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Grado en Relaciones Laborales y Recursos Humanos. Profesor. Helena Mart´ınez Puertas Curso 2013/
TEMA 3: PROBABILIDAD.
Los m´etodos descriptivos estudiados en los dos temas anteriores s´olo nos permiten analizar y extraer la informaci´on contenida en un conjunto de datos de tama˜no manejable, pero su alcance no va m´as all´a de dicho conjunto de datos. Ahora bien, recordemos que el objetivo ´ultimo que persigue la “Es- tad´ıstica” es el de ver c´omo se pueden derivar las conclusiones obtenidas en un conjunto peque˜no de individuos a un conjunto de datos m´as amplio. Para poder generalizar las conclusiones obtenidas en la muestra a la Poblaci´on objeto de estudio es indispensable que dicha muestra se haya seleccionado de forma aleatoria (al azar). De este modo, el C´alculo de Probabilidades proporcionar´a modelos matem´aticos que actuar´an de puente entre lo observado (Muestra) y lo desconocido (Poblaci´on).
3.1. Experimento Aleatorio. Espacio Muestral. Sucesos.
En Estad´ıstica se utiliza la palabra experimento para designar todo acto que proporciona unos datos. Se van a distinguir dos tipos de experimentos: deterministas y aleatorios. Los primeros se producen en aquellas situaciones, en las que la realizaci´on sucesiva de un experimento en las mismas condiciones, produce el mismo resultado (por ejemplo, la ca´ıda libre de los cuerpos). Los segundos son aquellas situaciones en las que la realizaci´on sucesiva de un experimento en las mismas condiciones produce resultados distintos (por ejemplo, el resultado de lanzar una moneda). En los experimentos deterministas las mismas causas producen los mismos efectos, mientras que en los experimentos aleatorios las mismas causas producen distintos efectos. Esta distinci´on lleva a destacar que los resultados de un experimento determinista, se pueden predecir, no sucediendo as´ı con los de un experimento aleatorio. Al realizar un experimento aleatorio llevamos a cabo una operaci´on, al final de la cual obtenemos un resultado, cuyo valor es, a priori, impredecible, pero pertenece a un conjunto que se puede describir completa- mente antes de realizar el experimento.
Definici´on 1 Experimento Aleatorio.
Un experimento se llama aleatorio, si verifica que:
- Se conocen previamente todos los resultados posibles asociados a dicho experimento.
- Se puede repetir bajo las mismas condiciones.
- No se puede predecir el resultado del mismo, antes de realizarlo.
- Si se repite un n´umero grande de veces, aparece una regularidad estad´ıstica en los resultados obtenidos.
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Ejemplo 1 Algunos ejemplos de experimentos aleatorios son los siguientes:
- El lanzamiento de un dado.
- El lanzamiento de una moneda hasta que aparezca cara.
- La duraci´on de una llamada de tel´efono
Definici´on 2 Espacio Muestral.
Se llama Espacio Muestral, asociado a un experimento aleatorio, al conjunto de todos los posibles resultados de dicho experimento. Se le denota por Ω.
Ejemplo 2 Los espacios muestrales asociados al Ejemplo 1, son los siguientes:
- Ω = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 }.
- Ω = {C; (×, C); (×, ×, C); (×, ×, ×, C);.. .}.
- Ω = [0, ∞[.
Como puede apreciarse con los ejemplos, los espacios muestrales pueden ser: finitos o infinitos.
Definici´on 3 Suceso.
A cualquier subconjunto* que se pueda considerar del espacio muestral se le llama suceso. Se representa por una letra may´uscula.
- Un subconjunto del espacio muestral es cualquier conjunto de menor (o igual) tama˜no que el espacio muestral, formado por elementos de dicho espacio muestral.
Ejemplo 3 Consideremos el experimento aleatorio del lanzamiento de un dado, donde el espacio muestral asociado es Ω = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 }. En este experimento, nos puede interesar, por ejemplo, estudiar los siguientes sucesos:
A =“el resultado obtenido es un n´umero impar”. Nos interesamos, as´ı, por el suceso A = { 1 , 3 , 5 }.
B = “el resultado obtenido es un n´umero par”. Nos interesamos, as´ı, por el suceso B = { 2 , 4 , 6 }.
C = “el resultado obtenido es un n´umero mayor que 2”. Nos interesamos, as´ı, por el suceso C = { 3 , 4 , 5 , 6 }.
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Intersecci´on de los sucesos A y B: suceso formado por los elementos comunes de A y B, es decir, es el suceso que ocurre si los dos sucesos A y B tienen lugar a la vez. Lo representaremos por A ∩ B.
