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Ejercicio 2: resolución de problemas básicos de vectores en R3.
Dados los vectores ⃗𝒗⃗ y ⃗𝒘⃗ , calcule:
- La suma ⃗𝒖⃗ = ⃗𝒗⃗ + ⃗𝒘⃗.
RTA: ⃗𝒖⃗= (-1, -6, +13)
- La magnitud de ⃗𝒖⃗.
RTA: ⃗𝒖⃗ = √
− 1
2
2
2
⃗𝒖⃗= √1 + 36 + 169
⃗𝒖⃗=√
⃗𝒖⃗= 14,
- La dirección de ⃗𝒖⃗.
RTA: ⃗𝒖⃗ = (-1 -6 +13)/ 14,
⃗𝒖⃗=
- El á ngulo formado por ⃗𝒗⃗ y ⃗𝒘⃗.
RTA: Cos ø =
v. ⃗ w
|
⃗ v |. ∨ ⃗ w ∨¿ ¿
Cos ø =
2
2
2
2
2
2
Cos ø =
Cos ø =
Cos ø =
Ø= cos
− 1
Ø= 63.49°
C. ⃗𝒗⃗ = ( − 3 , − 7 , 8 ) y ⃗𝒘⃗ = ( 2 , 1 , 5 ).
Ejercicio 3: operaciones básicas entre vectores en R3.
Determine el producto cruz de los vectores
⃗𝒖⃗ = (−7, 9, −8); ⃗𝒗⃗ = (9, 3, −8) y luego, desarrollar las operaciones que se
indiquen en el literal seleccionado.
RTA: ⃗𝒖⃗ x ⃗𝒗⃗=
|
x y z
|
⃗𝒖⃗ x ⃗𝒗⃗=
|
|
x −
|
|
y +
|
|
z
⃗𝒖⃗ x ⃗𝒗⃗=[(9)(-8)-(3)(-8)]x – [(-7)(-8)-(9)(-8)]y + [(-7)(3)-(9)(9)]z
⃗𝒖⃗ x ⃗𝒗⃗=-48x – 128y -102z
⃗𝒖⃗ x ⃗𝒗⃗=<-48 – 128 -102>
RTA:
(
)
(
)
. ((−7, 9, −8)+(9, 3, −8))
Multiplicamos primero el fraccionario
(
(
)
)
. ((−7, 9, −8)+(9, 3, −8))
Solucionamos el primer parentesis que es la suma
(
(
)
)
=
(
)
El ejercicio quedaria de la siguiente forma
(
)
Resolvemos la suma del otro lado del parentesis
Quedando esto de la siguiente manera
Y su determinante según la regla de Sarrus
(−13)⋅(−27)⋅(−18)+1⋅ 35 ⋅27+8⋅(−16)⋅(−9)−27⋅(−27)⋅8−(−9)⋅ 35 ⋅(−13)−(−18)⋅(−16)⋅ 1
Y esto es igual a :
C. ( 𝑩𝑻 + 𝑨 )∙ 𝑨
RTA:
Iniciamos resolviendo el paréntesis principal que es la suma
Luego multiplicando la filas de la primera matriz por las columnas de la segunda
matriz.
Y obtenemos el resultado que es:
Ejercicio 5: resolución de problemas básicos sobre matrices y determinantes.
En cada caso halle la matriz inversa mediante los siguientes métodos:
El método de Gauss-Jordán.
RTA:
(
)
− 1
(
|
)
*-
(
|
)
*(-1)
(
|
)
*(3)
(
|
)
*(-4)
(
|
)
*(2)
(
|
)
(
)
− 1
(
)
❑
El método de los determinantes.
RTA: 1(−1)(−2)+(−2)* 1 0+411−0(−1)4−1 1 1−(−2) 1 *(−2)=
Multiplicamos la fila 2 por 1 y
la restamos a la fila 3
Multiplicamos la fila 1 por 1 y
la restamos a la fila 2
Multiplicamos la fila 3 por 4 y
la restamos a la fila 1
Multiplicamos la fila 2 por -3 y
la restamos a la fila 2
Multiplicamos la fila 2 por -2 y
la restamos a la fila 1
|| u
→
||= √
x
2
2
2
||
||
√
2
2
2
La dirección de 𝒖⃗.
cosαα =
x
¿| u |∨¿ ⟹ cos α =
⟹ α =cos
− 1
0.70 ⟹ α =45.57 ° ¿
cosαβ =
y
¿| u |∨¿ ⟹ cos β ¿
⟹ β =cos
− 1
0.14 ⟹ β =81.95 ° ¿
cosαθ =
x
¿| u |∨¿ ⟹ cos θ =
⟹θ =cos
− 1
0.70 ⟹ θ =45.57 ° ¿
No se valora la posicion Z del vector
El ángulo formado por 𝒗⃗ y 𝒘⃗.
cos
v ∗ w
| v |∗¿ w ∨¿
v ∗ w =
[
]
| u |=
√
2
2
2
| u |=
√
2
2
2
Aunque el resultado es el indicado la represetacion de la raiz no es la indicada √
2
2
2
⟹ cos θ =
⟹ cos θ =−0.
θ =cos
− 1
Ejercicio 3: operaciones básicas entre vectores en R2 y R3.
Determine el producto cruz de los vectores 𝒖⃗ = (−7, 9, −8); ⃗𝒗 = (9, 3, −8) y luego, desarrollar las operaciones que se
indiquen en el literal seleccionado.
a) (4𝒖⃗ + 2⃗𝒗 ) ∙ ( 1 /2 ( 1 /2𝒖⃗ − ⃗𝒗 )
producto punto:
u
→
X v
→
|
i j k
|
u
→
X v
→
|
|
i −
|
|
j +
|
|
k
u
→
X v
→
=[− 72 −
] i −[ 56 −
] j +
[ − 21 − 81
] k
Seria bueno idenficiar de donde se dieron esos numeros (dada que la multiplicacion es en cruz)
u
→
X v
→
[ − 48 i − 128 j − 102 k
]
u ⃗ X ⃗ v =(− 48 , − 128 , − 102 )
u + 2 ⃗
v ) ∙ (
u − ⃗
v )
4 ⃗ u = 4 (− 7 , 9 , − 8 )=(− 28 , 36 , − 32 ) 2 ⃗ v = 2 ( 9 , 3 , − 8 )=( 18 , 6 , − 16 )
u =(
[
]
[
(
)
]
(
)
Ejercicio 4: operaciones con matrices y determinantes.
Calcular el determinante de la matriz que resulta de la operación 𝑨 ∗ 𝑩. Luego, desarrolle las operaciones
según su literal.
a. A
T
∗ B
T
+ C
⟹ A ∗ B =
(
)
(
)
Gauss – Jordan
[
]
- Resto fila 1 a la fila 2
⟨
|
⟩
⟨ 0 0 − 1 |− 1 1 0 ⟩
[
]
- A la fila 3 le resto la fila 1 multiplicada por 4
⟨
|
⟩
⟨ 0 − 1 − 6 |− 4 0 1 ⟩
[
]
- Cambio la fila 2 con la fila 3 y las multiplico por -
[
]
- Multiplico la fila 3 por 3 y resto la fila 3 a la 1. Despues multiplico por -
⟨
|
⟩
⟨ − 1 0 0 | 2 − 3 0 ⟩
[
]
- A la fila 2 resto la fila 3 multiplicada por 6
⟨
|
⟩
⟨ 0 1 0 |− 2 6 − 1 ⟩
[
]
Resultado:
A
− 1
[
]
