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Capítulo 3
Variable Estadística
Bidimensional
3.1 Distribución de Frecuencias Bidimensional
Sea una población de n individuos donde estudiamos, simultáneamente, dos variables
X e Y. Sean x 1 ; x 2 ; : : : ; x k las modalidades de X e y 1 ; y 2 ; : : : ; y p las modalidades de Y.
La distribución de frecuencias bidimensional de estas dos variables se presenta mediante
una tabla de doble entrada
XnY y 1 y 2 : : : y j : : : y p n i:
x 1 n 11 n 12 : : : n 1 j : : : n 1 p n 1 :
x 2 n 21 n 22 : : : n 2 j : : : n 2 p n 2 :
x i n i 1 n i 2 : : : n ij : : : n ip n i:
xk nk 1 nk 2 : : : nkj : : : nkp nk:
n :j n : 1 n : 2 : : : n :j : : : n :p n
2 Variable Estadística Bidimensional
3.1.1 Frecuencias Absolutas
Se de…ne la frecuencia absoluta correspondiente a la pareja de valores (xi; yj ) como
n ij = número de individuos que presenta la modalidad x i de X e y j de Y
para i = 1; : : : ; k; j = 1; : : : ; p.
Claramente, se veri…ca que
n =
k X
i=
p X
j=
n ij
3.1.2 Frecuencias Relativas
Se de…ne la frecuencia relativa correspondiente a la pareja de valores (x i ; y j ) como
f ij
nij
n
proporción de individuos que presenta
la modalidad x i de X e y j de Y
para i = 1; : : : ; k; j = 1; : : : ; p.
Claramente, se veri…ca que
k X
i=
p X
j=
f ij
3.2 Distribuciones Marginales
Las distribuciones marginales corresponden al estudio, por separado, de cada una de las
dos variables que componen una variable estadística bidimensional. Cada distribución
marginal será, por tanto, una distribución unidimensional y, consecuentemente, se le
podrá aplicar cualquiera de los resultados estudiados en el Capítulo 2.
3.2.1 Distribución Marginal de X
Es la distribución de todas las observaciones de X independientemente de las de Y. Se
obtiene sumando, para cada x i , las frecuencias correspondientes a todos los valores de
4 Variable Estadística Bidimensional
3.2.2 Distribución Marginal de Y
Es la distribución de todas las observaciones de Y independientemente de las de X, se
obtiene sumando, para cada yj , las frecuencias correspondientes a todos los valores de
X, es decir
Y n :j f :j
y 1 n: 1 f: 1
y 2 n: 2 f: 2
y j
n :j
f :j
yp n:p f:p
n 1
donde, para cada j = 1; : : : ; p,
n:j =
k X
i=
nij = n 1 j + n 2 j + : : : + nkj
se denomina Frecuencia Marginal Absoluta de yj , y
f :j
n:j
n
k X
i=
f ij
se denomina Frecuencia Marginal Relativa de y j
Se veri…ca que
p X
j=
n :j = n,
p X
j =
f :j
² Media Marginal de Y
y ¹ =
p X
j=
f :j y j
n
p X
j=
n :j y j
² Varianza Marginal de Y
V ar (Y ) =
p X
j =
f:j (yj ¡ y¹)
2
p X
j=
f:j y
2
j
¡ y¹
2
Distribuciones Condicionadas 5
3.3 Distribuciones Condicionadas
Las distribuciones condicionadas corresponden al estudio de una variable cuando la
otra presenta, exactamente, un valor o conjunto de valores concreto. Cada distribución
condicionada será, por tanto, una distribución unidimensional y, consecuentemente, se
le podrá aplicar cualquiera de los resultados estudiados en el Capítulo 2.
3.3.1 Distribución Condicionada de X a Y = y
j
Para cada j = 1; : : : ; p …jo, la distribución de X condicionada a Y = y j es la distribución
de la variable X restringida a los individuos que presentan modalidad y j de Y , es decir
X=Y = y j n
j
i
(j …jo) f
j
i
= n
j
i
=n :j
x 1 n
j
1
= n 1 j f
j
1
= n
j
1
=n:j
x 2 n
j
2
= n 2 j f
j
2
= n
j
2
=n:j
x i n
j
i
= n ij f
j
i
= n
j
i
=n :j
x k n
j
k
= n kj f
j
k
= n
j
k
=n :j
n :j
Observemos que existen p distribuciones condicionadas de X a Y (una para cada valor
de Y ).
