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[ Baccalauréat S 2006 \
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Baccalauréat S : l’intégrale 2006 A. P. M. E. P.
Baccalauréat S : l’intégrale 2006 Baccalauréat S
2. Pour tout entier naturel n , on pose un = | zn |. Justifier que la suite ( un ) est une suite géométrique puis établir que, pour tout entier naturel n ,
un = 2
p 2
) n .
3. À partir de quel rang n 0 tous les points An appartiennent-ils au disque de centre O et de rayon 0,1? 4. a. Établir que, pour tout entier naturel n ,
zn + 1 − zn zn + 1
= i. En déduire la nature du triangle O An An + 1. b. Pour tout entier naturel n , on note ℓn la longueur de la ligne brisée A 0 A 1 A 2 ... An − 1 An. On a ainsi : ℓn = A 0 A 1 + A 1 A 2 + ... + An − 1 An. Exprimer ℓn en fonction de n. Quelle est la limite de la suite ( ℓn )?
EXERCICE 2 4 points Candidat ayant suivi l’enseignement de spécialité
Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal direct
O,
u ,
v
. On prendra 5 cm pour unité graphique. Soit f la transformation qui, à tout point M d’affixe z , associe le point M ′^ d’affixe z ′ définie par :
z ′^ =
i
z + 1.
1. Justifier que f est une similitude directe dont on précisera le centre Ω (d’af- fixe ω ), le rapport k et l’angle θ. 2. On note A 0 le point O et, pour tout entier naturel n , on pose An + 1 = f ( An ). a. Déterminer les affixes des points A 1 A 2 , A 3 puis placer les points A 0 , A 1 , A 2 et A 3. b. Pour tout entier naturel n , on pose un = Ω An. Justifier que la suite ( un ) est une suite géométrique puis établir que, pour tout entier naturel n ,
un =
p 2
p 2
) n .
c. À partir de quel rang n 0 tous les points An appartiennent-ils au disque de centre Ω et de rayon 0,1?
3. a. Quelle est la nature du triangle Ω A 0 A 1? En déduire, pour tout entier naturel n , la nature du triangle Ω An An + 1. b. Pour tout entier naturel n , on note ℓn la longueur de la ligne brisée A 0 A 1 A 2 ... An − 1 An. On a ainsi : ℓn = A 0 A 1 + A 1 A 2 +...+ An − 1 An. Exprimer ℓn en fonction de n. Quelle est la limite de la suite ( ℓn )?
EXERCICE 3 4 points Commun à tous les candidats
L’espace est muni d’un repère orthonormal
O,
ı ,
k
Partie A (cette partie constitue une restitution organisée de connaissances)
Pondichéry 4 3 avril 2006
Baccalauréat S : l’intégrale 2006 Baccalauréat S
Soit a , b , c et d des réels tels que ( a , b , c ) 6 = (0, 0, 0). Soit P le plan d’équation ax + by + cz + d = 0.
On considère le point I de coordonnées
xI , yI , zI
et le vecteur
n de coordonnées ( a , b , c ). Le but de cette partie est de démontrer que la distance de∣ I au plan P est égale à ∣ axI + byI + czI + d ∣∣ p a^2 + b^2 + c^2
1. Soit ∆ la droite passant par I et orthogonale au plan P. Déterminer, en fonction de a , b , c , xI , yI et zI , un système d’équations pa- ramétriques de ∆. 2. On note H le point d’intersection de ∆ et P. a. Justifier qu’il existe un réel k tel que
I H = k
n. b. Déterminer l’expression de k en fonction de a , b , c , d , xI , yI et zI.
c. En déduire que I H =
∣ axI + byI + czI + d
p a^2 + b^2 + c^2
Partie B
Le plan Q d’équation x − y + z − 11 = 0 est tangent à une sphère S de centre le point Ω de coordonnées (1, −1, 3).
