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ALGEBRA LINEAL.
I.- MATRICES Y VECTORES.
MATRICES. DEFINICIONES BÁSICAS-
Se define una matriz real de orden o dimensión 𝒎𝒙𝒏 como el conjunto de 𝑚𝑥𝑛 números reales dispuestos en 𝑚 filas y 𝑛 columnas y recogidos en una tabla, de la forma siguiente:
m m mn
n
n
a a a
a a a
a a a
A
1 2
21 22 2
11 12 1
El símbolo (𝑎𝑖𝑗) , con 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚 y 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑛, designa la matriz completa.
𝑎𝑖𝑗 es el elemento de la matriz que ocupa la fila i y la columna j.
Se llama dimensión u orden de la matriz al número de filas por el de columnas, y se designa por 𝑚𝑥𝑛. Si m n la matriz es rectangular ; si 𝑚 = 𝑛 se dice que la matriz es cuadrada y de orden 𝑛. En el caso particular en que 𝑚 = 1 la matriz 𝐴 se conoce como matriz (ó vector) fila, y si es 𝑛 = 1 como matriz (ó vector) columna. Si 𝑚 = 𝑛 = 1, entonces 𝐴 es unidimensional y por tanto un número.
Dadas dos matrices 𝐴 𝑦 𝐵 (𝑐𝑜𝑛 𝐵 = (𝑏𝑖𝑗)) de igual dimensión, diremos que 𝐴 = 𝐵 si y sólo si 𝑎𝑖𝑗 = 𝑏𝑖𝑗 , ∀𝑖, 𝑗.
Repasaremos a continuación las definiciones de matrices particulares que, por su especial aplicación, conviene recordar. Así:
- Matriz traspuesta 𝐴𝑡^ (se obtiene cambiando en 𝐴 filas por columnas )
- Matriz simétrica ( 𝐴 lo será cuando𝐴 = 𝐴𝑡, con 𝐴 cuadrada )
- Matriz antisimétrica (cuando en 𝐴 se verifica que 𝑎𝑖𝑗 = −𝑎𝑖𝑗 , con 𝐴 cuadrada )
- Matriz nula o matriz cero ( 𝑎𝑖𝑗 = 0. ∀ 𝑖, 𝑗. La notaremos (^0) 𝑚𝑥𝑛)
- Matriz diagonal ( matriz cuadrada en la que todos los elementos fuera de la diagonal principal son ceros)
- Matriz unitaria , unidad o identidad ( matriz diagonal con todos los elementos de la diagonal principal iguales a 1)
- Matriz triangular ( matriz cuadrada en la que todos los elementos por encima o por debajo de la diagonal principal son ceros)
- Matriz idempotente ( 𝐴 cuadrada y tal que 𝐴 = 𝐴. 𝐴)
Las matrices , por su especial comodidad a la hora de recoger información relativa a variedad de datos sobre una misma variable y ,simultáneamente, hacerlo para varias variables con ella
relacionadas, constituye una de las partes del álgebra lineal de mayor aplicabilidad a todas las ciencias, y, en particular a la Economía( tablas Input-Output de Leontieff).
OPERACIONES CON MATRICES.-
Desde el punto de vista del Álgebra Lineal, las matrices de términos reales y de dimensión 𝑚𝑥𝑛 constituyen un ejemplo de espacio vectorial sobre el conjunto de los números reales, que notaremos como 𝑀𝑚𝑥𝑛.(IR). Recordando lo estudiado para el espacio vectorial 𝐼𝑅𝑛(𝐼𝑅) al inicio de la teoría de funciones,podemos definir las siguientes operaciones con matrices:
- Suma matricial .-
Dadas 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗) y 𝐵 = (𝑏𝑖𝑗), se define la matriz suma 𝑆 = 𝐴 + 𝐵 = (𝑠𝑖𝑗) como aquella tal que:
𝑠𝑖𝑗 = 𝑎𝑖𝑗 + 𝑏𝑖𝑗 , ∀𝑖 = 1, …. , 𝑚 ; ∀𝑗 = 1,.. , 𝑛
Propiedades de la suma.- Aplicando lo estudiado para espacios vectoriales al caso particular de las matrices, la suma es una operación interna en 𝑀𝑚𝑥𝑛.(IR) que goza de las siguientes propiedades:
1.1.- Asociativa:∀ 𝐴, 𝐵 𝑦 𝐶 ∈ 𝑀𝑚𝑥𝑛.(IR) , 𝐴 + (𝐵 + 𝐶) = (𝐴 + 𝐵) + 𝐶
1.2.-Existencia de elemento neutro:∀𝐴 ∈ 𝑀𝑚𝑥𝑛.(IR) ∃ 0𝑚𝑥𝑛 / 𝐴 + 0𝑚𝑥𝑛= A
1.3.- Existencia de elemento opuesto ∀𝐴 ∈ 𝑀𝑚𝑥𝑛. (IR) ∃ − A = (−aij) /A + (−A)= (^0) 𝑚𝑥𝑛
1.4.- Conmutativa: 𝐴 + 𝐵 = 𝐵 + 𝐴 , ∀ 𝐴 𝑦 𝐵 ∈ 𝑀𝑚𝑥𝑛. (IR)
Así 𝑀𝑚𝑥𝑛. (IR) tiene con respecto a la operación interna suma estructura de grupo abeliano o conmutativo.
