Télécharge Correction examen - géométrie algorithmique 7 et plus Examens au format PDF de Géométrie Algorithmique sur Docsity uniquement!
[ Baccalauréat S 2007 \
- L’intégrale de mars à novembre
- Nouvelle-Calédonie mars Pour un accès direct cliquez sur les liens bleus
- Pondichéry avril
- Liban mai 2007.
- Amérique du Nord mai 2007.
- Antilles-Guyane juin
- Asie juin
- Centres étrangers juin 2007.
- Métropole juin
- La Réunion juin
- Polynésie juin
- Antilles–Guyane septembre
- France et Réunion septembre 2007.
- Polynésie obligatoire septembre
- Amérique du Sud novembre
- Nouvelle-Calédonie novembre
Baccalauréat S : l’intégrale 2007 A. P. M. E. P.
Baccalauréat S : l’intégrale 2007 A. P. M. E. P.
EXERCICE 3 5 points Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité
Pour coder un message, on procède de la manière suivante : à chacune des 26 lettres de l’alphabet, on commence par associer un entier n de l’ensemble Ω = {0 ; 1 ; 2 ; ... ; 24 ; 25} selon le tableau ci-dessous :
A B C D E F G H I J K L M 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 N O P Q R S T U V W X Y Z 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
a et b étant deux entiers naturels donnés, on associe à tout entier n de Ω le reste de la division euclidienne de ( an + b ) par 26 ; ce reste est alors associé à la lettre correspondante. Exemple : pour coder la lettre P avec a = 2 et b = 3, on procède de la manière sui- vante :
étape 1 : on lui associe l’entier n = 15. étape 2 : le reste de la division de 2 × 15 + 3 = 33 par 26 est 7. étape 3 : on associe 7 à H. Donc P est codé par la lettre H.
1. Que dire alors du codage obtenu lorsque l’on prend a = 0? 2. Montrer que les lettres A et C sont codées par la même lettre lorsque l’on choisit a = 13. 3. Dans toute la suite de l’exercice , on prend a = 5 et b = 2. a. On considère deux lettres de l’alphabet associées respectivement aux en- tiers n et p. Montrer, que si 5 n + 2 et 5 p + 2 ont le même reste dans la division par 26 alors n − p est un multiple de 26. En déduire que n = p. b. Coder le mot AMI. 4. On se propose de décoder l a lettre E. a. Montrer que décoder la lettre E revient à déterminer l’élément n de Ω tel que 5 n − 26 y = 2, où y est un entier. b. On considère l’équation 5 x − 26 y = 2, avec x et y entiers relatifs. i. Donner une solution particulière de l’équation 5 x − 26 y = 2. ii. Résoudre alors l’équation 5 x − 26 y = 2. iii. En déduire qu’il existe un unique couple ( x ; y ) solution de l’équation
précédente, avec 0 6 x 6 25.
c. Décoder alors la lettre E.
EXERCICE 4 7 points Commun à tous les candidats
Soit ( un ) la suite définie sur N∗^ par
un =
∑^2 n k = n
k
n
n + 1
2 n
PARTIE A
1. Montrer que pour tout n de N∗
un + 1 − un = − 3 n − 2 n (2 n + 2)(2 n + 1)
Nouvelle-Calédonie 4 mars 2007
Baccalauréat S : l’intégrale 2007 A. P. M. E. P.
2. En déduire le sens de variation de la suite ( un ). 3. Établir alors que ( un ) est une suite convergente.
L’objectif de la partie B est de déterminer la valeur de la limite de la suite ( un ).
PARTIE B
Soit f la fonction définie sur l’intervalle ]0 ; +∞[ par :
f ( x ) =
x
( (^) x x + 1
1. a. Justifier pour tout entier naturel n non nul l’encadrement :
1 n + 1
∫ n + 1
n
x
d x 6
n b. Vérifier que ∫ n + 1
n
x
d x =
n
− f ( n )
c. En déduire que pour tout entier naturel n non nul,
0 6 f ( n ) 6
n ( n + 1)
2. On considère la suite ( Sn ) définie sur N∗^ par
Sn =
∑^2 n k = n
k ( k + 1)
n ( n + 1)
( n + 1)( n + 2)
2 n (2 n + 1) a. Montrer que pour tout entier naturel n non nul,
0 6 f ( n ) + f ( n + 1) + ··· + f (2 n ) 6 Sn
b. Déterminer les réels a et b tels que pour tout réel x distinct de −1 et de 0, on ait
1 x ( x + 1)
a x
b x + 1 c. En déduire l’égalité
Sn = n + 1 n (2 n + 1) d. En utilisant les questions précédentes, déterminer alors la limite quand n tend vers +∞ de
∑^2 n k = n
f ( k ) = f ( n ) + f ( n + 1) + ··· + f (2 n )
e. Vérifier que pour tout entier n > 1,
f ( n ) + f ( n + 1) + ··· + f (2 n ) = un − ln
n
f. Déterminer la limite de la suite ( un ).