1. Déterminer le rayon de la sphère S. 2. Déterminer un système d’équations paramétriques de la droite ∆ passant par Ω et orthogonale au plan Q 3. En déduire les coordonnées du point d’intersection de la sphère S et du plan Q.
EXERCICE 4 7 points Commun à tous les candidats
Les parties A et B sont indépendantes. Un laboratoire de recherche étudie l’évolution d’une population animale qui semble en voie de disparition.
Partie A
En 2000, une étude est effectuée sur un échantillon de cette population dont l’effec- tif initial est égal à mille. Cet échantillon évolue et son effectif, exprimé en milliers d’individus, est approché par une fonction f du temps t (exprimé en années à partir de l’origine 2000). D’après le modèle d’évolution choisi, la fonction f est dérivable, strictement posi- tive sur [0 ; +∞[, et satisfait l’équation différentielle :
(E) y ′^ = −
y (3 − ln y ).
1. Démontrer l’équivalence suivante : Une fonction f , dérivable, strictement positive sur [0 ; +∞[, vérifie, pour tout t de [0 ; +∞[, f ′( t ) = −
f ( t )[3 − ln
f ( t )
] si et seulement si la fonction g = ln( f ) vérifie, pour tout t de [0 ; +∞[, g ′( t ) =
g ( t ) −
2. Donner la solution générale de l’équation différentielle :
(H) z ′^ =
z −
Pondichéry 5 3 avril 2006
[ Baccalauréat S Amérique du Nord mai 2006 \
EXERCICE 1 3 points Commun à tous les candidats
Pour chacune des 3 questions, une seule des trois propositions est exacte. Le candidat indiquera sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée. Une réponse exacte rapporte 1 point ; une réponse inexacte enlève 0,5 point ; l’absence de réponse est comptée 0 point. Si le total est négatif, la note est ramenée à zéro.
Une urne contient 10 bulletins indiscernables au toucher de 3 sortes : 4 sont marqués « oui », 3 sont marqués « non » et 3 sont marqués « blanc ». Lors d’un premier jeu, le joueur commence par miser 30 centimes d’euro. Il tire en- suite un bulletin de l’urne et l’y remet après l’avoir lu. Si le bulletin tiré est marqué « oui », le joueur reçoit 60 centimes d’euro, s’il est marqué « non », il ne reçoit rien. Si le bulletin tiré est marqué « blanc », il reçoit 20 centimes d’euro.
Question 1 Le jeu est : A : favorable au joueur B : défavorable au joueur C : équitable Question 2 Le joueur joue 4 parties indépendamment les unes des autres. La probabilité qu’il tire au moins une fois un bulletin marqué « oui » est égale à A :
B :
C :
Lors d’un second jeu, le joueur tire simultanément deux bulletins de l’urne. Question 3 : la probabilité qu’il obtienne un tirage de deux bulletins de sortes dif- férentes est égale à : A :
B :
C :
EXERCICE 2 5 points
Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormal direct
O,
u ,
v
(unité
graphique 2 cm), on considère les points A, B et C d’affixes respectives z A = 2, z B = 1 + i
p 3 et z C = 1 − i
p
Partie A
1. a. Donner la forme exponentielle de z B puis de z C. b. Placer les points A, B et C. 2. Déterminer la nature du quadrilatère OBAC. 3. Déterminer et construire l’ensemble D des points M du plan tels que | z | = | z − 2 |.
Partie B
À tout point M d’affixe z tel que z 6 = z A, on associe le point M ′^ d’affixe z ′^ défini par
z ′^ =
z − 2
1. a. Résoudre dans C l’équation z =
z − 2
b. En déduire les points associés aux points B et C. c. Déterminer et placer le point G′^ associé au centre de gravité G du triangle OAB.
