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C ALCULO.´
Ingenier´ıa Inform´atica en Sistemas de Informaci´on. Dpto. Econom´ıa, M´etodos Cuantitativos e H.a^ Econ´omica. Universidad Pablo de Olavide. Curso 2011/2012.
SESI ´ON 11: APLICACIONES GEOM´ETRICAS DE LA
INTEGRAL E INTEGRALES M ´ULTIPLES
Objetivos
- Ver las distintas aplicaciones geom´etricas de la integraci´on.
- Introducir el concepto de integral m´ultiple.
- Aprender a calcular integrales dobles sobre regiones acotadas por curvas.
Contenidos
2.5 C´alculo del volumen de un cuerpo de revoluci´on
Si giramos sobre uno de los ejes una superficie, obtenemos un cuerpo de rev- oluci´on. Veamos c´omo podemos calcular su volumen.
Caso 1. Si giramos alrededor del eje OX (recta y = 0) una superficie que est´a encer- rada por dos funciones positivas f (x) y g(x) (con f (x) ≥ g(x)) entre los puntos x = a y x = b, el volumen del s´olido obtenido es
V =
∫ (^) b
a
π(f (x)^2 − g(x)^2 ) dx.
Si giramos la superficie alrededor de un eje y = k por debajo de la regi´on, el volumen del s´olido obtenido es
V =
∫ (^) b
a
π((f (x) − k)^2 − (g(x) − k)^2 ) dx.
Si el eje est´a por encima de la regi´on
V =
∫ (^) b
a
π((k − g(x))^2 − (k − f (x))^2 ) dx.
Caso 2. Si giramos alrededor del eje OY una superficie que est´a encerrada por dos funciones f (x) y g(x) (con f (x) ≥ g(x)) entre los puntos x = a ≥ 0 y x = b ≥ 0, el volumen del s´olido obtenido es
V =
∫ (^) b
a
2 πx(f (x) − g(x)) dx.
Si giramos la superficie alrededor de un eje x = k a la izquierda de la regi´on, el volumen del s´olido obtenido es
V =
∫ (^) b
a
2 π(x − k)(f (x) − g(x)) dx.
Si el eje est´a a la derecha de la regi´on
V =
∫ (^) b
a
2 π(k − x)(f (x) − g(x)) dx.
1. Integrales m´ultiples. Teorema de Fubini
El concepto de integral definida se puede generalizar a varias variables. Sea
I = [a 1 , b 1 ] × [a 2 , b 2 ] × · · · × [an, bn] ⊆ Rn
un intervalo de Rn^ y sea f : I ⊆ Rn^ → R. A la integral ∫
I
f (x) dx =
I
f (x 1 , x 2 , ..., xn) dx 1 dx 2 · · · dxn
se le llama integral m´ultiple de f en I. Si m = 2 se le llama integral doble, I = [a 1 , b 1 ] × [a 2 , b 2 ], ∫
I
f (x) dx =
I
f (x, y) dx dy.
Ejemplo 1.1 Algunos ejemplos de integrales m´ultiples son ∫ ∫
[− 2 ,4]×[0,1]
3 cos(x + y) dx dy.
∫ ∫ ∫
[− 1 ,3]^3
xy arctan(x^2 + z) dx dy dz,
donde [− 1 , 3]^3 = [− 1 , 3] × [− 1 , 3] × [− 1 , 3].
