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TEMA 1:
¿Qué es y para qué sirve la Estadística? Según Agresti, la Estadística es el arte y ciencia de aprender a partir de los datos. Consiste en la recogida, sistematización, resumen, análisis y presentación de los datos con el fin de extraer conclusiones (descriptivas, explicativas, evaluativas, predictivas) y, en su caso, tomar decisiones sobre fenómenos objeto de interés. La Estadística es una poderosa herramienta para generar conocimiento (en particular, conocimiento científica).
FUNCIONES DE LA ESTADÍSTICA:
Estadística descriptiva: Es la rama de la Estadística que se ocupa de la descripción y la clasificación de datos. Se aplica para describir las propiedades de un conjunto dado de objetos, sin pretender sacar conclusiones sobre un conjunto mayor. Básicamente, permite resumir información. La estadística descriptiva es muy útil en aquellos casos en que el investigador necesita manejar relaciones mutuas entre más de dos variables.
Estadística inferencial: Es la rama de la Estadística que se ocupa de la generalización desde los datos sobre un conjunto de objetos a un conjunto más amplio; es decir, de la inferencia desde una muestra a una población. Sus tareas principales son la estimación, la decisión y la predicción. La inferencia no es del todo exacta y segura, sino que involucra incertidumbre y error (mensurables). La estadística inferencial se basa en la teoría de la probabilidad: La teoría de la probabilidad es la parte de las matemáticas que estudia los fenómenos aleatorios estocásticos. Estos deben contraponerse a los fenómenos determinísticos, los cuales son resultados únicos y/o previsibles de experimentos realizados bajo las mismas condiciones determinadas.
Población y muestra:
Población: (N) es el conjunto de elementos u objetos a que está referido un estudio y sobre el cual queremos extraer conclusiones. (Universo: población objetivo).
Muestra: (n) es un subconjunto de elementos extraídos de una población. Lo más habitual es observar y analizar sólo ese subconjunto pero con el propósito de hacer afirmaciones sobre toda la población, dando por supuesto que la muestra es representativa (esto es, refleja las características de la población de manera bastante fidedigna, aunque imperfecta). Muestra aleatoria, muestra representativa, censo…
Unidades estadísticas: Se denomina unidad (o unidad estadística) a cada uno de los elementos u objetos que componen una población (o una muestra).
Variables y valores:
- Se denomina variable a cualquier rasgo o característica observable de los elementos de una población (o muestra) que varía de unos a otros (o para un mismo objeto). En otros términos, una variables es un símbolo que puede tomar cualquiera de los valores de un conjunto predeterminado llamado dominio de la variable (x1, x2, x3…)
- Los valores (o categorías) son cada una de las modalidades que puede tomar una variable. Una variable debe tener dos o más valores. De los contrario, sería una constante. o Variable: Sexo. Valores: Hombre y mujer. o Variable: Grupo sanguíneo: Valores: A,B,AB, o Variable: Autoubiación ideológica: Valores: 0,1,2,3… o Variable: Edad: 0,1,2,3,4,5,6…
Parámetros y estadísticas:
- Llamamos parámetros (o parámetros poblacionales) a números o medidas que dan cuenta de la distribución de determinadas variables en una población y permiten caracterizar ésta. Es decir, un parámetro es una función definida sobre los valores numéricos de una variable poblacional.
- En cambio, se denomina estadísticos o estadígrafos a esos mismos números o medidas cuando se refieren a una muestra en lugar de a una población.
- Se los suele diferenciar simbólicamente designando los parámetros con letras griegas y a los estadísticos con letras latinas (o, a veces, a los primeros con latinas mayúsculas y a los segundos con latinas minúsculas).
Nivel de medición y tipos de variables: Las variables en estadística pueden ser fundamentalmente de dos tipos: cuantitativas o cualitativas.
- Las variables cualitativas son aquellas cuyos valores o modalidades no tienen naturalmente forma numérica, sino que consisten en atributos, distinciones de tipo categórico o asignación a clases. De hecho, a menudo se les llama variables categóricas o atributos.