- Producto de un número real por una matriz .-
Dada una matriz 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗) y un número real k, se define el producto real- matriz 𝑃 = 𝑘. 𝐴 = (𝑝𝑖𝑗) = (𝑘𝑎𝑖𝑗) como aquella matriz tal que:
𝑝𝑖𝑗 = 𝑘. 𝑎𝑖𝑗 , ∀ 𝑘 ∈ 𝐼𝑅 𝑦 ∀ 𝐴 ∈ 𝑀𝑚𝑥𝑛. (IR)
Propiedades.- Por lo estudiado con respecto a espacios vectoriales afirmamos que la operación producto real-matriz es una operación externa en 𝑀𝑚𝑥𝑛. (IR) , con las siguientes propiedades:
2.1.- Asociativa mixta: ∀𝑘, 𝑙 ∈ 𝐼𝑅 y ∀ 𝐴 ∈ 𝑀𝑚𝑥𝑛 , 𝑘(𝑙𝐴) = (𝑘𝑙)𝐴
2.2.- Distributiva con respecto a la suma de matrices: ∀𝑘 ∈ 𝐼𝑅 y ∀ 𝐴 𝑦 𝐵 ∈ 𝑀𝑚𝑥𝑛 , 𝑘(𝐴 + 𝐵) = 𝑘𝐴 + 𝑘𝐵
siquiera puede plantearse el 𝐵. 𝐴 (piénsese en el caso de que 𝐴 ∈ 𝑀𝑚𝑥𝑛 y 𝐵 ∈ 𝑀𝑛𝑥𝑞, con 𝑚 ≠ 𝑞). Lo que resulta más importante destacar con respecto a la conmutatividad del producto matricial, es que aún en el caso particular de las matrices cuadradas de dimensión 𝑛 para el que se garantiza la existencia de las matrices 𝐴. 𝐵 y 𝐵. 𝐴, dicho producto no es conmutativo, esto es, 𝐴. 𝐵 ≠ 𝐵. 𝐴. Así, es importante tener en cuenta el orden en que se multiplican las matrices, distinguiendo entre pre- multiplicar y post-multiplicar, cuando se multiplica una matriz por la izquierda o por la derecha, respectivamente. Como consecuencias, entre otras, a destacar:
- 𝑆𝑖 𝐴. 𝐵 = 0𝑚𝑥𝑞 ello no implica necesariamente que 𝐴 = 0𝑚𝑥𝑛 ó B = (^0) 𝑛𝑥𝑞
- Si A.B = A.C no necesariamente 𝐵 = 𝐶 ( en el caso particular de que todas sean cuadradas y, además, 𝐴 inversible, la implicación sería cierta)
- (𝐴 + 𝐵)^2 no es necesariamente igual a 𝐴^2 + 2 A .B + 𝐵^2
- (𝐴 − 𝐵)^2 no es necesariamenteigual a 𝐴^2 − 2 A .B + 𝐵^2
- (^ A^ B )( A B )no necesariamente es igual a 𝐴^2 − 𝐵^2
4.- Matriz inversa .-
Las matrices, según lo expuesto pueden ser sumadas, restadas ( 𝐴 − 𝐵 = 𝐴 + (−𝐵)) y multiplicadas (siempre que el producto esté definido) , pero no existe el cociente entre matrices. Ello es consecuencia de la falta de conmutatividad en el producto, que hace que, aún en el caso de las matrices cuadradas,. no exista el elemento inverso, y de ahí el cociente.