Nouvelle-Calédonie 5 mars 2007
Baccalauréat S : l’intégrale 2007 A. P. M. E. P.
b. Soit A l’image de I par R. Calculer l’affixe z A de A. c. Montrer que O, A et B sont sur un même cercle de centre I. En déduire que OAB est un triangle rectangle en A. Donner une mesure de l’angle( −−→ OA ,
OB
d. En déduire une mesure de l’angle
u ,
OA
3. Soit T la translation de vecteur
IO. On pose A′^ = T (A). a. Calculer l’affixe z A′ de A′. b. Quelle est la nature du quadrilatère OIAA′^? c. Montrer que −
π 12
est un argument de z A′.
EXERCICE 2 5 points Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité
1. Dans cette question, il est demandé au candidat d’exposer des connaissances
On suppose connus les résultats suivants : — la composée de deux similitudes planes est une similitude plane ; — la transformation réciproque d’une similitude plane est une similitude plane ; — une similitude plane qui laisse invariants trois points non alignés du plan est l’identité du plan. Soient A, B et C trois points non alignés du plan et s et s ′^ deux similitudes du plan telles que s (A) = s ′(A), s (B) = s ′(B) et s (C) = s ′(C). Montrer que s = s ′.
2. Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal
O,
u ,
v
. La figure sera complétée au fur et à mesure. On donne les points A d’affixe 2, E d’affixe 1 + i, F d’affixe 2 + i et G d’affixe 3 + i. a. Calculer les longueurs des côtés des triangles OAG et OEF. En déduire que ces triangles sont semblables. b. Montrer que OEF est l’image de OAG par une similitude indirecte S , en déterminant l’écriture complexe de S.
c. Soit h l’homothétie de centre O et de rapport
p 2
. On pose A′^ = h (A) et G′^ = h (G), et on appelle I le milieu de [EA′]. On note σ la symétrie ortho- gonale d’axe (OI). Montrer que S = σ ◦ h.
EXERCICE 3 5 points Commun à tous les candidats
On considère la fonction f définie sur [0 ; +∞[ par
f ( x ) =
ln( x + 3) x + 3
1. Montrer que f est dérivable sur [0 ; +∞[. Étudier le signe de sa fonction dé- rivée f ′, sa limite éventuelle en +∞, et dresser le tableau de ses variations. 2. On définit la suite ( un ) n > 0 par son terme général un =
∫ n + 1
n
f ( x ) d x.
a. Justifier que, si n 6 x 6 n + 1, alors f ( n + 1) 6 f ( x ) 6 f ( n ).
b. Montrer, sans chercher à calculer un , que, pour tout entier naturel n ,
f ( n + 1) 6 un 6 f ( n ).
Pondichéry 7 12 avril 2007
Baccalauréat S : l’intégrale 2007 A. P. M. E. P.
c. En déduire que la suite ( un ) est convergente et déterminer sa limite.
3. Soit F la fonction définie sur [0 ; +∞[ par
F ( x ) = [ln( x + 3)]^2.
a. Justifier la dérivabilité sur [0 ; +∞[ de la fonction F et déterminer, pour tout réel positif x , le nombre F ′( x ).
b. On pose, pour tout entier naturel n , In =
∫ n
0
f ( x ) d x. Calculer In.
4. On pose, pour tout entier naturel n , Sn = u 0 + u 1 + ··· + un − 1. Calculer Sn. La suite ( Sn ) est-elle convergente?
EXERCICE 4 6 points Commun à tous les candidats
Pour réaliser une enquête, un employé interroge des personnes prises au hasard dans une galerie commerçante. Il se demande si trois personnes au moins accepte- ront de répondre.