- Las variables cuantitativas son aquellas que se expresan naturalmente en forma numérica, ya sea como resultado de un recuento o cómputo (en términos de una “unidad de cálculo) o de una medición (en términos de una “unidad de medida”).
En la práctica, las variables de intervalo y razón son tratadas indistintamente. En su análisis se aplican los mismos procedimientos. En rigor, a las variables de intervalo y razón se las considera cuantitativas; alas nominales y ordinales, cualitativas. Sin embargo, el nivel ordinal es tratado a veces como cuantitativo y otras como cualitativo, dependiendo de su naturaleza, su número de valores y de consideraciones puramente prácticas. Cuando las variables de nivel ordinal se utilizan como variables cuantitativas se está haciendo especial hincapié en el orden jerárquico de los valores.
Variables continuas y discretas: En función de los valores que pueden tomar, las variables pueden ser continuas o discretas:
- Variables continuas: Su dominio es infinito no numerable. Teóricamente pueden tomar cualquier valor entre dos valores dados; es decir, su dominio es un intervalo continuo de números reales x. Ejemplo: la estatura, la edad.
- Variables discretas: Su dominio es finito o infinito numerable. (Sólo toma valores enteros). Ejemplo: el número de hijos.
Codificación y registro de los datos: El proceso de codificación consiste en asignar un símbolo a cada modalidad o valor de las variables y aplicar este sistema de códigos a todas y cada uno de las unidades o casos. A veces, las modalidades se agrupan en clases o intervalos o se combinan en un número menor de categorías, resumiendo información. Sin embargo, lo usual es hacerlo en “variables nuevas”, conservando toda la información en las variables originales, de modo que sea posible volver sobre ella si resulta conveniente. También es frecuente la construcción de variables derivadas a partir de las originales.
Aunque se codifiquen como números, debemos recordar siempre el verdadero tipo de las variables cuando vayamos a usar programas de cálculo estadístico. No todo está permitido con cualquier tipo de variable.
- La codificación debe estar regulada por los principios de inclusividad y exclusividad, tanto en lo que respecta al establecimiento de los criterios de codificación como a su aplicación. Es decir, las modalidades definidas para cada variable deben formar un sistema exhaustivo y excluyente. o Exhaustivo: Debe existir un símbolo para todas y cada un de las modalidades. Se debe evitar que haya casos o unidades a los que no se les haya asignado un símbolo. o Excluyente: Ningún caso puede presentar más de un valor de la misma variable.
Distribución de frecuencias. ¿Qué es y para qué sirve? La distribución de frecuencias es toda información que se ha recogido sobre la variable que se estudia. En ella se enumeran todos los valores y la frecuencia con que ha sido observado cada uno de ellos. Sirve para captar cómo se distribuyen los datos sin pérdida de información. Permite detectar de manera directa el patrón que siguen los datos.
¿Qué frecuencias? Valores que toma la variable X:
- Frecuencia absoluta del valor x: Número de veces, n, que aparece el valor x.
- Total de datos o frecuencia total: Es la suma de todas las frecuencias absolutas, es decir, el total de casos observados.
- Frecuencia relativa del valor x: Es el cociente entre la frecuencia absoluta de x, y el número total de datos, caos u observaciones N. Esto es, la proporción de x, con respecto a N.
La suma de las frecuencias relativas de todos los valores x observados es igual a
- Las frecuencias relativas se expresan muy a menudo en forma de porcentajes. A veces se expresan en forma de tasas. En todos los casos, lo que se hace al calcular frecuencias relativas es “estandarizar” las frecuencias.
- Frecuencia absoluta acumulada ascendente del valor x: Es el número de datos que son menores o igual a x.
- Frecuencia absoluta acumulada descendente del valor x: Es el número de datos que son mayores que x.
- Frecuencia relativa acumulada ascendente del valor x: Es la suma de las frecuencias relativas correspondientes a los valores menores o iguales a x.
- Frecuencia relativa acumulada descendente del valor x: Es la suma de las frecuencias relativas correspondientes al os valores mayores a x.