Uni´on de los sucesos A y B: suceso que se forma cuando juntamos todos los elementos de A y de B. As´ı, es el suceso que ocurre cuando aparece al menos uno de los dos sucesos, es decir, cuando ocurre A o ocurre B. Lo denotaremos por A ∪ B.
Diferencia de los sucesos A y B: suceso que se forma quitando de los elementos de A aquellos elementos que son tambi´en de B, es decir, es el suceso que ocurre si sucede A pero no (y no) B. Lo denotaremos por A − B o por A ∩ B¯.
Diferencia sim´etrica de los sucesos A y B: es el suceso que se forma si s´olamente sucede A o s´olamente sucede B (no pueden suceder los dos a la vez). Lo denotaremos por A 4 B.
Sucesos incompatibles o disjuntos: dos sucesos A y B son incompatibles cuando no tienen ning´un elemento com´un, es decir, cuando su intersecci´on es el suceso imposible.
A y B incompatibles si A ∩ B = ∅
Estas operaciones de sucesos que acabamos de definir verifican algunas propiedades importantes. De todas esas propiedades, nosotros s´olo nos centraremos en esta asignatura en las dos propiedades siguientes:
PROPIEDAD COMUTATIVA DE LA UNI ´ON E INTERSECCI ´ON :
A ∪ B = B ∪ A.
A ∩ B = B ∩ A.
LEYES DE MORGAN :
A¯ ∩ B¯ = A ∪ B.
A¯ ∪ B¯ = A ∩ B.
Ejemplo 5 Considermos el experimento aleatorio del lanzamiento de un dado, donde el espacio muestral asociado es Ω = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 }. Definamos los siguientes sucesos:
A = “ el n´umero obtenido es par”, A = { 2 , 4 , 6 }.
B = “ el n´umero obtenido es impar”, B = { 1 , 3 , 5 }.
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C = “ el n´umero obtenido es el 4 o el 6”, C = { 4 , 6 }.
Con estos sucesos, es obvio que:
- Suceso contenido en otro. C ⊂ A ya que todos los elementos de C son tambi´en elementos de A y A es un conjunto m´as grande (con m´as elementos) que C.
- Sucesos contrarios. A = { 1 , 3 , 5 }, B = { 2 , 4 , 6 } y C = { 1 , 2 , 3 , 5 }.
- Intersecci´on de sucesos. A ∩ C = { 4 , 6 } ya que son los ´unicos elementos que tienen en com´un el suceso A y el suceso C.
- Uni´on de sucesos. A∪B = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 } (ya que es el resultado de unir todos los elementos del suceso A y del suceso B) y B ∪ C = { 1 , 3 , 4 , 5 , 6 } (ya que es el resultado de unir todos los elementos del suceso B y del suceso C).
- Diferencia de sucesos. A − C = { 2 }, ya que es el resultado de quitarle al suceso A aquellos elementos que son del suceso C.
- Sucesos incompatibles. Los sucesos A y B son sucesos incompatibles, ya que no tienen ning´un elemento en com´un, es decir, A ∩ B = ∅. Es imposible que sucedan los dos sucesos a la vez (cuando lanzas el dado, o te sale un n´umero par o te sale un n´umero impar, pero las dos cosas a la vez es imposible).
Ejemplo 6 Se analiza en un almac´en de electricidad las funciones de los empleados, d´andose que hay tres tipos de funciones: atender al p´ublico, llevar la contabilidad y almacenar el material recibido. Representar mediante sucesos las siguientes categor´ıa de empleados:
- El empleado atiende al p´ublico.
- El empleado lleva la contabilidad.
- El empleado almacena el material.
- El empleado no atienden al p´ublico.
- El empleado no lleva la contabilidad.
- El empleado no almacena el material.
- El empleado atiende al p´ublico y almacena el material.
- El empleado atienden al p´ublico o almacena el material.
- El empleado puede realizar indistintamente las tres funciones.
- El empleado atiende al p´ublico pero no realiza la contabilidad.
- El empleado no lleva la contabilidad ni almacena el material.
- El empleado o bien s´olo atienden al p´ublico o bien s´olo almacena el material.
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- Probabilidad de que al lanzar el dado salga un n´umero par.
- Probabilidad de que al lanzar el dado, salga un n´umero mayor que 2.
- Probabilidad de que al lanzar el dado salga el 1 o el 5.
Ejemplo 10 Si lanzamos al aire 3 veces una moneda equilibrada, ¿qu´e probabilidad hay de que salgan dos caras?
La definici´on de “probabilidad” proporcionada por Laplace se queda un poco l´ımitada ya que ¿c´omo calculamos probabilidades en el caso de que todos los resultados posibles del experimento no sean igualmente probables?, ¿y si no conocemos el n´umero de casos favorables al suceso?. Por este motivo, surge una versi´on m´as amplia del concepto de “probabilidad”.
