” non son do conxunto. O conxunto ser´a pechado (A = A−) se todos os puntos do ”bordo” est´an no conxunto.
Exemplos 1.
- A = (1, 4) ´e aberto.
- A = [0, 2] ´e pechado.
- A = (2, 5] non ´e nin aberto nin pechado.
- A = {(x, y) ∈ R^2 /x^2 + y^2 < 1 } ´e aberto.
- A = {(x, y) ∈ R^2 /x^2 + y^2 ≤ 1 } ´e pechado.
Observaci´on. Dados u, v ∈ Rn, chamamos produto escalar de u e v a < u, v >= uvt^ =
∑n i=1 uivi, sendo u = (u 1 , ..., un), v = (v 1 , ..., vn). Recordar que a norma de u ´e ‖u‖ =
< u, v >. Diremos que u ´e unitario se ‖u‖ = 1. Verif´ıcase que ‖u‖ ´e a distancia de u a θ, e ademais ∀u, v ∈ Rn, < u, v >= ‖u‖ ‖v‖ cos(u, v), sendo (u, v) o ´angulo entre u e v.
No que segue consideramos f : A = A^0 ⊂ Rn^ → R, que a cada x = (x 1 , ..., xn) ∈ A lle asigna f (x) ∈ R, e o elemento a = (a 1 , ..., an) ∈ Rn.
Definici´on 2. Chamamos derivada parcial de f respecto da variable xi no punto a, denotada por
Dif (a) ou
∂f ∂xi
(a), ´a derivada da funci´on f no punto a (se existe), cando todas as variables, ag´as xi, se
consideran constantes. E dicir,´
Dif (a) = lim t→ 0
f (a 1 , ..., ai− 1 , ai + t, ai+1, ...an) − f (a 1 , ..., ai− 1 , ai, ai+1, ...an) t Chamando ei = (0, ..., 0 , 1 , 0 , ...0),
Dif (a) = lim t→ 0
f (a + tei) − f (a) t N´otese que para que exista a derivada, o l´ımite debe ser un n´umero real. Ese n´umero indica a variaci´on de f en a por unidade de variaci´on de xi. En termos xeom´etricos, Dif (a) ´e a pendente da recta tanxente ´a gr´afica de f en a, cando consideramos f definida unicamente nos puntos da recta a+tei. En termos econ´omicos, Dif (a) ´e a funci´on marxinal respecto da variable xi. Por exemplo, se f (L, K) ´e
unha funci´on de produci´on dependente do traballo (L) e do capital (K), D 1 f =
∂f ∂L
´e a produtividade
marxinal do traballo, e D 2 f =
∂f ∂K
´e a produtividade marxinal do capital. Sempre que sexa posible,
calcularemos derivadas parciais usando as regras de derivaci´on. Se non ´e posible, por non tratarse de
derivadas de funci´ons ”elementais” nun punto dun conxunto aberto no que estean ben definidas, non hai outro recurso m´ais que usar a definici´on.
Exemplos 3.
- f (x, y) =
1 + x^2 + y^4 , ∀(x, y) ∈ R^2
D 1 f (x, y) =
1 + x^2 + y^4
2 x =
x √ 1 + x^2 + y^4
, ∀(x, y) ∈ R^2
D 2 f (x, y) =
1 + x^2 + y^4
4 y^3 =
2 y^3 √ 1 + x^2 + y^4
, ∀(x, y) ∈ R^2
- f (x, y) =
x^2 y x^2 + y^2
se (x, y) 6 = (0, 0)
0 se (x, y) = (0, 0)
D 1 f (x, y) =
2 xy(x^2 + y^2 ) − 2 xx^2 y (x^2 + y^2 )^2
2 xy^3 (x^2 + y^2 )^2
, ∀(x, y) 6 = (0, 0)
D 2 f (x, y) =
x^2 (x^2 + y^2 ) − 2 yx^2 y (x^2 + y^2 )^2
x^4 − x^2 y^2 (x^2 + y^2 )^2
, ∀(x, y) 6 = (0, 0)
D 1 f (0, 0) = lim t→ 0
f ((0, 0) + t(1, 0)) − f (0, 0) t
= lim t→ 0
f (t, 0) t
D 2 f (0, 0) = lim t→ 0
f ((0, 0) + t(0, 1)) − f (0, 0) t
= lim t→ 0
f (0, t) t
Definici´on 4. Dadas f : A = A^0 ⊂ Rn^ → R, a ∈ A, u ∈ Rn^ tal que ‖u‖ = 1, ch´amase derivada
direccional de f na direcci´on de u ao n´umero real (se existe) Duf (a) = lim t→ 0
f (a + tu) − f (a)
.^ t Evidentemente, Dei f (a) = Dif (a) e para u ∈ Rn^ tal que ‖u‖ = 1, Duf (a) ´e a pendente da recta tanxente cando consideramos f definida unicamente nos puntos da forma a + tu ou ben a variaci´on de f por unidade de variaci´on de x na direcci´on de u.