Principios de la representación gráfica de datos (Tufte):
- La representación gráfica de los datos debe ser clara, precisa y eficiente. Se trata de dar a quien mira el gráfico la mayor cantidad de información elaborada en el menor espacio y con el menor gasto de tinta posibles.
- Los gráficos deben “decir la verdad” sobre los datos, sin distorsiones o efectos visuales que generen confusión.
- Toda la variabilidad observable en un gráfico debe ser imputable a los datos y no al diseño.
- Debe haber una estricta proporcionalidad entre la superficie asignada en el gráfico a cada elemento y la cantidad numérica que este representa.
- Los gráficos deben ser autosuficientes, conteniendo toda la información requerida para su lectura e interpretación.
- Los gráficos deben maximizar la ratio de tinta dedicada a los datos, esto es, la tinta que no puede ser eliminada sin perder información relevante y no redundante.
Construcción de una distribución de frecuencias agrupada en intervalos: Determinar el recorrido o rango de la distribución. Dividir el rango en un número adecuado de intervalos de clases. Calcular las frecuencias de clase. Reglas de inclusión. Intervalos reales/límites reales.
TEMA 2
Medidas de tendencia central (o de centralización): Son las medidas estadísticas que reducen el conjunto de datos sobre una variable a un valor central considerado típico que se usa como representación y resumen de toda la distribución.
La moda: Es el valor con más alta frecuencia absoluta. Una distribución con una única moda se llama unimodal. Una con dos modas se llama bimodal. Una con varias modas se llama multimodal. Un sin moda se llama amodal. Es la medida apropiada para variable de nivel nominal. Con datos agrupados, la moda se encuentra en el intervalo modal, el que tiene mayor frecuencia absoluta.
Marca de clase (m): Mo Por definición la moda ofrece poca información, porque se basa en un único valor, el más frecuente. De ahí que su utilidad sea muy limitada, salvo cuando se utiliza como complemento de la información proporcionada por la media y/o la mediana.
La mediana: La mediana es el valor central o punto medio de la distribución cuando los datos están ordenador de forma ascendente. Es decir, es un valor que divide por la mitad la distribución ordenada de las observaciones. Es la medida más adecuada en variables de nivel ordinal. El 50% de os datos son menores o iguales a la mediana y el 50% restante mayores o iguales. La mediana depende del orden de los datos y del valor del que se encuentra en el centro, no del valor de todos y cada uno de ellos. Por tanto, prescinde de la información sobre las zonas de la distribución alejadas del centro.
La media (aritmética): Es la suma de los valores que toman todos y cada uno de los casos de la distribución dividida por su número total. Es la medida de tendencia central más utilizada. En rigor, sólo se puede calcular para variables cuantitativas, no con datos cualitativos. Sin embargo, a menudo se calcula para variables ordinales, que, en ese caso, son tratadas como si fuesen medidas a nivel de intervalo.
La media se basa en información sobre todos los valores de la distribución, tanto los próximos a su centro como los alejados de él.
Relaciones entre media, mediana y moda:
- En la distribución normal todos coinciden.
- En distribuciones unimodales, la mediana suele estar situada entre la moda y la media, más próxima a esta última.
- Cuando la distribución es asimétrica, la mediana se sitúa en la zona de la distribución en que hay mayor concentración de observaciones. Si la media es mayor que la mediana, hay más casos en la parte baja de la distribución; si la media es menor que la mediana, hay más casos en la parte alta de la distribución.
La media aritmética recortada: Sirve para eliminar la influencia de los valores atípicos y extremos, que es una media calculada prescindiendo de los valores situados en las colas de la distribución.
Otros tipos de media:
- Media cuadrática: se define como la raíz cuadrada del promedio de los valores al cuadrado.
- Media armónica: se define como el recíproco de la media de los recíprocos de los valores.
- Media geométrica: es la raíz N-ésima del producto de los N valores de la distribución.