1. Dans cette question, on suppose que la probabilité qu’une personne choisie au hasard accepte de répondre est 0,1. L’employé interroge 50 personnes de manière indépendante. On considère les évènements : A : « au moins une personne accepte de répondre » B : « moins de trois personnes acceptent de répondre » C : « trois personnes ou plus acceptent de répondre ». Calculer les probabilités des évènements A, B et C. On arrondira au millième. 2. Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 3. Dans cette question, on sup- pose que la variable aléatoire X qui, à tout groupe de n personnes interro- gées indépendamment, associe le nombre de personnes ayant accepté de répondre, suit la loi de probabilité définie par :
Pour tout entier k tel que 0 6 k 6 n − 1, P ( X = k ) =
e− a^ ak k! et P ( X = n ) = 1 −
n ∑− 1
k = 0
e− a^ ak k!
formules dans lesquelles a = n 10 a. Montrer que la probabilité qu’au moins trois personnes répondent est donnée par :
f ( a ) = 1 − e− a
1 + a +
a^2 2
b. Calculer f (5). En donner l’arrondi au millième. Cette modélisation donne- t-elle un résultat voisin de celui obtenu à la question 1?
3. On conserve le modèle de la question 2. On souhaite déterminer le nombre minimum de personnes à interroger pour que la probabilité que trois d’entre elles au moins répondent soit supérieure ou égale à 0,95. a. Étudier les variations de la fonction f définie sur R+^ par
f ( x ) = 1 − e− x
1 + x +
x^2 2
ainsi que sa limite en +∞. Dresser son tableau de variations.
Pondichéry 8 12 avril 2007
[ Baccalauréat S Liban juin 2007 \
EXERCICE 1 6 points Commun à tous les candidats
Soient f et g les fonctions définies sur l’intervalle ]0 ; +∞[ par :
f ( x ) = ln x et g ( x ) = (ln x )^2.
On note C et C ′^ les courbes représentatives respectives de f et g dans un repère orthogonal. Les courbes C et C ′^ sont données en annexe.
1. a. Étudier le signe de (ln x )(1 − ln x ) sur ]0 ; +∞[. b. En déduire la position relative des deux courbes C et C ′^ sur ]0 ; +∞[. 2. Pour x appartenant à ]0 ; +∞[, M est le point de C d’abscisse x et N est le point de C ′^ de même abscisse. a. Soit h la fonction définie sur ]0 ; +∞[ par h ( x ) = f ( x ) − g ( x ). Étudier les variations de la fonction h sur ]0 ; +∞[. b. En déduire que sur l’intervalle [1 ; e], la valeur maximale de la distance M N est obtenue pour x =
p e. c. Résoudre dans ]0 ; +∞[ l’équation (ln x )^2 − ln x = 1. d. En déduire que, sur ]0 ; 1[ ∪ ]e ; +∞[, il existe deux réels a et b ( a < b ) pour lesquels la distance M N est égale à 1.
3. a. À l’aide d’une intégration par parties, calculer
∫e
1
ln x d x.
b. Vérifier que la fonction G définie sur ]0 ; +∞[ par G ( x ) = x
[
(ln x )^2 − 2ln x + 2
]
est une primitive de la fonction g sur ]0 ; +∞[. c. On considère la partie du plan délimitée par les courbes C , C et les droites d’équations x = 1 et x = e. Déterminer l’aire A en unités d’aire de cette partie du plan.
EXERCICE 2 5 points Candidats ne faisant pas l’option mathématiques
Pour chacune des 5 propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et don- ner une démonstration de la réponse choisie. Une réponse non démontrée ne rapporte aucun point.
L’espace est muni d’un repère orthonormal
O,
ı ,
k
On considère la droite ( d ) dont un système d’équations paramétriques est :
x = 2 −
t 2 y = 1 z = 5 − 3 t 2
( t ∈ R)
On note A le point de coordonnées (2 ; −1 ; 1), B le point de coordonnées (4 ; −2 ; 2) et C le point de ( d ) d’abscisse 1.
1. Proposition 1 « La droite ( d ) est parallèle à l’axe
O ;
2. Proposition 2 « Le plan P d’équation x + 3 z − 5 = 0 est le plan passant par A et orthogonal à ( d ) ».
Baccalauréat S : l’intégrale 2007 A. P. M. E. P.
3. Proposition 3 « La mesure de l’angle géométrique BAC est π 3
radians ».