Para subsanar esa deficiencia se define en el espacio vectorial 𝑀𝑛(𝐼𝑅) el concepto de matriz inversa, de la forma siguiente:
Dada 𝐴 ∈ 𝑀 (^) 𝑛 se llama inversa de 𝐴, y se nota por 𝐴−1, a la matriz ∈ 𝑀 (^) 𝑛 y tal que verifica 𝐴. 𝐴−1^ = 𝐴−1. 𝐴 = 𝐼𝑛. Una matriz cuadrada 𝐴 ∈ 𝑀 (^) 𝑛 que posee inversa se llama regular o inversible, y, en caso contrario, diremos que la matriz es singular.
Para el cálculo de la matriz inversa se precisa de una serie de conocimientos que a continuación desarrollaremos.
Trasposición y operaciones con matrices .- Dadas 𝐴 𝑦 𝐵 tales que por sus dimensiones pueden ser realizadas las operaciones siguientes, se verifica:
. (𝐴 + 𝐵)𝑡^ = 𝐴𝑡^ + 𝐵𝑡 . (𝐴. 𝐵)𝑡^ = 𝐵𝑡. 𝐴𝑡 . (𝐴−1)𝑡^ = (𝐴𝑡)−1, en el caso de que 𝐴 sea cuadrada e inversible.
VECTORES.-
Se llama vector a todo elemento de un espacio vectorial, y lo notaremos por 𝑣̅. Recordemos que un espacio vectorial 𝑉 sobre un cuerpo 𝐾 es todo conjunto que, con respecto a la operación interna suma tiene estructura de grupo conmutativo, y con respecto a la operación externa producto por los elementos del cuerpo posee las cuatro propiedades antes indicadas.
Según acabamos de señalar, el conjunto de las matrices de orden 𝑚𝑥𝑛 y de términos reales (𝑀𝑚𝑥𝑛(𝐼𝑅)) constituye un caso particular de espacio vectorial sobre el cuerpo de los números reales, cualesquiera que sean 𝑚 y 𝑛. Así, en el caso particular de las matrices fila (1𝑥𝑛) o columna (𝑚𝑥1), éstas pueden ser consideradas como vectores, con la particularidad añadida de que se trataría de vectores en el espacio vectorial 𝐼𝑅𝑛^ o 𝐼𝑅𝑚, respectivamente, que para nosotros ya son conocidos.
DEF:.- Dados los vectores 𝑣̅̅ 1 ̅ , 𝑣̅̅ 2 ̅ ,…..,𝑣̅̅𝑘̅ de un espacio vectorial cualquiera, se llama combinación lineal de los mismos a la expresión que resulta de sumarlos multiplicados por escalares (reales) arbitrarios:
𝑐 1. 𝑣̅̅ 1 ̅ .+𝑐 2. 𝑣̅̅ 2 ̅ +…….+𝑐𝑘. 𝑣̅̅𝑘̅ = ∑ 𝑘𝑖=1 𝑐𝑖𝑣̅𝑖
Como consecuencia de las operaciones interna y externa definidas en los espacios vectoriales, el resultado de dicha combinación lineal no es otra cosa que un vector del mismo espacio vectorial 𝑉, 𝑣̅ = ∑ 𝑘𝑖=1 𝑐𝑖𝑣̅𝑖 , al que denominamos vector combinación lineal de los anteriores.
Evidentemente, se pueden hacer infinitas combinaciones lineales a partir de una colección cualquiera de vectores de un espacio, tomando distintos escalares. Ahora bien, dado un conjunto de vectores determinado, no siempre es posible obtener cualquier vector del espacio por medio de dichas combinaciones( salvo en el caso del vector nulo del espacio, que siempre se puede expresar como combinación lineal de cualesquiera otros tomando como coeficientes en la expresión todo ceros) ; en caso de que los vectores iniciales posean tal característica, reciben el nombre de sistema generador del espacio vectorial.
DEF: Se llama sistema generador de un espacio vectorial a todo conjunto de vectores del mismo con la capacidad de, mediante sus infinitas combinaciones lineales , generar cualquier vector del espacio.
Dependencia e independencia lineal de vectores.
