Teorema de la Probabilidad Total, Apuntes de Estadística

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Teorema de la probabilidad total Sea E el espacio muestral asociado a un experimento aleatorio. Sean S,,S,,...,$, sucesos de AE), tales S.US,U..US, =E, por lo que se dice que forman un sistema exhaustivo, y 5,118, =p, Vi j porlo que se dice que forman un sistema mutuamente excluyente. Diremos que forman un sistema completo de sucesos de P(E). Sea $ otro suceso de ? (E), distinto de los anteriores, tal que (Ss) +0, que puede realizarse o no, después de que se haya realizado, uno de los sucesos $,,S,,...,S, que lorman el sistema. Supongamos que conocemos las probabilidades píS, ) pls, 1 p(s,) a las que llamamos probabilidades a priori, y las probabilidades p(s 78, ) p(S/S,)..., óS/ 5), a las que llamamos verosimilitudes del suceso S. En estas condiciones se verifica que: HS) = p(S)p(S75)+ p(S.Jp(S75,)+....+ p(S,)Jn(S/5,). Demastración E Estaríamos en la situación descrita esquemáticamento cn la figura. Observamos que: $ =(s, AS)U(s, N$)U..(S, NS) siendo (s, NSIN(S, NS)=(S,NS NS=4 Aplicando el Axioma 2: p[s)= píS, ns)+ pÍS, Nns)+ e pls, ns) Aplicando el teorema del producto: pÁ5)= pls, Jp(S/5/)+ p(S,)p(S 75,)+....+ p(S,)p(S/S,) c. 9.0. Ejemplo: Una empresa que se dedica a fabricar un único tipo de piezas, dispone para su producción de tres máquinas A, B y C, de tal forma que A realiza el 50% de la producción, B el 30% y C el resto. Se sabe que A produce cl 5% de piezas defectuosas, B el 6% y C el 15%. Hallar la probabilidad de que una pieza seleccionada al azar entre las producidas en dicha fábrica sea defectuosa. Sca A el suceso consistente en que “la pieza seleccionada haya sido producida por la máquina A”, B que “la pieza seleccionada haya sido producida por la máquina B” y C que “la pieza seleccionada haya sido producida por la máquina C”. Los sucesos A, B y C forman un sistema completo de sucesos, ya que cualquier pieza producida en la fábrica, lo ha sido por una de las ters máquinas y sólo por una de ellas. Por el enunciado sabemos que pla) =0,5 p(B) =0,3 p(c) = (0,2 que son probabilidades a priori. También sabemos que po 1 A)= 0,05 p(D/ B) =0,06 y p(D/ C)= 0,15 que son las verosimilitudes del suceso D consistente cn que la pieza seleccionada al azar sea defectuosa. Aplicando el teorema de la probabilidad total: pP(D)= p(AJp(D/ 4) + P(B)p(D/ B)+ p[C)p(D/C)=0,5.0,05+0,3.0,06+0,2.0.15= =0,025+0,018+0,030 = 0,073 Teorema de Bayes Estamos en el mismo ambiente descrito en el teorema anterior, y tras realizarse el suceso S podemos plantearnos la siguiente pregunta, ¿Cuál es la probabilidad de que previamente a la realización de S se haya realizado el suceso $, de los que forman el sistema completo? Notaremos esta probabilidad por HS, 15 ) y diremos que es una probabilidad a posteriori, puesto que nos planteamos su cálculo con posterioridad a la realización del suceso $. La obtenemos de la siguiente forma: rs, /s)= 26,05) + ÁS Ip (S /S,) ps) S o(S)p(S/8,) *Aplicamos el teorema del producto y el teorema de la probabilidad total. Este resultado es la expresión matemática del teorema de Bayes y nos referimos a él como fórmula de Bayes. Ejemplo: En el ejemplo del apartado anterior, nos planteamos la siguiente pregunta: Si en un control de calidad encontramos una pieza defectuosa, ¿cuál os la probabilidad de que haya sido fabricada por la máquina A? Nos piden la probabilidad a posteriori pla ? D). La obtenemos aplicando la fórmula de PND) _, pla)Jp(D/A4)_0,5.0,05 _ 25 AD) AS) 0073 73 Bayes: p(A/ D)= Ejemplo: Un médico por la sintomatología inicial que presenta un enfermo, determina que posee la enfermedad M con probabilidad 0,7, o bien la enfermedad N, con síntomas muy parecidos, con probabilidad contraria, cs decir con probabilidad 0,3. Para estar más seguro ordena un análisis de sangre. Se sabe que si el paciente padece M, el análisis da positivo en el 90% de los casos, mientras que si padece N, sólo da positivo en el 30% de los casos. Si el análisis ha resultado positivo, ¿cuál es la nueva probabilidad de que el enfermo padezca realmente la enfermedad M? Por el enunciado conocemos las probabilidades a priori pl )= 0,7 y p(N) =0,3. También conocemos las verosimilitudes p(+/M)=0,9 y pl+/N)=03 de que el análisis dé positivo. Nos preguntamos por la probabilidad a posteriori: pira p(M)pl+ 154) q 07.09 __063_ p(M)pl+/ M)+ p(N)pl+/N) 0,7.0.9+03.03 0,72 Para asegurarse más, ordena otra prueba diagnóstica, que se sabe da positiva en el 955 de los pacientes que padecen M y en el 1% de los que padecen N. Al dar positiva en el paciente, ¿cuál es la probabilidad de que padezca M? Las probabilidades a priori son ahora pím) =0,875 y PAN) =0,25, y las verosimilitudes de la nueva prueba son pl+ ¿M ) =09 y pl+ /N)=03 Nos preguntamos por la probabilidad a posteriori: PM /4)= p(M)p(+/M) 0875095 0908 p(MIp(+ / M)+ p[IN)p(+/N) 0,875.0,95+0,125.0,01 0,875