4. Soit G le barycentre des points pondérés (A ; −1), (B ; 1) et (C ; 1). Proposition 4 « Les segments [AG] et [BC] ont le même milieu ». 5. Proposition 5 « La sphère de centre C et passant par B coupe le plan P d’équation x + 3 z − 5 = 0 ».
EXERCICE 2 5 points Candidats ayant choisi l’option mathématiques Pour chacune des 5 propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et don- ner une démonstration de la réponse choisie. Une réponse non démontrée ne rapporte aucun point.
1. Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct
O,
u ,
v
On considère la transformation du plan qui à tout point d’affixe z associe le point d’affixe z ′^ définie par : z ′^ = 2i z + 1. Proposition 1 : « Cette transformation est la similitude directe de centre A d’affixe
i, d’angle
π 2 et de rapport 2 ».
2. Dans l’espace muni du repère orthonormal
O,
ı ,
k
, on note S la sur- face d’équation z = x^2 + 2 x + y^2 + 1. Proposition 2 : « La section de S avec le plan d’équation z = 5 est un cercle de centre A de coordonnées (−1 ; 0 ; 5) et de rayon 5 ».
3. Proposition 3 : « 5^750 − 1 est un multiple de 7 ». 4. Proposition 4 : « Si un entier naturel n est congru à 1 modulo 7 alors le PGCD de 3 n + 4 et de 4 n + 3 est égal à 7 ». 5. Soient a et b deux entiers naturels. Proposition 5 : « S’il existe deux entiers relatifs u et v tels que au + bv = 2 alors le PGCD de a et b est égal à 2 ».
EXERCICE 3 4 points Commun à tous les candidats On considère deux urnes U 1 et U 2. L’urne U 1 contient 17 boules blanches et 3 boules noires indiscernables au toucher. L’urne U 2 contient 1 boule blanche et 19 boules noires indiscernables au toucher. On réalise des tirages en procédant de la manière suivante : Étape 1 : On tire au hasard une boule dans U 1 , on note sa couleur et on la remet dans U 1.
Étape n ( n > 2) :
- Si la boule tirée à l’étape ( n −1) est blanche, on tire au hasard une boule dans U 1 , on note sa couleur et on la remet dans U 1.
- Si la boule tirée à l’étape ( n − 1) est noire, on tire au hasard une boule dans U 2 , on note sa couleur et on la remet dans U 2. On note A l’évènement « le tirage a lieu dans l’urne U 1 à l’étape n » et pn sa probabi- lité. On a donc p 1 = 1. 1. Calculer p 2.
Liban 11 juin 2007
Baccalauréat S : l’intégrale 2007 A. P. M. E. P.
Annexe
Annexe à rendre avec la copie
EXERCICE 1
(^0) ~ i
~ j
EXERCICE 4
~ u
~ v
O
C 1
b
M 1
Liban 13 juin 2007
[ Baccalauréat S Amérique du Nord mai 2007 \
EXERCICE 1 3 points Commun à tous les candidats
Pour chacune des trois propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse, et donner une justification de la réponse choisie. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.
1. L’espace est rapporté à un repère orthonormal
O,
ı ,
k
Soit (P) le plan dont une équation est : 2 x + y − 3 z + 1 = 0. Soit A le point de coordonnées (1 ; 11 ; 7). Proposition 1 : « Le point H, projeté orthogonal de A sur (P), a pour coordonnées (0 ; 2 ; 1) ».
2. On considère l’équation différentielle (E) : y ′^ = 2 − 2 y. On appelle u la solution de (E) sur R vérifiant u (0) = 0. Proposition 2 : « On a u
ln 2 2
3. On considère la suite ( un ) définie par u 0 = 2 et, pour tout entier naturel n , un + 1 =
p 7 un.
Proposition 3 : « Pour tout entier naturel n , on a 0 6 un 6 7 ».
EXERCICE 2 5 points Pour les candidats n’ayant pas choisi la spécialité mathématiques
Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal direct
O,
u ,
v
(unité gra- phique : 4 cm).
Soit A le point d’affixe z A = i et B le point d’affixe z B = e−i^
5 π (^6).
1. Soit r la rotation de centre O et d’angle
2 π 3
. On appelle C l’image de B par r. a. Déterminer une écriture complexe de r. b. Montrer que l’affixe de C est z C = e−i^
π (^6). c. Écrire z B et z C sous forme algébrique. d. Placer les points A, B et C.