Medidas de posición. Los cuantiles: La noción de cuantil generaliza esta idea: los cuantiles son valores que dividen la distribución de una variable en un cierto número de partes iguales.
- Los percentiles: Dividen una distribución de datos en 100 partes iguales. Hay por tanto 99 percentiles.
- Los cuartiles dividen la distribución en 4 partes iguales. Hay tres cuartiles, que dejan por debajo el 25% el 50% y el 75%. El “2 coincide con la mediana.
- Los quintiles dividen la distribución en 5 partes iguales. Hay 4 quintiles.
- Los deciles dividen la distribución en 10 partes iguales. Hay 9 deciles.
Los coeficientes de asimetría son medidas que permiten representar numéricamente el grado de simetría o asimetría que presenta una distribución sin necesidad de llevar a cabo su representación gráfica: Coeficientes de asimetría de Pearson: AP= (X-Mo) dividido entre S. Interpretación:
- Si la distribución es simétrica, el coeficiente de asimetría es 0.
- Si el coeficiente de asimetría es mayor a 0, la distribución es asimétrica a la derecha o positiva.
- Si el coeficiente de asimetría es menos a 0, la distribución es asimétrica a la izquierda o negativa.
Medidas de forma: La curtosis y apuntamiento hacen referencia al grado de afilamiento o achatamiento de la distribución, tomando como referencia la distribución normal. Si la distribución se asemeja a la normal, es mesocúrtica. Si la distribución es más apuntada que la normal, es leptocúrtica. Si la distribución es más achatada que la normal, es platicúrtica.
TEMA 4: INTRODUCCIÓN A LA TEORÍA DE LA PROBABILIDAD:
Teoría de la probabilidad: La teoría de la probabilidad es la rama de las matemáticas que se ocupa del análisis y modelización de los fenómenos aleatorios. Proporciona la base de la estadística inferencial. La teoría de la probabilidad identifica y estudia distribuciones teóricas o modelos probabilísticos que se pueden tomar como referencia para el análisis de las distribuciones empíricas. En una aproximación intuitiva, se entiende por probabilidad el grado en que es posible o previsible que algo ocurra.
CONCEPTOS BÁSICOS: Experimento aleatorio: experimento que cumple tres condiciones:
- Todos los resultados posibles del experimento son conocidos antes de su realización.
- El experimento se puede repetir indefinidamente en condiciones idénticas.
- No se puede predecir el resultado de cada realización del experimiento.
Espacio muestral: El conjunto de todos los resultados posibles de un experimento aleatorio. Puede ser: a) Discreto, si es finito o infinito numerable. b) Continuo, si es infinito no numerable, esto es, está formado por intervalos continuos.
Suceso: subconjunto de un espacio muestral. Puede estar formado por un único elemento o resultado posible o por varios.
- Suceso elemental: formado por un solo elemento o resultado del experimento.
- Suceso compuesto: formado por varios elementos o resultados del experimento.
- Suceso imposible: que no incluye ningún elemento del espacio muestral. Su probabilidad es nula.
- Suceso seguro: que consta de todos y cada uno de los resultados posibles que componen el espacio muestral y, por tanto, ocurre necesariamente.
- Suceso incierto: cualquier suceso que no es imposible ni seguro.
- Suceso equiprobable: se llama equiprobable al suceso que tiene la misma probabilidad de ocurrencia.
- Sucesos únicamente posibles: dos o más sucesos son únicamente posibles si en cada realización del experimento aleatorio ha de ocurrir necesariamente alguno de ellos.
- Sucesos disjuntos o mutuamente excluyentes: dos sucesos del mismo espacio muestral son incompatibles entre sí cuando no tienen elementos en común.
- Sucesos complementarios: se llama complementarios a dos sucesos si no pueden ocurrir simultáneamente.
TEMA 5: VARIABLES ALEATORIAS Y DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD:
Una variable aleatoria es una función que hace corresponder un número real a cada resultado posible de un experimento aleatorio. Usamos el símbolo X para designar la variables y “x” para designar sus valores.
