Durée : 4 heures
[Baccalauréat C La Réunion juin 1988 \
EXER CIC E 1
Soit θun réel tel que : 0 6θ6π
2.
La suite (un)est définie par :
½u0= =2cosθ
un+1=p2+unpour tout entier natureln.
1. Calculer les trois premiers termes de la suite en fonction de θ. (On rappelle
que, pour tout réel x, on a : cos 2x=2cos2x−1.)
2. Montrer, par récurrence, que pour tout entier naturel n, on a :
un=2cos µθ
2n¶.
3. Soit (vn)la suite définie, pour tout entier naturel n, par vn=θ
2n.
Déterminer la limite de la suite (vn).
4. En déduire que (un)est convergente ; quelle est sa limite?
EXER CIC E 2
Dans l’espace muni d’un repère orthonormal direct ³O, −→
ı,−→
,−→
k´, on donne les
points A, B et C de coordonnées respectives (2 ; 0 ; 1), (3 ; −2 ; 0), (2 ; 8 ; −4). Aucune
figure n’est demandée.
1. Un point Métant de coordonnées (x;y;z), exprimer en fonction de x,yet z
les coordonnées du produit vectoriel −−→
AM∧−−→
BM.
2. Résoudre le système :
−x+y−2z= −4
−x−y−z= −11
2x+y−z=8
On fera figurer les étapes de la résolution sur la copie.
3. Montrer qu’il existe un unique point Nvérifiant −−→
AN∧−−→
BN=−−→
CNet donner les
coordonnées du point N.
4. On rappelle que le volumed’un tétraèdre s’obtient par la formule V=1
3×B×h
où Breprésente l’aire d’une base ethla hauteur correspondante.
Le point Nétant défini à la question précédente, montrer que le volume du
tétraèdre ABCNest égal à 1
6CN2.
EXER CIC E 3
Pour chaque entier naturel n, on pose
un=Z1
0
xn
1+2x+4x2dx.