Baccalauréat S : l’intégrale 2006 Baccalauréat S
2. a. Question de cours : Prérequis : le module d’un nombre complexe z quelconque, noté | z | , vérifie | z |^2 = zz où z est le conjugué de z. Démontrer que : - pour tous nombres complexes z 1 et z 2 , | z 1 × z 2 | = | z 1 | × | z 2 |. - pour tout nombre complexe z non nul,
z
∣ =^
| z |
b. Démontrer que pour tout nombre complexe z distinct de 2,
∣ ∣ z ′^ − 2
∣ (^) = 2 | z | | z − 2 |
c. On suppose dans cette question que M est un point quelconque de D, où D est l’ensemble défini à la question 3. de la partie A. Démontrer que le point M ′^ associé à M appartient à un cercle Γ dont on précisera le centre et le rayon. Tracer Γ.
EXERCICE 2 5 points Exercice de spécialité
Le plan est muni d’un repère orthonormal direct
O,
u ,
v
(unité graphique : 4 cm).
Soit Ω le point d’affixe 2.
On appelle r la rotation de centre Ω et d’angle
π 4
et h l’homothétie de centre Ω et de
rapport
p 2 2
1. On pose σ = h ◦ r. a. Quelle est la nature de la transformation σ? Préciser ses éléments carac- téristiques.
b. Montrer que l’écriture complexe de σ est : z 7 −→
1 + i 2
z + 1 − i.
c. Soit M un point quelconque du plan d’affixe z. On désigne par M ′^ son image par σ et on note z ′^ l’affixe de M ′. Montrer que z − z ′^ = i
2 − z ′
2. a. Question de cours - Prérequis : définitions géométriques du module d’un nombre complexe et d’un argument d’un nombre complexe non nul. Propriétés algébriques des modules et des arguments.
Démontrer que : si A est un point donné d’affixe a , alors l’image du point P d’affixe p par la rotation de centre A et d’angle
π 2
est le point Q d’affixe q telle que q − a = i( p − a ). b. Déduire des questions précédentes la nature du triangle Ω M M ′^ , pour M distinct de Ω.
3. Soit A 0 le point d’affixe 2 + i. On considère la suite ( An ) de points du plan définis par :
pour tout entier naturel n , An + 1 = σ ( An ).
a. Montrer que, pour tout entier naturel n , l’affixe an de An est donnée par :
an =
( (^) p 2 2
) n ei^
( n +2) π (^4) + 2.
b. Déterminer l’affixe de A 5.
Amérique du Nord 8 mai 2006
Baccalauréat S : l’intégrale 2006 Baccalauréat S
EXERCICE 4 7 points
Le plan est muni d’un repère orthonormal
O,
ı ,
On s’intéresse aux fonctions f dérivables sur [0 ; +∞[ vérifiant les conditions
{ (1) : pour tout réel x appartenant à[0 ; +∞[, f ′( x ) = 4 −
[
f ( x )
] 2
(2) : f (0) = 0
On admet qu’il existe une unique fonction f vérifiant simultanément (1) et (2). Les deux parties peuvent être traitées de manière indépendante. L’annexe sera com- plétée et remise avec la copie à la fin de l’épreuve.
Partie A. Étude d’une suite
Afin d’obtenir une approximation de la courbe représentative de la fonction f on utilise la méthode itérative d’Euler avec un pas égal à 0,2. On obtient ainsi une suite de points notés ( Mn ), d’abscisse xn et d’ordonnée yn telles que :
{ x 0 = 0 et pour tout entier naturel n , xn + 1 = xn + 0, y 0 = 0 et pour tout entier naturel n , yn + 1 = −0,2 y^2 n + yn + 0,
1. a. Les coordonnées des premiers points sont consignées dans le tableau de l’annexe. Compléter ce tableau. On donnera les résultats à 10−^4 près. b. Placer, sur le graphique donné en annexe, les points Mn pour n entier naturel inférieur ou égal à 7. c. D’après ce graphique, que peut-on conjecturer sur le sens de variation de la suite
yn
et sur sa convergence?
2. a. Pour x réel, on pose p ( x ) = −0,2 x^2 + x +0,8. Montrer que si x ∈ [0 ; 2] alors p ( x ) ∈ [0 ; 2].
b. Montrer que pour tout entier naturel n , 0 6 yn 6 2.
c. Étudier le sens de variation de la suite
yn
d. La suite
yn
est-elle convergente?