DEF: Dados los vectores𝑣̅̅ 1 ̅ , 𝑣̅̅ 2 ̅ , …. ,𝑣̅̅𝑘̅ de 𝑉(𝐼𝑅) se dice que son linealmente independientes si la única forma de obtener por combinación lineal de los mismos el vector nulo del espacio 𝑉 (0̅𝑉 ∈ 𝑉) es utilizando todos los escalares (reales) iguales a cero;
𝑣̅̅ 1 ̅ , 𝑣̅̅ 2 ̅ , …. , 𝑣̅̅𝑘̅ linealmente independientes si, y sólo si,
𝑐 1. 𝑣̅̅ 1 ̅ .+𝑐 2. 𝑣̅̅ 2 ̅ +…….+𝑐𝑘. 𝑣̅̅𝑘̅ = 0̅𝑉, con 𝑐𝑖 = 0, ∀𝑖 = 1, … , 𝑘.
podemos considerar sus 𝑚 filas como 𝑚 vectores del espacio vectorial 𝐼𝑅𝑛, o bien, sus 𝑛 columnas como 𝑛 vectores del espacio vectorial 𝐼𝑅𝑚. Los conceptos de dependencia e independencia lineal pueden ahora aplicarse de la forma siguiente: “ una fila 𝐹ℎ ( o una columna) de la matriz depende linealmente de sus paralelas si puede expresarse como combinación lineal de las mismas”, esto es:
𝐹ℎ = 𝑐 1. 𝐹 1 +𝑐 2. 𝐹 2 +…+𝑐ℎ−1𝐹ℎ−1 + 𝑐ℎ+1𝐹ℎ+1+……+𝑐𝑘𝐹𝑘
En caso contrario se dice que son linealmente independientes.
DEF: Se llama transformación elemental en las filas ( ó columnas) de una matriz a la operación que consiste en sumar ó restar a una fila (ó columna) determinada cualesquiera otras multiplicadas por escalares (reales) arbitrarios.
El método de las transformaciones elementales constituye uno de los procedimientos para calcular tanto la inversa como el rango de una matriz, cuestión que estudiaremos más adelante.
II.- DETERMINANTE DE UNA MATRIZ 𝐴 ∈ 𝑀𝑛(𝐼𝑅).-
DEF: Toda matriz cuadrada y de términos reales tiene asociado un número real, al que llamamos su d eterminante y notamos por det(𝐴) ó bien |𝐴|, y cuya definición es:
|𝐴| (^) = det (𝐴) = ∑ (^) 𝜎∈𝑃𝑛𝑠𝑔𝑛(𝜎) ∏ 𝑛 𝑖= 1 𝑎𝑖,𝜎𝑖
donde la suma se calcula sobre todas las permutaciones σ del conjunto {1,2, … , 𝑛}. La posición del elemento i después de la permutación σ se denota como 𝜎𝑖; el conjunto de todas las permutaciones es 𝑃𝑛. Para cada σ, 𝑠𝑔𝑛(𝜎) es la signatura de σ, esto es (+1) si la permutación es par, y (-1) si es impar. Por último, en cualquiera de los n sumandos, el término ∏ 𝑛𝑖=1 𝑎𝑖,𝜎𝑖denota el producto de las entradas en la posición (𝑖, 𝜎𝑖), 𝑐𝑜𝑛 𝑖 = 1, … , 𝑛.
Dada la complejidad de la definición anterior se hace necesario un método que, en la práctica, permita obtener de forma cómoda el valor del determinante de una matriz; en el caso de las matrices cuadradas de 2º y 3º orden es la llamada regla de Sarrus la que se aplica. En el caso de matrices cuadradas de mayor dimensión, el estudio de las propiedades de los determinantes nos permitirá obtener formas de cálculo del valor del determinante de una matriz cualquiera.
Propiedades de los determinantes.-
1ª) Si se multiplican todos los elementos de una misma línea (fila ó columna) por un número, el determinante queda multiplicado por dicho número.
2ª) Si cambiamos entre sí dos líneas paralelas, el determinante cambia de signo.
