TEOR´
IA DE MODELOS
J. Climent Vidal.
1. Descripci´
on.
La teor´ıa de modelos es la rama de la l´ogica matem´atica que estudia el
concepto de verdad a trav´es de la conexi´on de Galois, inducida por la relaci´on
de satisfacibilidad de Tarski, entre los conjuntos de f´ormulas, relativas a
cierto lenguaje formal, y los conjuntos de sistemas algebraicos, adecuados
al mismo lenguaje formal y los v´ınculos que existen entre las relaciones de
consecuencia sint´actica y sem´antica.
Para ciertos autores, e.g., Chang & Keisler, la teor´ıa de modelos es sim-
plemente la “suma”del ´algebra universal y de la l´ogica matem´atica.
El teorema de L¨owenheim-Skolem, seg´un el cual cualquier sentencia de la
l´ogica de predicados de primer orden con igualdad que sea verdadera en un
sistema algebraico lo es en uno que sea a lo sumo infinito-numerable, es el
primer resultado de la l´ogica de predicados que puede ser considerado como
perteneciente a la teor´ıa de modelos. Sin embargo, el primer resultado que
establece un v´ınculo entre la noci´on de demostrabilidad y la de verdad es el
teorema de completitud de G¨odel, seg´un el cual una sentencia de la l´ogica de
predicados es verdadera exactamente si es demostrable, estableciendo as´ı la
identidad, para la l´ogica de predicados, entre las relaciones de consecuencia
sint´actica y sem´antica. Cabe se˜nalar tambi´en que Tarski realiz´o un profun-
do an´alisis de la interpretaci´on de las sentencias de un lenguaje formal en
sistemas algebraicos adecuados al mismo. Adem´as, Skolem demostr´o la exis-
tencia de modelos no-standard de la aritm´etica, haciendo uso del m´etodo,
despu´es, denominado de los ultraproductos.
Estos desarrollos aut´onomos de la teor´ıa de modelos, tuvieron su conti-
nuaci´on con los trabajos de Mal’cev sobre el teorema de compacidad, seg´un
el cual una condici´on suficiente para que un conjunto de sentencias de la l´ogi-
ca de predicados tenga un modelo es que cada subconjunto finito del mismo
tenga un modelo, y su aplicaci´on a la demostraci´on de teoremas de la teor´ıa
de grupos infinitos. Adem´as, el teorema de compacidad proporciona un me-
dio para demostrar teoremas de encajamiento en el ´algebra, e.g., si cualquier
subanillo finito-generado de un anillo no conmutativo se puede encajar en
un anillo con divisi´on, entonces el anillo see puede encajar en un anillo con
divisi´on. Tambi´en en esta l´ınea algebraica, A. Robinson estudi´o los conjun-
tos de modelos de conjuntos de sentencias de la l´ogica de predicados en el
mismo sentido que en la geometr´ıa algebraica se estudian los conjuntos de
los ceros de ideales generados por polinomios y obtuvo resultados aplicables
a la teor´ıa de cuerpos.
Otro tipo de aplicaci´on est´a relacionado con la completitud, e.g., hay re-
sultados acerca del cuerpo de los n´umeros reales que se pueden formular
en la l´ogica de predicados pero que han sido demostrados usando m´eto-
dos topol´ogicos. Un resultado de Tarski demuestra que tales resultados son
verdaderos en todos los cuerpos reales cerrados independientemente de sus
propiedades topol´ogicas. Un m´etodo relacionado ha sido por A. Robinson
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