Tema 3: Espai vectorial
Combinació lineal:
Donat un conjunt de vectors que pertanyen a Rn direm que un vector
!
u de Rn és combinació
lineal de la resta si hi ha unes landes(µ) que compleixen µ1²!
u1+ ...+ µk²uk
!=
!
u
Independència i dependència lineal:
Independència lineal Dependència lineal
Si cap dels vectors del conjunt és combinació
lineal de la resta de vectors.
Si algun dels vectors del conjunt és combinació
lineal de la resta de vectors.
Si tan sols amb el vector nul podem verificar que
µ1²!
u1+ ...+ µk²uk
!=
!
0
Si a part del vector nul, trobem números reals que
satisfan µ1²!
u1+ ...+ µk²uk
!=
!
0
Si el Rang(A) = nº vectors Si el Rang (A) < al nº de vectores
Sistema de generadors:
Un conjunt de vectors serà un sistema de generadors de Rn, si qualsevol vector de Rn és
combinació lineal del conjunt de vectors.
En altres paraules, serà un sistema de generadors si al afegir una nova columna a la matriu el rang
d’aquesta és manté. En cas que no es mantingui, no serà un sistema de generadors. Dit d’una altra
forma més tècnica, si el rang d‘(A) no coincideix amb la dimensió de l’espai, no serà un sistema de
generadors.
Base d’un espai vectorial:
•Si el conjunt de vectors és un sistema de generadors de Rn
• Si el conjunt de vectors és linealment independent
Base canònica:
f(1;0 )i( 0 ;1) g és la base canònica de R2;1 0
0 1 , i al seu torn, la matriu id e n t i t a t2 2
f(1;0;0);(0;1;0)i(0;0;1)g és la base canònica de R3,
1 0 0
010
001
i al seu torn, la matriu
i d en t it a t 3 3
Dimensió d’un espai vectorial:
Nombre de vectors que formen una base d’aquell espai
Subespai vectorial:
Per tal que ho sigui ha de complir (Donem per suposat que pertany a Rn = condició 1):
• El vector nul ha de verificar l’igualtat (Complim així la condició 2 i 4)
• Si
!
u i
!
v pertanyen a S, la suma d’aquests dos, es a dir,
!
u+
!
v ε S (Complin la condició 3)
*Les condicions a les que es fa referència són:
1) S ⊆ Rn