A partir de un mismo experimento se pueden definir distintas variables aleatorias, según cuál sea la regla o función elegida.
Tipos de variables aleatorias:
- Es discreta si puede tomar un número finito de valores. Ejemplo: puntuación obtenida al lanzar dos dados, número de veces que es necesario lanzar una moneda hasta que sale cara.
- Es continua si puede tomar un número infinito no numerable de valores, esto es, si puede tomar cualquier valor de un intervalo de números reales. Ejemplos: tiempo que tarda un corredor en ponerse en movimiento cuando eun juez da la salida en una carrera.
Distribución de probabilidad: Se llama distribución de probabilidad a la distribución formada por todos y cada unos de los valores de una variable aleatoria, acompañados de sus respectivas probabilidades de ocurrencia.
Función de probabilidad (variables discretas) La distribución de probabilidad de una variables aleatoria discreta X viene determinada por una regla matemática que especifica cuál es la probabilidad de ocurrencia de cada uno de los valores de la variable. A esa regla se le llama función de probabilidad, la función que hace corresponder a cada valor de la variable aleatoria su probabilidad: F(x)=p=P(X=x).
Función de densidad (variables continuas): En el caso de las variables continuas, no es posible definir una función de probabilidad. La probabilidad de ocurrencia de cada valor singular es nula. En este caso ,las probabilidades se refieren a intervalos de números reales. Es decir, se trata de determinar la probabilidad de que la variable aleatoria toma cualquier valor perteneciente a un cierto intervalo. Se llama función de densidad a la función f(x) tal que, para dos números cualesquiera a y b, tales que a<b, la probabilidad de que la variable aleatoria continua X toma un valor entre a y b es: _______________________________
Se puede entender la función de densidad como la función que define la curva límite que se obtiene si, en un histograma que representa frecuencias relativas, se aumenta indefinidamente el número de datos y se disminuye la amplitud de los intervalos.
En estos términos, las condiciones que satisface la función de densidad se pueden entender así:
- La altura de la curva es siempre mayor o igual que cero.
- El área total entre la curva y el eje de abscisas es igual a uno.
- La probabilidad de que la variable toma uno cualquiera de los valores incluidos en un determinado intervalo viene dada por el área bajo la curva en ese intervalo, expresada como proporción del área total.
Función de distribución: Se llama función de distribución a la función que determina la probabilidad de que una variable aleatoria X toma un valor igual o menor que un determinado valor x: F(x) = P(X < o = x).
Del mismo modo que se usan medidas numéricas para describir las características fundamentales de una distribución de frecuencias, se usan medidas análogas para dar cuenta de las características de la distribución de probabilidades de una variables aleatoria.
Distribución de Bernoulli: Se llama experimento de Bernoulli a un experimento que tiene dos resultados posibles cuya probabilidad es fija para todos los ensayos o repeticiones del experimento. Una variable aleatoria definida a partir de un experimento semejante tiene una distribución de Bernoulli, cuya función de probabilidad es _________________________
Distribución binominal: A partir de una serie de repeticiones de un experimento de Bernoulli se puede definir una variable aleatoria binomial, que consiste en el número de éxitos obtenidos en n realizaciones del experimento. Esta variable es equivalente a la suma de todas las variables de Bernoulli definidas sobre los n ensayos.
Otras distribuciones: Distribución de Poisson. Distribución geométrica. Distribución binomial negativa.
Distribución normal: La distribución normal es una de las distribuciones teóricas o modelos probabilísticos más importantes y desempeña un papel central en la estadística inferencial. Propiedades:
- Es unimodal
- Es simétrica con respecto al eje definido por la máxima ordenada, en el cual coinciden la media, la mediana y la moda.
- Es mesocúrtica.
TEMA 6: MUESTREO Y FUNDAMENTOS EN LA INFERENCIA ESTADÍSTICA
Población: Es el conjunto de elementos u objetos a que está referido un estudio y sobre el cual queremos extraer conclusiones.
Muestra: Es un subconjunto de elementos extraídos de una población. En sentido laxo, el muestreo es el procedimiento a través del cual se extrae una muestra a partir de una población.