Exemplo 5. Sexa u =
e f (x, y) =
x^2 y x^2 + y^2
se (x, y) 6 = (0, 0)
0 se (x, y) = (0, 0)
. Ent´on:
Duf (0, 0) = lim t→ 0
f ((0, 0) + t(^12 ,
√ 3 2 ))^ −^ f^ (0,^ 0) t
= lim t→ 0
f ( 2 t , t
√ 3 2 ) t
= lim t→ 0
t^2 4
t√ 3 2 t
(t 2 4 +^
3 t^2 4
En xeral, se u = (u 1 , u 2 ) con ‖u‖ =
u^21 + u^22 = 1 , ent´on:
A direcci´on de maior decrecemento no punto (0, 0) ´e ( −
Definici´on 11. Sexa f : A ⊂ Rn^ → R, k ∈ R (constante). Ch´amase conxunto de nivel (k) de f a Sk = {x ∈ A/f (x) = k}. Se n = 2, ch´amase curva de nivel. Se n = 3, superficie de nivel.
Teorema 12. Sexa f : A = A^0 ⊂ Rn^ → R diferenciable en a ∈ A. Ent´on ∇f (a) ´e ortogonal ao conxunto de nivel S de f que pasa por a.
Nota. O plano que pasa por (a, f (a)) e ´e ortogonal a ∇f (a) ch´amase plano tanxente a f en (a, f (a)), e aproxima a f para puntos pr´oximos a a.
Exemplos 13.
- Para obter o plano tanxente ´a superficie S : x^2 + 2xy^2 + sen(xyz) = 9 no punto P = (1, 2 , 0) non temos m´ais que considerar S como a superficie de nivel (9) de f (x, y, z) = x^2 + 2xy^2 + sen(xyz). Como ∇f (P ) = (10, 8 , 2), temos que
0 =< (x − 1 , y − 2 , z), (9, 8 , 2) >= 10(x − 1) + 8(y − 2) + 2z = 9x + 8y + 2z − 22
E por tanto 10x + 8y + 2z − 22 = 0 ´e a ecuaci´on do plano tanxente ´a superficie S no punto P.
- Para obter a ecuaci´on do plano tanxente ´a gr´afica de f (x, y) = x^3 +y^2 no punto P = (2, 1 , f (2, 1)) = (2, 1 , 9), describimos a gr´afica como o conxunto de nivel (0) de F (x, y, z) = z −f (x, y) = z −x^3 −y^2. Como ∇F (2, 1 , 9) = (− 12 , − 2 , 1), temos que
0 =< (x − 2 , y − 1 , z − 9), (− 12 , − 2 , 1) >= −12(x − 2) − 2(y − 1) + (z − 9) = − 12 x − 2 y + z + 17
E por tanto − 12 x − 2 y + z + 17 = 0 ´e a ecuaci´on do plano tanxente ´a gr´afica de f no punto P.
Sexa f : A = A^0 ⊂ Rn^ → Rm. Se x ∈ A, como f (x) ∈ Rm, f (x) = f 1 (x), ..., fm(x)). Ent´on f determina m funci´ons compo˜nentes con valores reais, f 1 , ..., fm :: A ⊂ Rn^ → R. Cada funci´on fj (x), j = 1, ..., m ch´amase j-´esima coordenada de f (x).