² Media de X condicionada a Y = yj
x ¹ j
k X
i=
f
j
i
x i
n :j
k X
i=
n ij
x i
² Varianza de X condicionada a Y = y j
V ar j
(X) =
k X
i=
f
j
i
(x i ¡ ¹x j
2
k X
i=
f
j
i
x
2
i
¡ ¹x
2
j
Independencia Estadística de Variables 7
3.4 Independencia Estadística de Variables
² Diremos que X es estadísticamente independiente de Y (o, simplemente, inde-
pendiente de Y ) si todas las distribuciones condicionadas X=Y = y j son iguales
entre sí, para cualquier yj al que se condicione, es decir,
X es independiente de Y , f
j
i
no depende de j
, f
1
i
= f
2
i
= : : : = f
p
i
En tal caso, las distribuciones condicionadas X=Y = yj coinciden con la marginal
de X, es decir
X es independiente de Y , f
j
i
= fi: para
i = 1; : : : ; k
j = 1; : : : ; p
² Diremos que Y es estadísticamente independiente de X (o, simplemente, inde-
pendiente de X) si todas las distribuciones condicionadas Y=X = x i son iguales
entre sí, para cualquier x i al que se condicione, es decir,
Y es independiente de X , f
i
j
no depende de i
, f
1
j
= f
2
j
= : : : = f
k
j
En tal caso, las distribuciones condicionadas Y=X = x i coinciden con la marginal
de Y , es decir
Y es independiente de X , f
i
j
= f :j para
i = 1; : : : ; k
j = 1; : : : ; p
² Se puede demostrar que la independencia es recíproca, esto es,
X es independiente de Y , Y es independiente de X
Esto permite hablar de variables independientes entre sí (diremos, simplemente,
que X e Y son independientes ).
² De las de…niciones anteriores y de la Nota 1 se deduce que
X e Y son independientes , fij = fi: ¢ f:j , nij =
n i: ¢ n :j
n
8 Variable Estadística Bidimensional
3.5 Dependencia Funcional de Variables
Cuando dos variables no son estadísticamente independientes, se dice que son estadís-
ticamente dependientes. La dependencia estadística más fuerte es la llamada Depen-
dencia Funcional.
² Se dice que X depende funcionalmente de Y si a cada modalidad y j de Y corre-
sponde una única modalidad de X (en cada columna de la tabla bidimensional
hay un término, y sólo uno, diferente de cero).
² Se dice que Y depende funcionalmente de X si a cada modalidad xi de X corre-
sponde una única modalidad de Y (en cada …la de la tabla bidimensional hay un
término, y sólo uno, diferente de cero).
² En general, la dependencia funcional no es recíproca, como muestra el siguiente
ejemplo:
X nY y 1 y 2 y 3 y 4
x 1 4 0 7 0
x 2
x 3
X depende funcionalmente de Y
Y NO depende funcionalmente de X
3.6 Covarianza
Se trata de una característica numérica conjunta bidimensional que indica el sentido en
que crecen o decrecen las variables por término medio. Concretamente, si la covarianza
es positiva, las dos variables varían en el mismo sentido (las dos crecen o las dos
decrecen) y, si es negativa, las variables varían en sentido opuesto (una crece cuando la
otra decrece y viceversa). La covarianza de dos variables, X e Y , se de…ne como
Cov (X; Y ) = ¾X Y =
k X
i=
p X
j=
fij (xi ¡ x¹) (yj ¡ y¹) =
n
k X
i=
p X
j=
nij xiyj ¡ x¹y¹
Propiedad (cambio de origen y escala) Si en una variable estadística bidimen-
sional (X; Y ) se realizan los siguientes cambios de origen y escala
X
0
X ¡ x 0
a
Y
0
Y ¡ y 0
b
; a; b; x 0 ; y 0 2 R
10 Variable Estadística Bidimensional
3.7 Representaciones Grá…cas
