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Trabajo funciones
Marta Enguita Plaza 2 Bach A
1. Representa las funciones estudiando en cada una los puntos siguientes:
a) f
x
= x
3
− 6 x
2
− 36 x
Dominio
o Al tratarse de un polinomio, el dominio son todos los números reales
Dom f = x ∈ R
No existen asíntotas verticales
Ramas infinitas
o
lim
x→ ∞
x
3
− 6 x
2
− 36 x
=¿ ∞ − ∞ − ∞ = IND → x
3
6 x
2
36 x → ∞ ¿
o
lim
x→ − ∞
x
3
− 6 x
2
− 36 x
=¿− ∞ − ∞ + ∞ = IND → x
3
6 x
2
36 x → − ∞ ¿
Como los límites tienden a ± ∞
, y no a un número exacto, no existen asíntotas horizontales
Puntos singulares
o
f
'
x
= 3 x
2
− 12 x − 36
o
f
'
x
= 0 ⇔ 3 x
2
− 12 x − 36 = 0 ⇔ 3
x
2
− 4 x − 12
Soluciones: x 1
=6, x 2
=-
o
x
1
= 6 → f
3
2
o
x
2
=− 2 → f (− 2 )=(− 2 )
3
2
Los puntos singulares son (6,-216) y (-2,40)
Representados en color rosa (A y B)
Crecimiento-Decrecimiento. Máximos y mínimos
o
f
'
2
o
f
'
2
o
f
'
2
Creciente en (− ∞, − 2 ) ∪ ( 6 , ∞ ) y decreciente en (−2,6 )
Máximo en
(− 2 , f (− 2 ) = 40 )
y mínimo en
( 6 , f ( 6 )=− 216 )
Representados en color rosa (A y B)
Concavidad-Convexidad. Puntos de inflexión
o Estudiamos los puntos en los que se anula la segunda derivada
f
' '
x
= 0 ⇔ 6 x − 12 = 0 ⇔ 6 ∙
x − 2
=0. Solución : x = 2
o Estudiamos el signo de la derivada en los intervalos (− ∞ , 2 ) y ( 2 , ∞ )
f
' '
f(x) es convexa en el intervalo (− ∞, 2 )
f
''
f(x) es cóncava en el intervalo
( 2 , ∞ )
o El punto de inflexión es aquel que se corresponde con (2,f(2))
f ( 2 ) = 2
3
2
El punto de inflexión es el (2,-88)
Representado en color verde (C)
Cortes con los ejes
o Con el eje X:
f ( x )= 0 ⇔ x
3
− 6 x
2
− 36 x = 0 ⇔ x ( x
2
− 6 x − 36 )= 0
Soluciones : 0 ; 3 ∙ (
√
5 + 1 ) y − 3 ∙ (
√
Corta con el eje X en los puntos (0,0), ( 3 ∙ √
,0) y ( − 3 ∙ √
,0)
- Representados en color azul (D, E y F)
o Con el eje Y:
f
3
2
− 36 ∙ 0 = 0_. Solución_ : 0
Corta con el eje Y en el punto (0,0)
Representado en color azul (D, E y F)
Representación con Geogebra:
b)
g ( x )=
( x − 1 )( x − 3 )
Dominio
o Igualamos el denominador a 0 para saber qué números debemos descartar
( x − 1 ) ( x − 3 )=0. Soluciones x
1
= 1 y x
2
Por lo tanto, Dom g = x ∈ R / x ≠ 1 y 3 = x ∈ R =(− ∞ , 1 ) ∪ (1,3) ∪ ( 3 , ∞ )
-
lim
x→ 1
−¿
g ( x ) ≡ lim
x → 1
−¿
g
(
1
( x − 1 )( x − 3 )
)
=¿
1
0
+¿
= ∞ ¿
¿¿
¿ ¿
-
lim
x→ 1
+¿
g ( x ) ≡ lim
x→ 1
+¿
g
(
1
( x − 1 )( x − 3 )
)
=¿
1
0
−¿
=− ∞ ¿
¿¿
¿¿
-
lim
x→ 3
−¿
g ( x ) ≡ lim
x→ 3
−¿
g
(
1
( x − 1 )( x − 3 ))
=
1
0
−¿
=−¿ ∞ ¿
¿ ¿
¿¿
-
lim
x→ 3
+¿
g ( x ) ≡ lim
x→ 3
g
(
1
( x − 1 )( x − 3 ) )
=
1
0
+¿
=¿ ∞ ¿
¿¿
¿ ¿
Asíntotas verticales x = 1 y x = 3
Representadas en color morado
Ramas infinitas
o lim
x→ ∞
( x − 1 )( x − 3 )
o lim
x→ − ∞
( x − 1 )( x − 3 )
Asíntota horizontal y = 0
Representada en color azul
Puntos singulares
o
g ( x )=( x
2
− 4 x + 3 )
− 1
→ g
'
( x )=
− 2 ( x − 2 )
∙ (( x
2
− 4 x + 3 )
− 2
) → g
'
( x ) =
− 2 x − 4
( x
2
− 4 x + 3 )
2
o
g
'
( x ) = 0 ⇔ 2 x − 4 = 0
Solución: x=
o x = 2 → g ( 2 )=
El punto singular es el (2,-1)
Representado en color rosa (A)
Crecimiento-Decrecimiento. Máximos y mínimos
o
g
'
o
g
'
o
g
'
o
g
'
Creciente en (− ∞, 1 ) ∪ ( 1,2) y decreciente en ( 2,3) ∪ ( 3 , ∞ )
Máximo en
( 2 , g ( 2 )=− 1 )
y no presenta mínimos
Representado en color rosa (A)
Concavidad-Convexidad. Puntos de inflexión
o Estudiamos los puntos en los que se anula la segunda derivada
g
' '
x
= 0 ⇔ g
' '
x
− 2 ∙ ∙ ( x
2
− 4 x + 3 )
2
−( 2 x − 4 ) ∙ 2 ∙ ( x
2
− 4 x + 3 ) ∙ ( 2 x − 4 )
( x
2
− 4 x + 3 )
4
g
' '
( x )=
− 2 ∙ ( x
2
− 4 x + 3 )
2
− 2 ∙ ( 2 x − 4 )
2
( x
2
− 4 x + 3 )
3
= 0 → g
' '
( x )=
−− 6 x
2
( x
2
− 4 x + 3 )
3
= 0 → 6 x
2
− 24 x + 26 = 0
x = ∄→
La segunda derivada no se anula en ningún punto, por lo que no hay ningún punto de
inflexión
o Estudiamos el signo de la derivada en los intervalos (− ∞ , 1 ) , (1,3) y ( 3 , ∞ )
g
' '
3
0 f(x) es cóncava en el intervalo
(− ∞, 1 )
g
' '
f(x) es convexa en el intervalo ( 1,3)
g
' '
3
0 f(x) es cóncava en el intervalo ( 3 , ∞ )
Puntos de corte con los ejes
o Con el eje X:
g ( x )= 0 ⇔
( x − 1 ) ( x − 3 )
=0. Solución : ∄
No corta con el eje X
o Con el eje Y:
g ( 0 )=
( x − 1 )( x − 3 )
. Solución :
Corta con el eje Y en el punto (0,
)
Representado en color verde (B)