2. Soit D le barycentre des points A, B et C affectés respectivement des coeffi- cients 2, −1 et 2.
a. Montrer que l’affixe de D est z D =
p 3 2
i. Placer le point D. b. Montrer que A, B, C et D sont sur un même cercle.
3. Soit h l’homothétie de centre A et de rapport 2. On appelle E l’image de D par h. a. Déterminer une écriture complexe de h. b. Montrer que l’affixe de E est z E =
p
- Placer le point E. 4. a. Calculer le rapport
z D − z C z E − z C
. On écrira le résultat sous forme exponen- tielle. b. En déduire la nature du triangle CDE.
Baccalauréat S : l’intégrale 2007 A. P. M. E. P.
5. Pour tout entier naturel n non nul, on note En l’évènement : « le joueur perd la n -ième partie », En l’évènement contraire, et on note pn la probabilité de l’évènement En. a. Exprimer, pour tout entier naturel n non nul, les probabilités des évène- ments En ∩ En + 1 et En ∩ En + 1 en fonction de pn. b. En déduire que pn + 1 = 0,05 pn + 0,05 pour tout entier naturel n non nul. 6. On considère la suite ( un ) définie pour tout entier naturel n non nul par : un = pn −
a. Montrer que ( un ) est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme. b. En déduire, pour tout entier naturel n non nul, un puis pn en fonction de n. c. Calculer la limite de pn quand n tend vers +∞.
EXERCICE 4 7 points Commun à tous les candidats
1. Restitution organisée de connaissances.
L’objet de cette question est de démontrer que (^) x →+∞lim
e x x
On supposera connus les résultats suivants :
- la fonction exponentielle est dérivable sur R et est égale à sa fonction dé- rivée ;
- e^0 = 1 ;
- pour tout réel x , on a e x^ > x.
- Soient deux fonctions ϕ et ψ définies sur l’intervalle [ A ; +∞[ où A est un réel positif.
Si pour tout x de [ A ; +∞[, ψ ( x ) 6 ϕ ( x ) et si x lim→+∞ ψ ( x ) = +∞, alors x →+∞lim ϕ ( x ) =
a. On considère la fonction g définie sur [0 ; +∞[ par g ( x ) = e x^ −
x^2 2
Montrer que pour tout x de [0 ; +∞[, g ( x ) > 0.
b. En déduire que (^) x →+∞lim
e x x
2. On appelle f la fonction définie sur [0 ; +∞[ par f ( x ) =
x e−^
x (^2).
On appelle C sa courbe représentative dans un repère orthogonal
O,
ı ,
La courbe C est représentée en annexe. a. Montrer que f est positive sur [0 ; +∞[. b. Déterminer la limite de f en +∞. En déduire une conséquence graphique pour C. c. Étudier les variations de f puis dresser son tableau de variations sur [0 ; +∞[.
3. On considère la fonction F définie sur [0 ; +∞[ par F ( x ) =
∫ x 0 f^ ( t^ ) d t^. a. Montrer que F est une fonction strictement croissante sur [0 ; +∞[. b. Montrer que F ( x ) = 1 − e−^ x 2 − x 2
e−^ x 2 .
c. Calculer la limite de F en +∞ et dresser le tableau de variations de F sur [0 ; +∞[.
Amérique du Nord 16 mai 2007
Baccalauréat S : l’intégrale 2007 A. P. M. E. P.
d. Justifier l’existence d’un unique réel positif α tel que F ( α ) = 0,5. À l’aide de la calculatrice, déterminer une valeur approchée de α à 10−^2 près par excès.
4. Soit n un entier naturel non nul. On note An l’aire, en unités d’aire, de la partie du plan située entre l’axe des abscisses, la courbe de f et les droites d’équations x = 0 et x = n.
Déterminer le plus petit entier naturel n tel que An > 0,5.
Amérique du Nord 17 mai 2007
[ Baccalauréat S Antilles-Guyane juin 2007 \
EXERCICE 1 6 points Commun à tous les candidats
Question de cours
Prérequis : positivité et linéarité de l’intégrale.
Soient a et b deux réels d’un intervalle I de R tels que a 6 b. Démontrer que si f
et g sont deux fonctions continues sur I telles que pour tout réel x de l’intervalle I ,
f ( x ) > g ( x ), alors
∫ b
a
f ( x ) d x >
∫ b
a
g ( x ) d x.
Partie A
1. Soit x un réel supérieur ou égal à 1. Calculer en fonction de x l’intégrale
∫ x
1
(2 − t ) d t.
