¡Descarga UNITAT 2 ANALISI y más Apuntes en PDF de Psicología solo en Docsity!
UNITAT 2. DISTRIBUCIONS DE PROBABILITAT: LLEI NORMAL.
2.1. Variable aleatòria (X).
Es una funció que associa a cada esdeveniment elemental d’un espai mostral d’un experiment aleatori, un nombre real (R) i nomes un.
Exemple: Llançament d’una moneda. Esdeveniments elementals cara i creu dos nombres reals diferents com poden ser: C1 i X
• Espai mostral E=(c,x)
• Variable aleatòria X=(1,0)
• Probabilitat P=(1/2, 1,2)
Ens potabilitat la realització d'operacions aritmètiques.
2.2. Variable aleatòria discreta: Números sencers, 1 o 2 no 1,5 fills.
L’associació de cada valor de la variable aleatòria (X) amb la probabilitat de que prengui aquest valor constitueix la funció de distribució:
El conjunt format per les funcions de distribució de tots els valors de la variable a aleatòria es coneix com a distribució de probabilitat (suma de funcions de distribució). Es sol representar mitjançant un diagrama de barres.
2.2.1. Esperança matemàtica i variància.
Una distribució de probabilitat es descriu amb l’esperança matemàtica E(X) i la variància V(X)
• L’esperança matemàtica es un valor que correspon a la mitjana, s’espera trobar si es realitzen un nombre infinit
d’experiments aleatoris sot les mateixes condicions.
• La variància: Expressa la dispersió que presentaria la variable aleatòria al realitzar un nombre infinit
d’experiments.
Per obtenir aquets valors cal conèixer la distribució de probabilitat.
Exemple: En l’experiment d’extreure una carta d’una baralla espanyola estem interesants en els esdeveniments Figura (cartes 10,11,12), no Figura.
Quan un experiment aleatori la variable discreta te dues categories i se’ls assigna els valors 0 i 1 (variable binaria), rep el nom d’experiència o assaig de Bernoulli.
Exemple 2:Suposem que l’extracció de cartes de l’exemple anterior es tracti d’una aposta, si surt figura el guany sigui 20 euros i si surt l’altra es perdi 10 euros.
En aquet cas la variable aleatòria prendrà els valors -10 i 20 amb probabilitats (3/4) i (1/4).
- Espai mostral E=(Nf,F)
- Variable aleatòria X= (-10,20)
- Probabilitat n=(3/4, ¼)
- (^) Esperança E(X)=10x0,75 + 20x0,25 = -2,
L’esperança matemàtica ens indica que després d’un nombre infinit d’extraccions amb reposició podem esperar una pèrdua de 2,5 euros.
2.3. Variable aleatòria continua.
Una variable aleatòria (X) es continua quan s’aplica a un conjunt d’esdeveniments possibles que es infinit (pes, talla, edat...)
A diferencia d’una variable discreta els valors d’una variable continua no se’ls pot assignar un valor de probabilitat, ates que un punt dins d’un continu d’infinits punts li correspon una probabilitat igual a 0.
Ens haurem d’interessar per conèixer la probabilitat de que el resultat es trobi dins d’un rang de valors. Per exemple: P(X>3), p(2,53,5)
A la pràctica hi ha unes quantes lleis de probabilitat teòriques, com són, per exemple, la llei Binomial per variables discretes (binàries) o la llei Normal per variables contínues, que serveixen de model per representar les distribucions empíriques més freqüents
Totes les variables contínues tenen associada una precisió (precisió ± 0.5 cm):
Per tant, qualsevol nen que mesuri aquesta alçada, la seva alçada real es troba entre 49,5-50,5 cm.
2.4. Llei binominal per a variables discretes. (+D’un experiments, x monedes al aire).
La llei binominal es el model de distribució e probabilitat que segueix la suma d’observacions d’un esdeveniment d’interès en n experiments aleatoris amb dos resultats possibles.