Partie B. Étude d’une fonction
Soit g la fonction définie sur [0 ; +∞[ par g ( x ) = 2
e^4 x^ − 1 e^4 x^ + 1
et
C g
sa courbe repré-
sentative.
1. Montrer que la fonction g vérifie les conditions (1) et (2). 2. a. Montrer que
C g
admet une asymptote ∆ dont on donnera une équa- tion. b. Étudier les variations de g sur [0 ; +∞[.
3. Déterminer l’abscisse α du point d’intersection de ∆ et de la tangente à
C g
à l’origine.
4. Tracer, dans le repère de l’annexe, la courbe
C g
et les éléments mis en évi- dence dans les questions précédentes de cette partie B.
Amérique du Nord 10 mai 2006
Baccalauréat S : l’intégrale 2006 Baccalauréat S
Cette page sera complétée et remise avec la copie avant la fin de l’épreuve Exercice 4 : Annexe Partie A
n 0 1 2 3 4 5 6 7 xn 0 0,2 0, yn 0 0,800 0 1,472 0
Partie B
Amérique du Nord 11 mai 2006
Baccalauréat S : l’intégrale 2006 Baccalauréat S
EXERCICE 3 4 points Commun à tous les candidats Partie A
Soit X une variable aléatoire continue qui suit une loi exponentielle de paramètre λ.
On rappelle que P ( X 6 a ) =
∫ a
0
λ e− λt^ d t.
La courbe donnée en ANNEXE 1 représente la fonction densité associée.
1. Interpréter sur le graphique la probabilité P ( X 6 1).
2. Indiquer sur le graphique où se lit directement le paramètre λ.
Partie B
On pose λ = 1,5.
1. Calculer P ( X 6 1), en donner une valeur exacte puis une valeur approchée à
10 −^3 près par excès.
2. Calculer P ( X > 2).
3. Déduire des calculs précédents l’égalité suivante : P (1 6 X 6 2) = 0,173 à
10 −^3 près.
4. Calculer l’intégrale F ( x ) =
∫ x
0
1,5 t e−1,5 t^ d t. Déterminer la limite quand x tend vers +∞ de F ( x ) ; on obtient ainsi l’espé- rance mathématique de la variable X.
Partie C
Une machine outil fabrique des cylindres. On mesure l’écart, en dixièmes de milli- mètres, entre le diamètre des cylindres et la valeur de réglage de la machine. On suppose que cet écart suit une loi exponentielle de paramètre λ = 1,5.
Si l’écart est inférieur à 1, le cylindre est accepté. Si l’écart est compris entre 1 et 2, on procède à une rectification qui permet d’accepter le cylindre dans 80 % des cas. Si l’écart est supérieur à 2, le cylindre est refusé.
1. On prélève au hasard un cylindre dans la production. a. Montrer que la probabilité qu’il soit accepté est égale à 0,915 à 10−^3 près. b. Sachant qu’il est accepté, quelle est la probabilité qu’il ait subi une recti- fication? 2. On prélève de manière indépendante dix cylindres de la production. On sup- pose que le nombre de cylindres suffisamment important pour assimiler ce tirage à un tirage successif avec remise. a. Quelle est la probabilité que les dix cylindres soient acceptés? b. Quelle est la probabilité qu’au moins un cylindre soit refusé?
EXERCICE 4 5 points Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité
1. Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormal
O,
u ,
v
, on consi- dère les points — A d’affixe a , a ∈ R — B d’affixe b + i, b ∈ R — C image de B dans la rotation de centre A et d’angle
π 3
a. Déterminer une relation entre a et b pour que le point C appartienne à l’axe
O ;
v
Antilles-Guyane 13 juin 2006
Baccalauréat S : l’intégrale 2006 Baccalauréat S
b. Exprimer alors l’affixe du point C en fonction de a.