Parámetros y estadísticos: Llamamos parámetros a números o medidas que dan cuenta de la distribución de determinadas variables en una población y permiten caracterizar ésta. En cambio, se denomina estadísticos a esos mismos números o medidas cuando se refieren a una muestra en lugar de a una población.
Párametros:__________________
Estadísticos:__________________
Lo que esperamos de una muestra es que sea representativa de la población. Es decir, que refleje adecuadamente, de manera fidedigna, las características de la población. Puede fallar el que haya un sesgo, debido a las características del procedimiento de extracción de la muestra o a desajustes entre el marcos muestral y la población objetivo o que haya error aleatorio que es la discrepancia entre muestra y población que se deriva del hecho de que se extrae al azar una entre las muchas muestras posibles de una misma población.
TIPOS DE MUESTREO:
- Probabilístico: se puede calcular de antemano la probabilidad que tiene cada unidad de la población de llegar a formar parte de la muestra.
- No probabilístico: no se puede calcular de antemano la probabilidad que tiene cada unidad de la población de llegar a formar parte de la muestra.
- Aleatorio simple: todos los elementos de la población tienen igual probabilidad de ser elegidos para formar parte de la muestra. La selección se realiza al azar, tomando directamente uno a unos todos los elementos que van a formar para de la muestra a partir de una enumeración exhaustiva.
- Sistemático: En lugar de seleccionar uno a uno todos los elementos que van a formar la muestra, se procede del modo siguiente: se selecciona un primer elemento de la muestra, y a partir de él, se elige uno los restantes.
- Estratificado: Una vez definidos los estratos, la decisión más importante que hay que tomar es la de cómo distribuir entre ellos el número total de unidades de la muestra (afijación). Que puede ser proporcional o no proporcional.
- Por conglomerados: La selección se lleva a cabo en varias fases, distinguiendo niveles jerárquicos de agrupamiento de los elementos de la población. En cada fase, se seleccionan agrupaciones existentes de manera “natural” en el espacio y el tiempo.
La distribución muestral: Utilizamos los estadísticos calculados a partir de los datos de una muestr para estimar los parámetros poblacionales. A partir de una población se pueden extraer distintas muestras de un determinado tamaño. Si la población es grande, el número de muestras posibles de un mismo tamaño es muy elevado. En el caso de muestreo sin reemplazo: ____________________
a)____________________
b)____________________
Las características o propiedades de una distribución muestral pueden ser descritas exactamente igual que las de la distribución de cualquier variable.
El error típico: A la desviación típica de una distribución muestral se le llama error típico. Y este , mide la variabilidad en la distribución de una variable. La magnitud del error típico está relacionada positivamente con la magnitud de la varianza poblacional y negativamente con el tamaño de la muestra. Concretamente la fórmula del error típico es____________________________
TEMA 7: ESTIMACIÓN ESTADÍSTICA:
Recordamos una vez más que un estimador es un procedimiento utilizado para estimar un parámetro poblacional, es decir, para estimar el valor o número que da cuenta de un determinado aspecto de la distribución de una variable en una población. Llamamos estimación a la operación de aplicar un estimador y también a su resultado, es decir, al valor obtenido al aplicar el estimador a una muestra determinada para obtener una aproximación al correspondiente parámetro de la población a partir d la cual ha sido extraída la muestra.
Tipos de estimación:
- Estimación puntual: da como resultado un solo valor que se toma como aproximación única al parámetro poblacional.
- Estimación por intervalo.
Propiedades deseables de un estimador: a) Eficiencia: Este criterio sólo es útil para comparar dos estimadores de un mismo parámetro cuando ambos son insesgados. b) Consistencia: un estimador es consistente si, a medida que el tamaño de la muestra es mayor, ofrece estimaciones más próximas al valor del parámetro poblacional. c) Suficiencia: Un estimador es suficiente si utiliza la máxima información relevante sobre el parámetro poblacional que está contenida en la muestra.