Si en lloc d’interessar-nos pel resultat d’un llançament ens interessem el nombre de cares que podem trobar en n= llançaments d’una moneda. La distribució de probabilitat dels resultats possibles S=0 cares, 1 cara, 2caras….seguirà una llei binominal amb esperança matemàtica i variància:
A mesura que augmenta la mida de la mostra la distribució es mes simètrica i s’aproxima progressivament a una campana de Gauss o llei normal.
2.5. Llei normal.
També coneguda com a corba normal i com a campana de Gauss es una distribució de probabilitat per a variables continues. Te avantatges basar-se per al seu anàlisi en un model conegut i mes quan els errors d’aproximació que es produeixen tendeixen a ser petits.
2.5.1. Propietats:
La llei normal que es simbolitza:
1. Corba simètrica respecte al seu eix central el qual representa les posició de l’esperança matemàtica de la distribució E(X)=
μ. El seu valor coincideix amb la mediana i la moda.
2. Es asimptòtica respecte l’eix d’abscisses. Es a dir resta oberta ja que nomes a +- infinit l’ordenada arribarà a prendre el valor
3. L’àrea sota la corba es igual a 1.
2.5.2. Funció de densitat de probabilitat.
Un valor Xi es un punt dins del continu dels infinits valors de la variable aleatòria X, el valor de probabilitat associada es 0. Per aquet motiu en lloc d’associar un valor Xi a una funció de probabilitat, s’associa a una funció de densitat de probabilitat f(x), la qual determina el valor de l’ordenada per un determinat valor de la variable X. La funció es la següent:
La llei Normal modelitza la distribució de moltes variables contínues. Serveix com a model per descriure les distribucions mostrals de les mitjanes. L’error estàndard (SE) és precisament la desviació estàndard d’aquesta distribució mostral.
Per calcular llei normal, necessitem saber μ i variància σ. (des. Estàndard) La variància ens dóna l’amplada de la distribució, per tant, si aquesta és gran, serà una gràfica d’amplada gran. Si es treballa amb una variable X, que segueix una llei Normal de mitjana μ i variància σ2 es simbolitza: X ∈ N (μ ;σ 2 ).
2.5.3. Llei normal estandarditzada. Es fa servir per calcular àrees. Patró. Aquesta taula, dóna les àrees que queden a la dreta dels valors Z positius.
Rep el nom de taula de la Llei Normal estandarditzada. Una distribució és estandarditzada si té μ = 0 i σ =1.
L’àrea total és 1, per tant, per saber els valors que queden a l’esquerra hem de restar-li (1-) l’àrea de la dreta.
Valors zα/2 corresponents a la llei Normal estandarditzada per construir intervals simètrics.
El percentil 25 i 75 són els quartils 1 i 3, la mitja o mitjana són el quartil 2. En un model normal perfecte la mediana=mitjana=Q
Estandardització d’una variable mètrica: Quan estandarditzem, canviem:
a. El centre de la variable (mitjana): es tracta d’ubicar-lo en el valor 0. μ = 0
La dispersió: es tracta d’aconseguir que la nova distribució tingui com a variabilitat una desv. Estàndard igual a 1. σ =1.
*Percentil: Percentatge de la població que queda per sota d’un valor. Quan es tracta de percentils, NO s’aplica la precisió. Als percentils 25 i 75 també reben el nom de quarts.
1. Si als valors d’una variable aleatòria se li suma una constant la mitjana s’incrementa amb el valor de la constant i la variància no es modifica.
Exemple de càlcul d’una àrea d’un interval. Quina es la probabilitat que Z estigui compresa entre -2 i 1?
Es tracta de trobar P(-2 <= Z <=1). P(z<=1) = 0,8413; P(z<=2)=0,0228.
P(-2<=Z=1) = 0,8413-0,2228 = 0,8185.
Exemple de càlcul de l’àrea d’un interval de la variable X. El quocient intel·lectual es distribueix a la població general segons una llei normal de mitjana 100 i SD 15. Quin percentatge de la població general t un QI=120? Serà el centre de l’interval 119,5 i 130,5 ja que la precisió de mesura es +-0,5. Àrea que cal trobar: P(119,5<X<120,5)
