TRABAJO COLABORATIVO UNIDAD 2
PROBABILIDAD
PRESENTADO POR
NO IMPORTA, LO IMPORTANTE ES QUE LES SIRVA, DE UN
AGROFORESTAL PARA EL QUE LO NECESITE.
ESTUDIANTE DE INGENIERÍA AGROFORESTAL
UNAD
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Varios Probabilidad 2017, Diapositivas de Contabilidad Financiera
Resumenes referentes catedra probabilidad 2017
Tipo: Diapositivas
2016/2017
1 / 36
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TRABAJO COLABORATIVO UNIDAD 2
PROBABILIDAD
PRESENTADO POR
NO IMPORTA, LO IMPORTANTE ES QUE LES SIRVA, DE UN
AGROFORESTAL PARA EL QUE LO NECESITE.
ESTUDIANTE DE INGENIERÍA AGROFORESTAL
UNAD
INTRODUCCIÓN
A partir de trabajar activamente desarrollando los ejercicios propuestos para la
comprensión de esta unidad 2 del modulo de probabilidad, nosotros los
estudiantes, adquirimos destrezas en el desarrollo adecuado de problemas que
se nos pueden presentar a lo largo de nuestra vida así como en las carreras
profesionales que nos ofrece la UNAD. En forma muy general este documento
nos presenta el desarrollo de 39 ejercicios propuestos sobre variables
aleatorias y distribuciones de probabilidad utilizando las formulas
correspondientes para solucionar cada uno de ellos.
OBJETIVOS ESPECÍFICOS
Identificar las distintas variables que nos ofrece cada ejercicio con el fin
de poder aplicar la fórmula adecuada.
Realizar cada ejercicio indicando los pasos efectuados para el desarrollo
de cada uno de ellos.
Resolver las preguntas planteadas en cada ejercicio.
VARIABLES ALEATORIAS, FUNCIÓN DE PROBABILIDAD Y VALOR
ESPERADO
1.- Determine el valor de a de manera que cada una de las siguientes
funciones pueda servir como distribución de probabilidad de la variable
aleatoria discreta X
a) f (x) = a(x2 + 4) x = 0, 1, 2, 3
Solución:
Para que sea distribución de probabilidad debe cumplir:
a [
2
2
2
2
]
a ( 4 + 5 + 8 + 13 ) =
a ( 30 ) = 1
a =
Luego el valor de a en la distribución de probabilidad es
b) f(x) = a( 2C x) (3C3-x) para x = 0,1,
Solución:
Para que sea distribución de probabilidad debe cumplir
I = 0
2
a
(
x
)(
3 − x
)
a
I = 0
2
(
x
)(
3 − x
)
a
[
(
)(
)
(
)(
)
(
)(
)
]
a ( 1 ∗ 1 + 2 ∗ 3 + 1 ∗ 3 )= 1
a ( 1 + 6 + 3 )= 1
a ( 10 ) = 1
a =
Luego el valor de a en la distribución de probabilidad es
3.- Se seleccionan al azar dos calcetines y de manera sucesiva, se sacan de
un cajón que contiene seis calcetines cafés y cuatro verdes, Defina la variable
aleatoria X que represente el número de calcetines cafés que se selecciona.
Encuentre la función de probabilidad f(X), F(X), E(X), Varianza y desviación
estándar de la variable aleatoria.
Solución:
La variable aleatoria X está definida por 0, 1 y 2; la función de
probabilidad f(x) es:
f
x
= P
X = x
= h
x , N , n , K
(
k
x
)(
N − k
n − x
)
(
N
n
)
f ( x )= P ( X = 0 ) = h ( 0,10,4,6)=
(
)(
)
(
)
f
x
= P
X = 1
= h
(
)(
)
(
)
f
x
= P
X = 2
= h
(
)(
)
(
)
La función de probabilidad F(x) es:
F ( x )=
0 para x < 0
para 0 ≤ x < 1
para 1 ≤ x < 2
1 para x ≥ 2
La ganancia o media es:
μx = E ( x )=
(
)
μx = E ( x )=
(
)
μx = E ( x )=
La ganancia es de
Calculo de varianza:
σ
x
2
= V ( x )=
[
(
2
)
(
)
(
2
)
(
)
(
2
)
(
)
]
σ
x
2
= V ( x )=
[
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
]
σ
x
2
= V ( x )=
[
(
)
(
)
(
)
]
σ
x
2
= V ( x )=
La varianza es de 5.76.
Calculo de desviación estándar.
σ
x
√
σ
x
2
σ x
√
σ
x
La desviación estándar es de 2.
4.- Un jugador lanza un dado corriente. Si sale número primo, gana tantos
cientos de dólares como marca el dado, pero si no sale número primo, pierde
f ( x )= P ( X = x )=
(
)
La distribución de probabilidad es:
X 0 1 2 3
P(X=x)
6.- Una urna contiene 4 bolas con los números 1, 2, 3 y 4 respectivamente. Si
se toman dos bolas de la urna sin sustitución y X representa la suma de los
números de las dos bolas extraídas.