3ª) Si todos los elementos de una línea se descomponen en dos sumandos , el determinante será igual a la suma de dos determinantes, que tienen en esa fila ó columna el primero y segundo sumandos respectivamente, y en las demás los mismos elementos que el determinante inicial, esto es:
⋮
⋮ 𝑎𝑛1 𝑎𝑛2… 𝑎𝑛𝑛
| =^ |
⋮
⋮ 𝑏𝑛 𝑎𝑛2… 𝑎𝑛𝑛
| +^ |
⋮
⋮ 𝑐𝑛 𝑎𝑛2… 𝑎𝑛𝑛
con 𝑎𝑗1 = 𝑏𝑗 + 𝑐𝑗, ∀𝑗 = 1,2, … , 𝑛
4ª) Si 𝐴 y 𝐵 son dos matrices cuadradas del mismo orden, entonces
det ( 𝐴. 𝐵) = det (𝐴).det(𝐵)
5ª) El determinante de una matriz es cero si :
5.1) La matriz tiene una línea con todos los elementos nulos.
5.2) La matriz tiene dos líneas paralelas iguales ó proporcionales.
5.3) La matriz tiene una fila ó una columna que es combinación lineal de las demás.
De la propiedad 5, en sus distintos casos, se deduce: el determinante de una matriz es cero si, y sólo si, sus filas ó columnas son linealmente dependientes.
Cálculo del determinante.- Para matrices de dimensión dos o tres recordábamos que la regla de Sarrus permitía, de forma sencilla, obtener el valor del determinante. Para matrices cuadradas de órdenes superiores se hace necesario obtener otros medios de cálculo más generales, entre los que señalaremos dos:
- Desarrollando por los elementos de una línea:
DEF: Se llama adjunto del elemento 𝑎𝑖𝑗 de una matriz, y se representa por 𝐴𝑖𝑗, al determinante que resulta de suprimir en la matriz 𝐴 la fila 𝑖 y la columna 𝑗, precedido del signo + ó – , según que la suma ( 𝑖 + 𝑗) sea par ó impar, respectivamente.
Se puede demostrar que el determinante de una matriz cuadrada es igual a la suma de los elementos de una línea ( fila ó columna) multiplicados por sus adjuntos correspondientes. Parar agilizar los cálculos, previamente, se suelen hacer transformaciones en la matriz para que en ésta haya una línea con todos los elementos iguales a cero menos uno; así la suma anterior constaría de un solo sumando. La forma de conseguir lo anterior se basa en aplicar dos propiedades de los determinantes, que son consecuencia de las anteriormente señaladas:
El método de Gauss para calcular el determinante de una matriz consiste en convertirla en otra triangular y que tenga el mismo determinante, lo que se consigue aplicando propiedades de los determinantes, en particular:
. Si se permutan dos líneas paralelas de una matriz, su determinante cambia de signo. . Si a una línea de la matriz se le suma otra paralela, el determinante no varía. . Si a una línea de la matriz se le suma otra paralela multiplicada por cualquier número, el determinante no cambia.
Una vez transformada la matriz en otra triangular y con igual determinante aplicando las operaciones anteriores, se calcula el de ésta última, sin más que multiplicar los elementos de su diagonal principal.
⋱
⋮ 𝑎𝑛1 𝑎𝑛2 … 𝑎𝑛𝑛
⋱
⋮ 0 0 … 𝑏𝑛𝑛
III.- RANGO DE UNA MATRIZ .- Sea 𝐴 ∈ 𝑀𝑚𝑥𝑛
DEF: Se define el rango o característica de una matriz rectangular como el número de filas o de columnas linealmente independientes que ésta tiene ( se puede demostrar que dicho número es el mismo para las filas y para las columnas).
Cálculo del rango de una matriz 𝐴 ∈ 𝑀𝑚𝑥𝑛.- Estudiaremos dos métodos:
- Método de Gauss o de transformaciones elementales.-
DEF: Se llama matriz escalonada a aquella en la que el primer miembro no nulo de cada fila está más a la derecha que el primer miembro no nulo de la fila anterior.
El método de Gauss para el cálculo del rango de una matriz cualquiera consiste en aplicar transformaciones elementales a las filas o a las columnas con el fin de obtener una matriz escalonada, verificándose que el rango de la matriz inicial es igual al número de filas no nulas de dicha matriz escalonada, por ser éstas linealmente independientes. Las transformaciones elementales que dejan invariante el rango de una matriz son:
. Permutar en ella dos filas ó columnas. . Multiplicar ó dividir una línea por un número real no nulo. . Sumar o restar a una línea otra paralela.
El rango de una matriz no cambia si en ella se suprimen:
. Las filas ó columnas nulas. . Las filas ó columnas iguales ó proporcionales a otras paralelas.