Definici´on 14. Sexa f : A = A^0 ⊂ Rn^ → Rm, e a ∈ A. Diremos que f ´e diferenciable en a se cada funci´on coordenada fj ´e diferenciable en a, con j = 1, ..., m. En tal caso, podemos definir Df (a) : Rn^ → Rm^ como
Df (a)(h) =
Df 1 (a)(h) Df 2 (a)(h) ... Dfm(a)(h)
∇f 1 (a) ∇f 2 (a) ... ∇fm(a)
h 1 h 2 ... hn
D 1 f 1 (a) D 2 f 1 (a) ... Dnf 1 (a) D 1 f 2 (a) D 2 f 2 (a) ... Dnf 2 (a) ... ... ... ... D 1 fm(a) D 2 fm(a) ... Dnfm(a)
h 1 h 2 ... hn
A matriz (^)
D 1 f 1 (a) D 2 f 1 (a) ... Dnf 1 (a) D 1 f 2 (a) D 2 f 2 (a) ... Dnf 2 (a) ... ... ... ... D 1 fm(a) D 2 fm(a) ... Dnfm(a)
=^ M Xf^ (a)^ ∈^ Mm×n
ch´amase matriz xacobiana de f en a. No sucesivo escribiremos indistintamente M Xf (a) ou Df (a).
Exemplos 15.
- Se f (x, y, z) = (x^4 + xyz, x^2 y^2 − 3 z^2 , z + 2x + 3y), ent´on M Xf (1, 1 , 1) =
- Se g(x, y) = (xcosy, ysenx, cosysenx), ent´on M Xg(
π 2
, π) =
5.3. A regra da cadea
Sexan f = (f 1 , ..., fm) : A = A^0 ⊂ Rn^ → Rm, g = (g 1 , ..., gp) : B = B^0 ⊂ Rm^ → Rp^ tales que f (A) ⊂ B. Est´a definida por tanto a composici´on g ◦ f : A = A^0 ⊂ Rn^ → Rp, g ◦ f (x) = g(f (x)).
Teorema 16. Se f ´e diferenciable en a e g ´e diferenciable en f (a), ent´on g ◦ f ´e diferenciable en a e
D(g ◦ f )(a) = Dg(f (a)) ◦ Df (a)
Con matrices xacobianas: M Xg ◦ f (a) = M Xg(f (a))M Xf (a)
de onde obtemos a regra para as derivadas parciais:
∀i ∈ { 1 , ..., n}, ∀j ∈ { 1 , ..., p}, Digj ◦ f (a) =
∑^ m
k=
Dkgj (f (a))Difk(a)
ou ben en notaci´on cl´asica de derivadas parciais e cham´andolle yk = fk,
Dgj ◦ f ∂xi
(a) =
∑^ m
k=
∂gj ∂yk
(f (a))
∂yk ∂xi
(a)
Exemplos 17.
- Sexan f : R^2 → R^3 , f (x, y) = (xy, x + y, y^2 ), e g : R^3 → R^3 , g(x, y, z) = (x − y^2 , z^2 − x, yz). Calcular M Xg◦f (2, 1)
Soluci´on:
M Xg◦f (2, 1) = M Xg(f (2, 1))M Xf (2, 1)
M Xf (x, y) =
y x 1 1 0 2 y
(^) e por tanto M Xf (2, 1) =
M Xg(x, y, z) =
1 − 2 y 0 − 1 0 2 z 0 z y
(^) e por tanto M Xg(f (2, 1)) = M Xg(2, 3 , 1) =
Analogamente, derivando respecto de z, 2y
∂y ∂z
∂y ∂z
−z y
5.4. Derivadas de orde superior
Sexan f : A = A^0 ⊂ Rn^ → R, a ∈ A e supo˜namos que existe Dif (x) ∀x ∈ A, i ∈ { 1 , ..., n}. Est´a definida por tanto a aplicaci´on Dif : x ∈ A → Dif (x) ∈ R. Podemos plantexarnos se esta aplicaci´on ten ou non derivada parcial respecto da variable j ∈ { 1 , ..., n} no punto a, ´e dicir, se existe o n´umero:
Dj (Dif )(a) = lim t→ 0
Dif (a + tei) − Dif (a) t En caso afirmativo diremos que f ten derivada parcial de segunda orde, respecto das variables i e despois j no punto a e o denotaremos como
Dij f (a) =
∂^2 f ∂xi∂xj
(a)
Se i = j, ch´amase derivada d´uas veces respecto de i e escr´ıbese
Diif (a) =
∂^2 f ∂x^2 i
(a)
Analogamente poder´ıamos pensar se Dif ´e diferenciable en a. Se f ´e diferenciable en todos os puntos e todas as s´uas derivadas parciais de primeira orde son aplicaci´ons diferenciables no punto a, dise que f ´e d´uas veces diferenciable no punto a. En tal caso a matriz xacobiana do vector gradiente de f en a ch´amase matriz Hessiana de f en a. E dicir,´
Hf (a) =
D 11 f (a) D 12 f (a) ... D 1 nf (a) D 21 f (a) D 22 f (a) ... D 2 nf (a) ... ... ... ... Dn 1 f (a) Dn 2 f (a) ... Dnnf (a)
Teorema 19. Se f ´e d´uas veces diferenciable en a, Hf (a) ´e unha matriz sim´etrica, ´e dicir, Dij f (a) = Djif (a).