Definici´on 1 Una probabilidad sobre un espacio muestral Ω es una funci´on matem´atica que analiza cada suceso aleatorio A y le asigna un n´umero, P (A), que expresa la posibilidad de su ocurrencia. Dicha funci´on debe cumplir las tres propiedades siguientes, conocidas como los axiomas de Kolmogorov:
- La probabilidad de todo el espacio muestral es 1.
P (Ω) = 1
- La probabilidad de cualquier suceso es siempre un n´umero entre cero y uno, ambos inclusive.
0 ≤ P (A) ≤ 1
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- Si A y B son dos sucesos incompatibles, es decir, no pueden darse a la vez, entonces la probabilidad de que ocurra A o B es la suma de las probabilidades de que ocurra cada uno de ellos: P (A ∪ B) = P (A) + P (B) Esta tercera afirmaci´on se puede generalizar para el caso de m´as de dos sucesos incompatibles. As´ı, si consideramos A 1 , A 2 , ..., An n sucesos incompatibles dos a dos, es decir, A 1 ∩ A 2 = ∅, A 2 ∩ A 3 = ∅,..., A 1 ∩ An = ∅,.... (no se pueden dar dos de dichos sucesos a la vez), entonces
P
[
A 1 ∪ A 2 ∪ ... ∪ An
]
= P (A 1 ) + P (A 2 ) + ... + P (An).
Ejemplo 11 Se lanza al aire una moneda trucada, donde la probabilidad de obtener cara es doble que la de obtener cruz. ¿Qu´e probabilidad hay de que salga cruz al lanzar la moneda?, ¿y de que salga cara?
Ejemplo 12 En una clase el 20 % de los alumnos tienen los ojos azules y la probabilidad de que un alumno tenga los ojos verdes es la misma de que los tenga marrones. Si se toma al azar un estudiante, ¿qu´e probabilidad hay de que tenga los ojos verdes?
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Ejemplo 14 En una clase en la que todos practican alg´un deporte, el 60 % de los alumnos juega al f´utbol o al baloncesto y el 10 % practica ambos deportes. Si adem´as hay un 60 % que no juega al f´utbol, cu´al ser´a la probabilidad de que escogido al azar un alumno de la clase:
- Juegue s´olo al f´utbol.
- Juegue s´olo al baloncesto.
- Practique uno solo de los deportes.
- No juegue ni al f´utbol ni al baloncesto.
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3.3. Probabilidad Condicionada.
Hasta ahora, hemos introducido el concepto de probabilidad considerando que la ´unica infor- maci´on sobre el experimento es el espacio muestral, es decir, s´olo conocemos los resultados posibles asociados a dicho experimento.
Sin embargo, en ocasiones, realizado el experimento aleatorio, se conoce que un de- terminado suceso ha ocurrido y esta informaci´on puede modificar la probabilidad de que ocurra otro suceso.
Ejemplo 15
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Ejemplo 17 Una empresa ha realizado 100 servicios en un mes, 80 pagados y 20 pendientes de cobro, seg´un la siguiente tabla:
Con factura Sin factura Cobradas 60 20 Pendientes 13 7
Calcular:
- Probabilidad de que el servicio est´e pagado.
- Probabilidad de que el servicio no est´e pagado.
- Probabilidad de que se haya emitido factura.
- Probabilidad de que no se haya emitido factura.
- Probabilidad de que el servicio no est´e pagado y no se haya emitido factura.
- Probabilidad de que el servicio se haya cobrado o de que no se haya emitido factura.
- Si el servicio seleccionado est´a cobrado, calcular la probabilidad de que no se haya emitido factura.
- Si el servicio seleccionado no est´a cobrado, calcular la probabilidad de que se haya emitido factura.
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Ejemplo 18 Una determinada empresa est´a interesada en controlar las operaciones contables en las que interviene la cuenta de tesorer´ıa. Su departamento de control interno verifica la correcta contabilidad de los movimientos de dicha cuenta. Por experiencia de otros a˜nos, se sabe que la probabilidad de no detectar un error significativo por el departamento de control interno es de 0,1. La empresa decide contratar los servicios de una auditora; la probabilidad de que un error significativo sea detectado por dicha auditora es de 0.95. Y adem´as, la probabilidad de que lo detecte el departamento de control interno y los auditores es de 0.89.
- Identifica y da nombre a los sucesos que aparecen en el enunciado.
- ¿Cu´al es la probabilidad de que un error significativo sea detectado por el departamento de control interno y no por los auditores?
- ¿Cu´al es la probabilidad de que un error significativo no sea detectado ni por la auditora ni por el departamento de control interno?