2. Dans cette question, on pose a =
p 3 et b = 0. On considère les points C d’af- fixe c = −i et D d’affixe d = 2 +
p 3 − 2i
p
a. Quelle est la nature du triangle ABC?
b. Calculer le quotient
d − a c − a
; que peut-on en déduire pour le triangle AC D? c. Déterminer l’affixe du point E image de D dans la rotation de centre A et d’angle
π 3
d. Déterminer l’affixe du point F image de D dans la translation de vecteur −−→ AC. e. Déterminer la nature du triangle BE F.
EXERCICE 4 5 points Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité
Sur la figure donnée en ANNEXE 2, on considère les carrés O ABC et OC DE tels que :
(−−→ O A ;
OC
OC ;
OE
π 2
On désigne par I le milieu du segment [ C D ], par J le milieu du segment [ OC ] et par H le point d’intersection des segments [ AD ] et [ I E ].
1. Justifier l’existence d’une similitude directe s transformant A en I et D en E. 2. Déterminer le rapport de cette similitude s. On admet que l’angle de la similitude s est égal à
π 2
3. Donner, sans justifier, l’image de B par s. 4. Déterminer et placer l’image de C par s. 5. Soit Ω le centre de la similitude s. a. Montrer que Ω appartient au cercle de diamètre [ AI ] et à celui de dia- mètre [ DE ]. b. Montrer que Ω ne peut être le point H. c. Construire Ω. 6. On considère le repère orthonormal direct
O ;
O A ,
OC
a. Déterminer l’écriture complexe de la similitude s. b. En déduire l’affixe du centre Ω de s.
EXERCICE 5 5 points Commun à tous les candidats
Partie A
On considère les suites de points An et Bn définies pour tout entier naturel n de la
manière suivante : sur un axe orienté
O ;
u
donné en ANNEXE 3, le point A 0 a pour
abscisse 0 et le point B 0 a pour abscisse 12. Le point An + 1 est le barycentre des points ( An , 2) et ( Bn , 1), le point Bn + 1 est le barycentre des points pondérés ( An , 1) et ( Bn , 3).
1. Sur le graphique placer les points A 2 , B 2.
Antilles-Guyane 14 juin 2006
Baccalauréat S : l’intégrale 2006 Baccalauréat S
D I C B
H
J
E O A
ANNEXE 3
A (^0) b b
A 1
(^) b
B 0
b
B 1
u (^0 2 4 6 8 10 )
Antilles-Guyane 16 juin 2006
[ Baccalauréat S Asie juin 2006 \
EXERCICE 1 4 points Commun à tous les candidats
Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal direct
O,
u ,
v
(unité gra-
phique : 2 cm). On rappelle que pour tout vecteur
w non nul, d’affixe z , on a : | z | = ‖
w ‖ et
arg( z ) =
u ,
w
à 2 π près.
Partie A. Restitution organisée de connaissances
Prérequis : On sait que si z et z ′^ sont deux nombres complexes non nuls, alors :
arg( zz ′) = arg( z ) + arg( z ′).
Soient z et z ′^ deux nombres complexes non nuls. Démontrer que :
arg
( (^) z z ′
= arg( z ) − arg( z ′)
Partie B
On note A et B les points d’affixes respectives −i et 3i. On note f l’application qui, à tout point M du plan, d’affixe z , distinct de A, associe le point M ′^ d’affixe z ′^ telle que :
z ′^ = i z + 3 z + i
1. Étude de quelques cas particuliers. a. Démontrer que f admet deux points invariants J et K appartenant au cercle de diamètre [AB]. Placer ces points sur le dessin. b. On note C le point d’affixe c = − 2 +i. Démontrer que le point C′, image de C par f , appartient à l’axe des abscisses. 2. Pour tout point M du plan distinct de A et B, démontrer que arg
z ′
M A ,
M B
π 2 à 2 π près.