Exercicio 20 Sexa f (x, y, z) = x^2 + eyz^ , ∀(x, y, z) ∈ R^3. Calcular Hf (x, y, z).
5.5. Funci´ons homox´eneas. Teorema de Euler
A funci´on de demanda ten como variables os prezos dun conxunto de mercador´ıas e a renda do consumidor: f : Rm^ × R → R, f (p, r) = f (p 1 , ..., pm, r)
Se o mercado non ´e competitivo e os prezos e a renda aumentan na mesma proporci´on verificar´ıase que f (tp, tr) = f (p, r), ∀t > 0. En xeral isto non ´e as´ı, e est´udianse situaci´ons donde f (tp, tr) = tαf (p, r), ∀t > 0.
Definici´on 21. Sexa A ⊂ Rn^ tal que tA ⊂ A, ∀t > 0. Dise que f : A ⊂ Rn^ → R ´e homox´enea de grao α ∈ R se f (tx) = tαf (x), ∀x ∈ A, ∀t > 0
Exemplos 22.
- F (K, L) = aKαLβ^ ´e homox´enea de grao α + β.
- f (x, y) =
3 x^2 + 2y^2 ´e homox´enea de grao 1.
xy^3 − x^2 y^2 x^4 + x^3 y + y^4
´e homox´enea de grao 0.
2 x + 3y
´e homox´enea de grao −1.
xysen
x y
´e homox´enea de grao
xy^2 + y^3 e
xy √ x^2 + y^2
´e homox´enea de grao 2.
Teorema 23. Sexa f : A = A^0 ⊂ Rn^ → R con tA ⊂ A. Se f ´e homox´enea de grao α e existe Dif en A, ent´on Dif ´e homox´enea de grao α − 1.
Demostraci´on.- Sexan t > 0 e x ∈ A calesquera (fixos).
Dif (tx) = lim h→ 0
f (tx + hei) − f (tx) h
Se tk = h (e por tanto k → 0),
Dif (tx) = lim k→ 0
f (tx + tkei) − f (tx) tk
= lim k→ 0
tα(f (x + kei) − f (x)) tk
= tα−^1 lim k→ 0
f (x + kei) − f (x) k
= tα−^1 Dif (x)
Teorema (de Euler) 24. Sexa f : A = A^0 ⊂ Rn^ → R diferenciable en A, con tA ⊂ A ∀t > 0. Verif´ıcase: f ´e homox´enea de grao α ⇔ ∀x ∈ A, < ∇f (x), x >= αf (x).
Demostraci´on.- ” ⇒ ” Supo˜namos que f (tx) = tαf (x), ∀t > 0, ∀x ∈ A. Fixamos calquera x ∈ A e definimos
F (t) =
f (tx) tα^
, t ∈ (0, +∞)
N´otese que F (t) ´e constante (igual a f (x) e por tanto F ′(t) = 0, ∀t > 0, ´e dicir:
0 = F ′(t) =
< ∇f (tx), x > tα^ − αtα−^1 f (tx) t^2 α^
, ∀t > 0
Para t = 1, obtemos que < ∇f (x), x > −αf (x) = 0
” ⇐ ” Verif´ıcase que ∑^ n
i=
xiDif (x) = df (x)(x) =< ∇f (x), x >= αf (x), ∀x ∈ A
Dado calquera x ∈ A, definimos
F (t) =
f (tx) tα^
, t ∈ (0, +∞)