2. Démontrer que pour tout réel t appartenant à l’intervalle [1 ; +∞[, on a :
2 − t 6
t
3. Déduire de ce qui précède que pour tout réel x supérieur ou égal à 1, on a :
x^2 + 2 x −
6 ln x.
Partie B
Soit h la fonction définie sur R par
h ( x ) = −
x^2 + 2 x −
Sur le graphique joint en annexe, le plan est muni d’un repère orthogonal
O,
ı ,
dans lequel on a tracé les courbes représentatives des fonctions h et logarithme né- périen sur l’intervalle [1 ; 4]. On a a tracé également la droite ( d ) d’équation x = 4.
1. a. Démontrer que
1
h ( x ) d x = 0.
b. Illustrer sur le graphique le résultat de la question précédente.
2. On note ( D ) le domaine du plan délimité par la droite ( d ) et les courbes re- présentatives des fonction h et logarithme népérien sur l’intervalle [1 ; 4]. En utilisant un intégration par parties, calculer l’aire de ( D ) en unités d’aire.
EXERCICE 2 5 points Réservé aux candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité. ( O,
u ,
v
est un repère orthonormal direct du plan complexe. Soit A le point d’affixe 1 + i. Au point M d’affixe z , on associe le point M ′^ d’affixe z ′^ telle que
z ′^ =
z + i z
1. On pose z = x + i y et z ′^ = x ′^ + i y ′^ avec x , y , x ′^ et y ′^ réels.
a. Démontrer les égalités suivantes : x ′^ =
( x + y ) et y ′^ =
( x + y ). En déduire que le point M ′^ appartient à la droite (O A ). b. Déterminer l’ensemble des points M du plan tels que M = M ′.
Baccalauréat S A. P. M. E. P.
c. Démontrer que pour tout point M du plan les vecteurs
M M ′^ et
O A sont orthogonaux.
2. Soit r la rotation de centre O et d’angle π 2 . M 1 est le point d’affixe z 1 image de M par r , M 2 le point d’affixe z 2 = z , M 3 le point d’affixe z 3 tel que le qua- drilatère O M 1 M 3 M 2 soit un parallélogramme. a. Dans cette question uniquement M a pour affixe 4 + i, placer les points M , M 1 , M 2 , M 3. b. Exprimer z 1 en fonction de z , puis z 3 en fonction de z. c. OM 1 M 3 M 2 est-il un losange? Justifier.
d. Vérifier que z ′^ − z =
i z 3.
En déduire que M M ′^ =
O M 3.
3. Démontrer que les points M , M 1 , M 2 et M 3 appartiennent à un même cercle de centre O si et seulement si M M ′^ =
O M.
Donner alors la mesure en radians de l’angle géométrique M à′O M.
EXERCICE 2 5 points Réservé aux candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité ( O,
u ,
v
est un repère orthonormal direct du plan complexe (unité graphique 1 cm). On considère le point A d’affixe zA = 1 + i.
On note S 1 la symétrie orthogonale par rapport à l’axe
O ;
u
et h l’homothétie de centre O et de rapport 3. On pose s = h ◦ S 1.
Partie A
1. Placer le point A et compléter la figure au fur et à mesure. 2. Quelle est la nature de la transformation s? Justifier. 3. Déterminer l’écriture complexe de la transformation s. 4. a. Déterminer l’affixe zB du point B image de A par s. b. Montrer que zB = −3i zA. Déterminer une mesure de l’angle
O A ,
O B
5. Soient M le milieu de [ AB ] et P l’image de M par s. Montrer que la droite (O P ) est perpendiculaire à la droite ( AB ).
Partie B
1. On pose C = s ( B ). Montrer que P est le milieu de [ BC ]. 2. a. Déterminer l’écriture complexe de s ◦ s et en déduire sa nature. b. Montrer que l’image de la droite (O P ) par s est la droite ( OM ). c. Que représente le point M pour le triangle O BP? Justifier.
EXERCICE 3 5 points Commun à tous les candidats
L’espace est rapporté au repère orthonormé
O,
ı ,
k
. On considère les points A (3 ; 0 ; 6) et I (0 ; 0 ; 6), et l’on appelle ( D ) la droite passant par A et I. On appelle ( P ) le plan d’équation 2 y + z − 6 = 0 et ( Q ) le plan d’équation y − 2 z + 12 = 0.
Antilles-Guyane 20 juin 2007