. Las filas o columnas que dependen linealmente ( son combinación lineal ) de otras paralelas.
2)Método de cálculo del rango por medio de determinantes.-
DEF: Se llama menor de una matriz 𝐴 ∈ 𝑀𝑚𝑥𝑛 a cualquiera de los determinantes que en ella se pueden obtener suprimiendo cualesquiera número de filas y cualesquiera número de columnas, y sin alterar el orden de las filas y columnas restantes.
Se demuestra que el rango de 𝐴 ∈ 𝑀𝑚𝑥𝑛 es igual al orden del mayor menor no nulo de dicha matriz. De forma esquemática, podemos plantear el proceso de obtención del rango de 𝐴 por este método de la forma siguiente:
. Si en 𝐴 se verifica que 𝑚 ≤ 𝑛 ( ó bien 𝑛 ≤ 𝑚), el mayor rango posible de 𝐴 es 𝑚 ( 𝑛 en el otro caso), y será 𝑚 (𝑛) si existe al menos un menor de orden 𝑚(𝑛) en 𝐴 no nulo. . En el caso de que todos los menores de orden 𝑚(𝑛) sean nulos, procederemos de igual forma con todos los menores de orden (𝑚 − 1)(ó(𝑛 − 1)) posibles en la matriz, continuando reiteradamente el proceso, reduciendo el orden de los menores de uno en uno hasta que encontremos alguno distinto de cero, siendo el rango de 𝐴 igual al orden o dimensión de dicho primer menor no nulo.
Así, si 𝐴 ∈ 𝑀𝑚𝑥𝑛 tiene rango 𝑟 ≤ 𝑚í𝑛(𝑚, 𝑛) es que existe un determinante extraído de la matriz de orden 𝑟 distinto de cero, siendo todos los determinantes (o menores) de orden (𝑟 + 1) nulos.
IV.- INVERSA DE UNA MATRIZ .- Sea 𝐴 ∈ 𝑀𝑛(𝐼𝑅). Definíamos anteriormente su inversa, y la notábamos 𝐴−1^ , como aquella otra matriz tal que:
𝐴. 𝐴−1= 𝐴−1. 𝐴= 𝐼𝑛
Asimismo, señalábamos que no toda matriz cuadrada tiene inversa , y que a las que la poseen las llamamos inversibles ó regulares, frente a las que no la tienen, que se califican de singulares.
Para calcular, si existe, la inversa de una matriz cuadrada existen varios procedimientos:
- Cálculo de la inversa por la definición .-
𝐴 ∈ 𝑀𝑛 tiene inversa si ∃𝐴−1^ ∈ 𝑀𝑛 tal que 𝐴. 𝐴−1^ = 𝐼𝑛
Realizando el producto matricial e igualando a la matriz unidad término a término, se obtiene un sistema de ecuaciones cuya solución, de existir, proporciona los elementos de la matriz inversa buscada. En el caso de que no exista solución es que la matriz 𝐴 inicial es singular.
donde los 𝑎𝑖𝑗 ∈ 𝐼𝑅 , ∀𝑖 = 1, … , 𝑚 y ∀𝑗 = 1, … , 𝑛 , reciben el nombre de coeficientes del sistema , 𝑏𝑖 son los términos independientes y 𝑥𝑗 son las incógnitas. Si, en particular, 𝑏𝑖 = 0 ∀𝑖, diremos que el sistema lineal es homogéneo.
Resolver un sistema de ecuaciones lineales es encontrar, si existen, los valores de las incógnitas 𝑥 1 , 𝑥 2 , … , 𝑥𝑛 que lo verifican, pudiendo ocurrir que dicha solución no exista, que sea única ( un único 𝑥𝑗 para cada 𝑗 = 1, … , 𝑛 ) ó que haya infinitas (para cada 𝑗 infinitos valores de 𝑥𝑗).
Nuestro objeto de estudio es la determinación de técnicas de resolución de sistemas lineales. Para ello, nos será de utilidad el álgebra matricial desarrollado con anterioridad, suministrándonos métodos sencillos no sólo para resolver, sino también para determinar “a priori” la existencia ó no de solución ó de soluciones.