- ¿Cu´al es la probabilidad de que un error significativo sea detectado solamente por uno de los dos departamentos?
- ¿Cu´al es la probabilidad de que si se detecta un error significativo por la auditoria, no sea detectado por el departamento de control interno?
- ¿Cu´al es la probabilidad de que si no se detecta un error significativo por el departamento de control interno, sea detectado por la auditoria?
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La expresi´on anterior dada para la intersecci´on de dos sucesos, se puede generalizar a un n´umero finito de sucesos del espacio muestral. As´ı, si consideramos A 1 , A 2 ,... , An n sucesos del espacio muestral, entonces, se verifica que:
P (A 1 ∩ A 2 ∩ · · · ∩ An) = P (A 1 ) · P (A 2 |A 1 ) · P (A 3 |A 1 ∩ A 2 ) · · · P (An|A 1 ∩ A 2 ∩ · · · ∩ An− 1 )
Se utiliza en experimentos aleatorios que est´an formados por etapas consecutivas (de la 1 a la n) y nos permite calcular la probabilidad de que ocurra una intersecci´on de sucesos a lo largo de las etapas. Esta probabilidad queda expresada como el producto de la probabilidad inicial P (A 1 ) y las probabilidades en cada etapa condicionadas a las etapas anteriores.
Ejemplo 20 Un carcelero con ganas de diversi´on propone a tres presos el siguiente juego: toma tres palillos de los cuales uno tiene menor longitud que los otros dos. El primer preso escoge un palillo y, si es el de menor longitud, el carcelero lo dejar´a en libertad; si no, el segundo preso escoge uno de los dos palillos restantes, y, si es el de menor longitud, el carcelero lo dejar´a en libertad; si no, dejar´a en libertad al tercer preso. El tercer preso, muy enfadado, protesta porque piensa que tiene menor probabilidad de ganar el juego que sus dos compa˜neros. ¿Est´a en lo cierto el tercer preso?.
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Cuando a un suceso B se puede llegar a trav´es de varias v´ıas o caminos A 1 , A 2 , ..., An incom- patibles entre s´ı, podemos calcular la probabilidad de B utilizando el siguiente teorema:
TEOREMA DE LA PROBABILIDAD TOTAL
Supongamos que realizamos un experimento aleatorio cuyo conjunto de posibles resultados es de tama˜no n (es decir, su espacio muestral asociado est´a formado por n sucesos A 1 , A 2 , ..., An) y donde dichos sucesos son incompatibles dos a dos (no pueden darse a la vez dos de esas soluciones, es decir, A 1 ∩ A 2 = ∅, A 2 ∩ A 3 = ∅, ..., A 1 ∩ An = ∅, ....).
Si queremos calcular la probabilidad de un suceso B y conocemos las probabilidades condi- cionadas, P (B|A 1 ), P (B|A 2 ), ..., P (B|An)
entonces: P (B) = P (A 1 ) · P (B|A 1 ) + P (A 2 ) · P (B|A 2 ) + · · · + P (An) · P (B|An).
Ejemplo 21 Un avi´on realiza diariamente el mismo servicio. En un a˜no hubo 50 d´ıas con niebla. Se ha comprobado que si el d´ıa es con niebla, la probabilidad de que ocurra un accidente ese d´ıa es de 0.04 mientras que si el d´ıa es sin niebla, la probabilidad de un accidente es de 0.003. Calcular la probabilidad de que al escoger al azar un d´ıa en el a˜no:
- haya ocurrido un accidente.
- si un d´ıa ha ocurrido un accidente, el d´ıa haya sido sin niebla.
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Ejemplo 23 En un informe realizado por un organismo internacional, se recogen los siguientes datos sobre un determinado pa´ıs: El 60 % de su poblaci´on son mujeres. El 10 % de los hombres son estudiantes universitarios. El 12 % de las mujeres son estudiantes universitarios. El 35 % de las universitarias est´an cursando carreras de letras.
- Calcule la probabilidad de que un habitante de este pa´ıs elegido al azar sea mujer, universitaria y est´e cursando una carrera de letras.
- ¿Qu´e porcentaje de la poblaci´on del pa´ıs est´a cursando estudios universitarios?
- ¿Qu´e proporci´on de universitarios del pa´ıs son hombres?
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3.4. Sucesos Independientes.
Hemos visto que, cuando tenemos informaci´on adicional sobre el resultado de un experimento aleatorio, la probabilidad de que ocurra otro suceso puede modificarse. Ahora bien, en ocasiones, el hecho de conocer que un suceso ha ocurrido, no modifica la probabilidad de que ocurra otro suceso. Esto suceder´a en el caso de que los dos sucesos sean independientes.
Ejemplo 24