3. Étude de deux ensembles de points. a. Déterminer l’ensemble des points M d’affixe z tels que z ′^ soit un nombre complexe imaginaire pur. b. Soit M d’affixe z un point du cercle de diamètre [AB] privé des points A et B. À quel ensemble appartient le point M ′^?
EXERCICE 2 5 points Réservé aux candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité
On considère le cube ABCDEFGH représenté sur la feuille annexe. Dans tout l’exer-
cice, l’espace est rapporté au repère orthonormal
A ;
AB ;
AD ;
AE
On note I le point de coordonnées
1. Placer le point I sur la figure. 2. Le plan (ACI) coupe la droite (EH) en J. Démontrer que les droites (IJ) et (AC) sont parallèles.
Baccalauréat S Baccalauréat S
EXERCICE 3 4 points Commun à tous les candidats
Pierre et Claude jouent au tennis. Les deux joueurs ont la même chance de gagner la première partie. Par la suite, lorsque Pierre gagne une partie, la probabilité qu’il gagne la suivante est 0,7. Et s’il perd une partie, la probabilité qu’il perde la suivante est 0,8. Dans tout l’exercice, n est un entier naturel non nul. On considère les évènements :
- G n : « Pierre gagne la n -ième partie ».
- P n : « Pierre perd la n -ième partie ». On pose : pn = p (G n ) et qn = p (P n ). 1. Recherche d’une relation de récurrence. a. Déterminer p 1 puis les probabilités conditionnelles p G 1 (G 2 ) et p P 1 (G 2 ). b. Justifier l’égalité pn + qn = 1. c. Démontrer que pour tout entier naturel n non nul, pn + 1 = 0,5 pn + 0,2. 2. Étude de la suite
pn
On pose, pour tout entier naturel n non nul, vn = pn −
a. Prouver que la suite ( vn ) est une suite géométrique et exprimer vn en fonction de n. b. En déduire l’expression de pn en fonction de n. c. Déterminer la limite de la suite
pn
quand n tend vers +∞.
EXERCICE 4 7 points Commun à tous les candidats
Partie A
On considère l’équation différentielle
(E) : y ′^ + y = e− x^.
1. Démontrer que la fonction u définie sur l’ensemble R des nombres réels par u ( x ) = x e− x^ est une solution de (E). 2. Résoudre l’équation différentielle (E 0 ) : y ′^ + y = 0. 3. Démontrer qu’une fonction v , définie et dérivable sur R, est solution de (E) si et seulement si v − u est solution de (E 0 ). 4. En déduire toutes les solutions de (E). 5. Déterminer la fonction f 2 , solution de (E), qui prend la valeur 2 en 0.
Partie B
k étant un nombre réel donné, on note fk la fonction définie sur l’ensemble R par :
fk ( x ) = ( x + k )e− x^.
On note( C k la courbe représentative de la fonction fk dans un repère orthonormal
O,
ı ,
1. Déterminer les limites de fk en −∞ et +∞. 2. Calculer f (^) k ′ ( x ) pour tout réel x. 3. En déduire le tableau de variations de fk.
Asie 19 juin 2006
Baccalauréat S Baccalauréat S
Partie C
1. On considère la suite d’intégrales ( In ) définie par I 0 =
− 2
e− x^ d x et pour tout
entier naturel n > 1 par : In =
− 2
xn^ e− x^ d x.
a. Calculer la valeur exacte de l’intégrale I 0. b. En utilisant une intégration par parties, démontrer l’égalité :
In + 1 = (−2) n +^1 e^2 + ( n + 1) In.
c. En déduire les valeurs exactes des intégrales I 1 et I 2.
2. Le graphique ci-dessous représente une courbe C k qui est la représentation graphique d’une fonction fk définie à la partie B.
a. À l’aide des renseignements donnés par le graphique, déter- miner la valeur du nombre réel k correspondant. b. Soit S l’aire de la partie hachu- rée (en unité d’aire) ; exprimer S en fonction de I 1 et I 0 et en dé- duire sa valeur exacte.
O x
y
Asie 20 juin 2006