DEF: Dado un sistema de 𝑚 ecuaciones lineales con 𝑛 incógnitas, diremos que dicho sistema es:
. Incompatible , cuando no tiene solución. . Compatible , cuando la tiene. Si dicha solución es única, se dice que el sistema es compatible determinado , mientras que si tiene más de una será compatible indeterminado.
Es evidente que todo sistema lineal homogéneo es siempre compatible, siendo además determinado en el caso de que la única solución que tenga sea la trivial ( 𝑥 1 = 𝑥 2 = ⋯ = 𝑥𝑛 = 0 ).
Notación matricial de un sistema lineal.- Todo sistema lineal de ecuaciones admite una expresión matricial tal como :
𝐴. 𝑋̅ = 𝑏̅ , con 𝐴 ∈ 𝑀𝑚𝑥𝑛 , 𝑋̅ ∈ 𝐼𝑅𝑛^ , 𝑏̅ ∈ 𝐼𝑅𝑚
⋮
⋱
⋮ 𝑎𝑚1 𝑎𝑚2 … 𝑎𝑚𝑛
⋮ 𝑥𝑛
⋮ 𝑏𝑚
La matriz 𝐴 se llama matriz de coeficientes , 𝑋̅ es el vector columna de incógnitas y 𝑏̅ es el vector de términos independientes del sistema.
Discusión sobre la existencia y unicidad en la solución a un sistema de ecuaciones lineales.- Teorema de Rouché.-
Sea el sistema de ecuaciones lineales en expresión matricial 𝐴. 𝑋̅ = 𝑏̅
DEF: Se llama matriz de coeficientes ampliada , y se representa por (𝐴|𝑏̅), a la matriz A con una columna añadida, formada por todos los términos independientes 𝑏𝑖.
⋮
⋱
⋮ 𝑎𝑚1 𝑎𝑚2 … 𝑎𝑚𝑛
⋮ 𝑏𝑚
El teorema de Rouché establece los siguientes enunciados:
. Un sistema es compatible si, y sólo si, se verifica que 𝑟𝑔𝑜 (𝐴) = 𝑟𝑔𝑜 (𝐴|𝑏̅).De no verificar lo anterior se dice que el sistema es incompatible y no tiene solución. . Un sistema es compatible determinado si, además de lo anterior, se cumple que 𝑟𝑔𝑜 (𝐴) = 𝑛 ( número de incógnitas). En este caso el sistema tendrá solución única. . En el caso de que 𝑟𝑔𝑜 (𝐴) < 𝑛 ( número de incógnitas), el sistema es compatible indeterminado, y contará con infinitas soluciones.
Métodos de resolución de un sistema de ecuaciones lineales.-
- Método de Gauss.-
DEF: Dos sistemas de ecuaciones lineales con 𝑚 ecuaciones y 𝑛 incógnitas se dice son equivalentes cuando tienen las mismas soluciones.
Dado un sistema, los siguientes enunciados nos muestran cómo obtener otro equivalente. Así:
. Multiplicando los dos miembros de la ecuación por un número real distinto de cero. . Sumando a una ecuación determinada otra cualquiera del sistema.
Como consecuencia de lo anterior:
. Si en un sistema una ecuación depende linealmente de otras (una fila de 𝐴 es combinación lineal de otras), se puede suprimir, siendo el sistema resultante equivalente al inicial.
Apoyándonos en las propiedades de los determinantes, se demuestra que:
𝑥 1 = |𝐴|𝐴|^1 | , 𝑥 2 = |𝐴|𝐴|^2 | , …………………….., 𝑥𝑛 = |𝐴|𝐴|𝑛|
Sistemas lineales indeterminados.- Si por cualquiera de los métodos anteriores obtenemos que nuestro sistema es compatible indeterminado ( 𝑟𝑔𝑜(𝐴) = 𝑟 < 𝑛), una forma conveniente de proceder es elegir 𝑟 ecuaciones independientes, pasando al 2º miembro de cada ecuación los términos de 𝑛 − 𝑟 incógnitas. De esta forma obtenemos un sistema de 𝑟 ecuaciones independientes con 𝑟 incógnitas. A las 𝑛 − 𝑟 incógnitas que pasan al segundo miembro las notamos por 𝑡 1 , 𝑡 2 ,…., 𝑡𝑛−𝑟. De este modo todas las incónitas se pueden expresar en función de 𝑡 1 , 𝑡 2 ,…., 𝑡𝑛−𝑟 , que son parámetros que pueden tomar cualquier valor real.