Determine la función de probabilidad f(X), el valor esperado E(X) y la varianza
de la variable aleatoria
Solución:
Al tomar las dos bolas tenemos las siguientes posibilidades.
S =
{
}
Para que sea distribución de probabilidad debe cumplir
La variable X corresponde a 3, 4, 5, 6 y 7
P ( 3 )={(1,2 ) , ( 2,1) }=
P ( 4 )={( 1,3 ) , ( 3,1) }=
P ( 5 )={(1,4 ) , (2,3 ) , ( 3,2) , ( 4,1) }=
P ( 6 )=
{
}
P ( 7 )=
{
}
P ( X = x ) =
μx = E ( x )=
{
(
)
(
)
(
)
(
)
(
) }
μx = E ( x )=
El valor esperado es de 5
σ
x
2
= V ( x )=
[
(
2
)
(
2
)
(
2
)
(
2
)
(
2
)
]
σ
x
2
= V ( x )=
La varianza aleatoria es de 670
7.- A un dependiente de un auto lavado se le paga de acuerdo con el número
de automóviles que lava. Suponga que las probabilidades son 1/12, 1/12. ., .,
1/6 y 1/6 respectivamente de que el dependiente reciba $5, $7, $9, $ 11, $ 13 o
$ 17 entre las 4 y 5 de la tarde en un día soleado. Encuentre las ganancias que
espera el dependiente para este periodo específico.
Solución:
x 5 7 9 11 13 17
P(x)
μx = E ( x )=
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
μx = E ( x )=
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
μx = E ( x )=
(
)
(
)
(
)
μx = E ( x )= 11
La ganancia esperada es 11
Solución:
Para que sea distribución de probabilidad debe cumplir
La variable X corresponde a 1 y 2 donde n=3 la probabilidad es
P ( x )=
P ( X = x ) = n C
x
∗ P ( x )
x
∗( 1 − P ( x )
3 − x
)
P ( X = x ) = n C
x
(
)
x
(
(
)
3 − x
)
= n C
x
(
)
x
(
(
)
3 − x
)
P
(
)
(
)
0
(
)
3
P ( 1 )=
(
)
(
)
1
(
)
2
P ( 2 )=
(
)
(
)
2
(
)
1
P ( 3 )=
(
)
(
)
3
(
)
0
P ( X = x ) =
10.- Al invertir en acciones financieras, una persona puede lograr una ganancia
de 4000 dólares en un año con probabilidad de 0.3 o bien tener una pérdida de
1.000 dólares con probabilidad de 0.7. Cuál sería la ganancia esperada de esa
persona.
Solución:
La variable X es 4000 y 1000 y la probabilidad es 0.3 y 0.7 respectivamente:
μx = E ( x )=( 4000 ∗0.3− 1000 ∗0.7)
μx = E ( x )=( 1200 − 700 )
μx = E ( x )= 500
La ganancia obtenida por la persona es de 500
11.- Suponga que un comerciante de joyería antigua está interesado en
comprar una gargantilla de oro para la cual las probabilidades de poder
venderla con una ganancia de $ 250, $ 100, al costo, o bien con una pérdida de
$150 son: respectivamente: 0.22, 0.36, 0.28, 0.14. Cuál es la ganancia
esperada del comerciante?
Solución:
La variable X es 250, 100, 0, 150
La probabilidad es 0.22, 0.36, 0.28, 0.
μx = E ( x )=( 250 ∗0.22+ 100 ∗0.36+ 0 ∗0.28− 150 ∗0.14 )
μx = E ( x )=( 55 + 36 + 0 − 21 )
μx = E ( x )= 70
La ganancia esperada es de 70
12.- Un piloto privado desea asegurar su avión por 50.000 dólares. La
compañía de seguros estima que puede ocurrir una pérdida total con
probabilidad de 0.002, una pérdida de 50% con una probabilidad de 0.01 y una
de 25% con una probabilidad de 0.1. Si se ignoran todas las otras pérdidas
parciales, ¿que prima debe cargar cada año la compañía de seguros para
obtener una utilidad media de US $500?
Solución:
μx = E ( x )=
x ∗0.002+ ( x ∗0.01) +( x ∗0.1)
μx = E ( x )=0.002 x +0.01 x +0.1 x
500 =0.112 x
= x
x =4464.
El valor de la prima que la compañía debe carga cada año es de 4464.
13.- Sea X una variable aleatoria con función de densidad
f (x) = a (3x – x
2
) 0 ≤ x ≤ 3
0 en otro caso
Calculo del valor esperado
La variable X corresponde a 0, 1 y 2
μx = E ( x )=
(
)
(
)
(
)
μx = E ( x )= 0 +
μx = E ( x )=
El valor esperado es de 2.
Calculo de varianza
σ
x
2
= V ( x )= ∑
[
(
x
2
x
)
∗ μ
x
2
]
σ
x
2
= V ( x )=
[
(
2
)
(
)
(
2
)
(
)
(
2
)
(
)
]
σ
x
2
= V ( x )=
[
(
)
(
) ]
σ
x
2
= V ( x )=
La varianza corresponde a 8.
Calculo de desviación estándar
σ
x
√
σ
x
2
σ x
√
La desviación estándar corresponde a 2.
15.- Sea X una variable aleatoria con función de densidad
f (x) = a (4x – x
3
) 0 ≤ x ≤ 2
0 en otro caso
a) Determine el valor de a para que la función sea efectivamente una función
de densidad de probabilidad
b) Calcule P (1 < X < 1,5)
c) Obtenga el valor esperado de la variable
Solución:
Para que sea distribución de probabilidad debe cumplir:
a) La variable X corresponde a 0, 1, y 2
a [
( 4 ( 0 )+ 0
2
)+( 4 ( 1 ) + 1
2
)+( 4 ( 2 ) + 2
2
) ]
a [ 0 + 5 + 12 ]= 1
a [ 17 ]= 1
a =
el valor de a corresponde es =
b)
PP ( 1 < x <1.5) =
∫
1
f ( x ) dx
P ( 1 < x <1.5 )=
1
4 x + x
3
dx =
1
4 ( x ) dx +
1
x
3
dx
P ( 1 < x <1.5 )=¿
[
(
4 x
2
)
(
x
4
) ]
P
1 < x <1.
[
(
2
4
)
(
2
4
)
]
P
1 < x <1.
[
(
)
(
)
]
P ( 1 < x <1.5 )=
[
(
)
(
)
]
(
)
La probabilidad de que los niños vean televisión entre 50 y 100 horas es de
6250 cuando f(x)=x 0 ≤ x ≤ 1
f ( x )= 2 − x 1 ≤ x ≤ 2
P ( 50 ≤ x ≤ 100 )=
50
100
( 2 − x ) dx =¿
50
100
2 dx −¿
50
100
xdx = 2 x −¿
x
2
|
P ( 50 ≤ x ≤ 100 )= 2 x −
x
2
|
[
(
2
)
(
2
) ]
P ( 50 ≤ x ≤ 100 )=− 4800 − 1150 =− 5950
La probabilidad de que los niños vean televisión entre 50 y 100 horas es de -
5950 cuando f(x)=2 - x 1 ≤ x ≤ 2
b) la probabilidad entre 120 y 150 horas
f ( x )= x 0 ≤ x ≤ 1
P ( 120 ≤ x ≤ 150 )=
120
150
xdx =¿
x
2
|
2
2
La probabilidad de que los niños vean televisión entre 120 y 150 horas es de
18450 cuando f(x)=x 0 ≤ x ≤ 1
f ( x )= 2 − x 1 ≤ x ≤ 2
P ( 120 ≤ x ≤ 150 )= ∫
120
150
( 2 − x ) dx =¿ ∫
120
150
2 dx −¿ ∫
120
150
xdx = 2 x −¿
x
2
|
P
120 ≤ x ≤ 150
= 2 x −
x
2
|
[
(
2
)
(
2
)
]
P ( 120 ≤ x ≤ 150 )=− 10950 +(− 6960 )=− 17910
La probabilidad de que los niños vean televisión entre 120 y 150 horas es de -
17910 cuando f(x)=2 - x 1 ≤ x ≤ 2
Promedio de horas:
P ( 0 ≤ x ≤ 1 ) =
∫
0
1
xdx =
x
2
|
2
2
μx = E ( x )=
[
(
)
(
) ]
(
)
la ganancia es de
=0.5 ; para la funcion de f ( x ) = x 0 ≤ x ≤ 1
P ( 1 ≤ x ≤ 2 )=
∫
1
2
( 2 − x ) dx =
∫
1
2
2 dx −
∫
1
2
xdx = 2 x −
x
2
|
P
1 ≤ x ≤ 2
(
2
)
(
2
)
μx = E ( x )=
[
(
)
(
)
]
la ganancia es de
=10.5 ; para la funcion de f ( x )= 2 − x para 1 ≤ x ≤ 2
DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DISCRETAS Y CONTINUAS
17- En una clase de ciencias naturales de 12 alumnos se elegirá un
representante de grupo, para lo cual se usara el número de lista de cada
alumno. Se anotan 12 papeles con números del 1 al 12 respectivamente se
doblan y se meten en un frasco. Luego se extrae al azar un papel para
designar al representante. Determine la probabilidad de que el numero que
salga sea menor que 5; determine la probabilidad de que el numero sea mayor
que 3 pero menor que 7.
Solución:
La probabilidad de que P ( x < 5 ) es:
P ( x < 5 )= 1 − P ( x > 5 )= 1 −
5
− ∞
dx = 1 −
x |
{
}
la probabilidad de P ( x < 5 ) es =
P ( 3 < x < 7 )
P ( 3 < x < 7 )= ∫
3
7
dx =